Наибольшее и наименьшее значения функции

1.

2.

функция возрастает
Предположим, что функция f
не имеет на отрезке [а; b] критических
точек.
наибольшее
значение
наименьшее
значение
Тогда она возрастает (рис. 1) или убывает
(рис. 2) на этом отрезке.
a
b
функция убывает
наибольшее и наименьшее значения
функции f на отрезке [а; b] — это
значения в концах а и b.
наибольшее
значение
наименьшее
значение
a
Значит,
b

3.

Примеры
Пусть теперь функция f имеет на
отрезке [а; b] конечное число
критических точек.
наибольшее
значение
наименьшее
значение
a c
b
наибольшее
значение
наибольшее
значение
наименьшее
значение
наименьшее
значение
a c
n b
Наибольшее и наименьшее значения
функция f может принимать в
критических точках функции или в
точках а и b.
Чтобы найти наибольшее и
наименьшее значения функции,
имеющей на отрезке конечное число
критических точек, нужно вычислить
значения функции во всех
критических точках и на концах
отрезка, а затем из полученных
чисел выбрать наибольшее и
наименьшее.

4.

1.
Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
Значения функции в
концах отрезка.
1) y(0) = 0
y(4) = 43– 27 4 = – 44
3
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
y(3) = 33– 27 3 = –54
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
x = 3 [0; 4]
x = –3 [0; 4]
В 11
- 5 4
3
10 х
х
-3

5.

Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно.
Этапы
1. Найти f /(x)
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
3. Вычислить
значения функции в
критических точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных
значений выбрать
наименьшее или
наибольшее
Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
1) y / = 3x2 – 27
3
2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
x = 3 [0; 4]
x = –3 [0; 4]
3) y(0) = 0
y(4) = 43– 27 4 = – 44
y(3) = 33– 27 3 = –54
В 11
- 5 4
3
10 х
х
-3

6.

Предположим, что функция f
имеет на отрезке [а; b] одну точку
экстремума.
наименьшее
значение
a
b
Если это точка минимума, то в этой точке
функция будет принимать наименьшее
значение.
наибольшее
значение
Если это точка максимума, то в этой точке
функция будет принимать наибольшее
значение.
a
b

7.

Другой способ решения
Этапы
1. Найти f /(x)
2. Найти критические
точки, взять те,
которые
принадлежат
данному отрезку.
3. Вычислить
значения функции в
критических точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных
значений выбрать
наименьшее и
наибольшее
Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
1) y / = 3x2 – 27
3
-3
2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
y\
y
+
0 –
-3
+
3
min
3)
y(3) = 33– 27 3 = –54
В 11
- 5 4
3
10 х
4
x
Наименьшее значение
функция будет
принимать в точке
минимума.
Можно сэкономить на
вычислениях значений
х
функции в концах
отрезка.
Этот способ будет удобно
вспомнить, когда вычисления значений функции в концах
отрезка будет сложным.

8.

2. Найдите наибольшее значение функции y = x3 – 3x + 4
на отрезке [– 2; 0]
Значения функции в
концах отрезка.
1) y(0) = 4
y(-2) = (-2)3– 3 (-2)
+4 = 2
1
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
2) y / = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1)
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
+4=6
y(-1) = (-1)3– 3 (-1)
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
x = 1 [-2; 0]
x = –1 [-2; 0]
В 11
6
3
10 х
х
-1

9.

3. Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 2x2 + x +3
на отрезке [ 1; 4 ]
Значения функции в
концах отрезка.
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
1) y(1) = 1 – 2 + 1 + 3 = 3
y(4) = 43– 2 4 2 + 4 + 3 = 39
2) y / = 3x2 – 4x + 1=
3(x – 1)(x –
3x2 – 4x + 1 = 0
D=16–4*3*1=4
4+2
x1=
= 1 [1; 4]
6
4-2
1
=
[1; 4]
x2=
6
3
y(1) = 3
В 11
3
3
10 х
х
1
)
3

10.

x3
9x 7
4. Найдите наибольшее значение функции y
3
на отрезке [ -3; 3 ]
3
( 3)
Значения функции в
у ( 3)
9( 3) 7 9 27 7 11
концах отрезка.
3
33
у (3) 9 3 7 9 27 7 25
3
2
Найдем критические
3
х
точки, которые
у/
9 х 2 9 ( х 3)( х 3)
3
принадлежат
заданному отрезку.
x = 3 [-3; 3]
x = –3 [-3; 3]
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
y(-3) = 11
y(-3) = -25
В 11
1 1
3
10 х
х

11.

5. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [ 1; 9 ]
Значения функции в
концах отрезка.
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
3
2
3
2
3
2
y x 3x 1
у(1) 1 3 1 1 1 3 1 1
3
2 2
у (9) 9 3 9 1 (3 ) 27 1
27 27 1 1
3
1
х 3 0
3 2
3
/
у х 3
х 3 2
2
2
3 х 6 0
х 2
х 4 [1; 9]
3
2
3
2 2
у (4) 4 3 4 1 (2 ) 12 1
8 12 1 3
В 11
1
3
10 х
х
2

12.

6. Найдите наименьшее значение функции y x х 3 x 1
3
на отрезке [ 1; 9 ]
2
y
x
31x 1
3
Значения функции в
концах отрезка.
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
х 21 3
x 1 1 1
у(1) 12 3y
1 x1
3
2
3
2 2
у (9) 9 3 9 13 (3 ) 27 1
y х 2 3x 1
27 27 1 1
Запишем функцию3в удобном для
1 дифференцирования виде
х 3 0 2
3
3
у/ х2 3
х 3 2
2
2
3 х 6 0
х 2
х 4 [1; 9]
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
3
2
3
2 2
у (4) 4 3 4 1 (2 ) 12 1
8 12 1 3
В 11
- 3
3
10 х
х

13.

х 2 25
7. Найдите наименьшее значение функции y
х
на отрезке [-10; 1 ]
1
D(y): x = 0
y x 25
х
Значения функции в
1
2
концах отрезка.
х
25
у ( 10) 10 25
10 2,5 12,5
y
10
/
х
х
1
1
у (1) 1 25 26
2
1
х
х
y х 25
2
х
1
25
х
25
Найдем критические
у / 1 Запишем
25 функцию
1
в удобном
для
2
2
2
точки, которые
хвиде х
х
дифференцирования
принадлежат
( х 5)( х 5)
x = 5 [-10; 1]
заданному отрезку.
х2
x = –5 [-10; 1]
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
x = 0 D(y)
1
у ( 5) 5 25
5 5 10
5
В 11
- 1 2 , 5
3
10 х
х

14.

х 2 25
7. Найдите наименьшее значение функции y
х
на отрезке [-10; 1 ]
D(y): x = 0
Значения функции в
концах отрезка.
Можно решить задание, применив
формулу:
u u / v uv/
2
v
v
/
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
В 11
- 1 2 , 5
3
10 х
х

15.

36
y х
х
8. Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [ 1; 9 ]
1
Значения функции в
концах отрезка.
1
1
2
х
х
/
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
D(y): x = 0
y x 36
х
1
у (1) Запишем
1 36 функцию
37 в удобном для
1
дифференцирования
виде
1
у (9) 9 36 9 4 13
9
2
1
36
х
36
/
у 1 36 2 1 2
2
х
х
х
( х 6)( х 6)
х2
x = 6 [ 1; 9]
x = –6 [ 1; 9]
x = 0 D(y)
1
у (6) 6 36 6 6 12
6
В 11
3 7
3
10 х
х

16.

9. Найдите наибольшее значение функции y 8 х e
на отрезке [ 3; 10 ]
x 7
1). Первое число меньше 1, т.к.
5
4
4
Значения
функции
в
знаменатель e > 5.
у (3) (8 3)e 4
концах
отрезка.
e
2).
Второе
число – отрицательноe.
3). Значит, наибольшее число 1.
uv u/ v uv/
у(10) (8 10)e3 2e3
/
Найдем критические
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
у / (8 х) / e x 7 (8 х)( e x 7 ) /
e x 7 (8 х)e x 7 e x 7 ( 1 8 х)
e
x 7
7
(7 х )
x = 7 [ 3; 10]
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
1
у(7) (8 7)e7 7 1e0 1
В 11
1
3
10 х
х

17.

2
2 х
10. Найдите наименьшее значение функции y х 8 х 8 e
на отрезке [ 1; 7 ]
у(1) (1 8 8)e 1 e
Значения функции в
концах отрезка.
1
uv u v uv у(7) (49 56 8)e e5
Найдем критические у / ( х 2 8 х 8) / e 2 х ( х 2 8 х 8)(e 2 х ) /
/
/
точки, которые
принадлежат
заданному отрезку.
5
/
(2 х 8)e 2 х ( х 2 8 х 8)e 2 х ( 1)
e 2 х (2 х 8 х 2 8 х 8) e 2 х ( х 2 10 х 16)
e
Значения функции в
критических точках,
которые принадлежат
заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
2 х
( х 10 х 16) e
2
x = 2 [ 1; 7]
2 х
8
( х 8)( х 2)
Наименьшее число – 4, т.к.
первые два положительные.
x = 8 [ 1; 7]
1
у(2) (4 16 8)e0 4
В 11
2
- 4
3
10 х
х

18.

lnx / 1x
11. Найдите наибольшее значение функции
y = ln(x+5)5 – 5x на отрезке [-4,5; 0]
1
5
5 x 20
у 5
5
5
y = 5ln(x+5) – 5x
х 5
х 5
х 5
Запишем функцию
5( x 4в)удобном для
2. Найти критические
дифференцирования
виде x = -4 [-4,5; 0]
х 5
точки, взять те,
1. Найти f /(x)
которые принадлежат
данному отрезку.
3. Вычислить значения
функции в критических
точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных
значений выбрать
наименьшее или
наибольшее.
/
y\
y
-4,5 + +
-5
–
0
-4
max
0
у ( 4) ln 15 5 ( 4)
0 20 20
В 11
2 0
3
10 х
х
x
Наибольшее значение
функция будет
принимать в точке
максимума.
Можно сэкономить на
вычислениях значений
функции в концах
отрезка.

19.

12. Найдите наибольшее значение функции
1 5
y = ln(11x) – 11x + 9 на отрезке [ ; ]
22 22
lnx 1x
/
1
1
1
/
у
(11х) 11
11 11 11
11х
11х
х
1 11x
1
1 5
[
; 22]
x=
11
22
х
/
1. Найти f /(x)
2. Найти критические
точки, взять те,
которые принадлежат
данному отрезку.
1
22
y\
+
y
5
22
–
x
1
11
max
0
1
у ln 1 1 9 0 1 9 8
11
В 11
8
3
10 х
х
Наибольшее значение
функция будет
принимать в точке
максимума.
Можно сэкономить на
вычислениях значений
функции в концах
отрезка.

20.

lnx
/
13. Найдите наименьшее значение функции
5 7
y = 2х2 – 5x + lnx – 3 на отрезке [ ; ]
6 6
1
x
1
4( х 1)( х )
2
1
4
х
5
х
1
4
у / 4х 5
х
х
х
2. Найти критические
1. Найти f /(x)
точки, взять те,
которые принадлежат
данному отрезку.
x=1
y\
5
6
–
y
7
6
+
x
1
min
0
у 1 2 5 ln 1 3 2 8 6
В 11
- 6
3
10 х
х
[ 65 ; 67 ]
Наименьшее значение
функция будет
принимать в точке
минимума.
Можно сэкономить на
вычислениях значений
функции в концах
отрезка.

21.

cosx – sinx
/
14. Найдите наибольшее значение функции
3
; 0
y = 7cosx +16x – 2 на отрезке
2
у 7 sin х 16
/
1. Найти f /(x)
7 sin х 16 0
2. Найти критические
точки, взять те,
16
которые принадлежат sin х
данному отрезку.
7
0
т.к. sin х [ 1;1]
Функция на всей области
определения возрастает.
Нетрудно догадаться, что у
/ > 0.
Тогда наибольшее
значение функция будет
иметь в правом конце
отрезка, т.е. в точке х=0.
3
3
3
у
7 cos
16
2 24 2
2
2
2
у 0 7 cos 0 16 0 2 7 2 5
В 11
5
3
10 х
х
Если вы не догадались, то
вычислите значения
функции в каждом конце
отрезка и выберите
наибольшее.

22.

sinx cosx
15. Найдите наибольшее значение функции
/
5
; 0
y = 10sinx –
x + 7 на отрезке
6
36
у 10 cos х
/
1. Найти f /(x)
2. Найти критические 10 cos х 36
точки, взять те,
которые принадлежат
36
данному отрезку.
cos х
36
Критических точек нет.
Тогда наибольшее
значение функция будет
принимать в одном из
концов отрезка.
10
т.к. cos х [ 1;1]
Можно было и раньше
догадаться, что наибольшее
значение будет именно в
левом конце отрезка!
Как?
1
5
5 36 5
у
10 sin
7 10 30 7 32
2
6
6 6
Синус –нечетная функция
0
Формула приведения
5
5
1
у 0 sin
10 sin
0
0
7
7
sin Вsin
sin
11
6
6
6
3 2
3
10 х
х
6
2

23.

cosx – sinx
16. Найдите наименьшее значение функции
/
y = 5cosx – 6x + 4 на отрезке
у / 5 sin x 6
1. Найти f /(x)
2. Найти критические 5 sin x 6 0
точки, взять те,
6
которые принадлежатsin х
данному отрезку.
5
т.к. sin х [ 1;1]
3
2 ; 0
Функция на всей области
определения убывает.
Нетрудно догадаться, что у /
< 0.
Тогда наименьшее значение
функция будет иметь в
правом конце отрезка, т.е. в
точке х=0.
0
3
3
3
у
5 cos
6
4 9 4
2
2
2
1
у 0 5 cos 0 0 4 9
В 11
9
3
10 х
х
Если вы не догадались, то
вычислите значения
функции в каждом конце
отрезка и выберите
наименьшее.

24.

17. Найдите наибольшее значение функции
y = 12cosx + 6 3 x – 2 3 + 6 на отрезке 0 ;
2
1. Найти f /(x)
3
у / 12 sin x 6 3
2. Найти критические
12 sin x 6
точки, взять те,
которые принадлежат
3
данному отрезку.
sin х
2
3 0
х ( 1)
n
3
n
Но нам не нужны ВСЕ
у 12 cos 6 3 2 3 6
12
стационарные
точки. Необходимо
3
3
3
сделать выбор тех значений,
у 12 cos 6 3 2 3 6 6 3 0 ;
2
2
2
2
у 0 12 cos 0 6 3 0 2 3 6 18 2 3
которые попадут в заданный
отрезок
В 11
1 2
3
10 х
х

25.

17. Найдите наибольшее значение функции
3
y = 12cosx + 6 3 x – 2 3 + 6 на отрезке 0 ;
2
у / 12 sin x 6 3
1. Найти f /(x)
2. Найти критические
12 sin x 6
точки, взять те,
которые принадлежат
3
данному отрезку.
sin х
y\
y
0
+
3
–
max
3 0
2
2
x
Убедимся, что данная точка является
точкой максимума на заданном
промежутке.
Значит, наибольшее значение
функция достигает именно в этой
точке.
Тогда значения функции в концах
отрезка можно не считать.
у 12 cos 6 3 2 3 6 12
3
3
3
В 11
1 2
3
10 х
х

26.

18. Найдите наименьшее значение функции
7 3
14 3
7 3
y = 11 +
–
х–
cosx на отрезке 0 ;
2
18
3
3
1. Найти f /(x)
2. Найти критические
точки, взять те,
которые принадлежат
данному отрезку.
y\
y
0
–
7 3 14 3
у
sin x
6
3
3
7 3 14 3
sin x 0
3
3
Можно убедиться, что данная точка
1
n
является
точкой
минимума
х ( 1)
наn
sin x
заданном промежутке.
2
6
/
+
6 min
2
x
Значит, наименьшее значение
функция
достигает
именно в этой
Но нам не
нужны ВСЕ
точке.
стационарные точки. Необходимо
Тогда
значения
в концах
сделать
выбор функции
тех значений,
отрезка
не всчитать.
которыеможно
попадут
заданный
отрезок
7 3 7 3 14 3
у 11
cos 11 7 4
18
18
3
6
6
В 11
4
0 ; 2
3
10 х
х

27.

19. Найдите наименьшее значение функции
tgx cos1 2x
/
1. Найти f /(x)
2. Найти критические
точки, взять те,
которые принадлежат
данному отрезку.
y = 4tgx – 4x – + 5 на отрезке
4 ; 4
4
1
у 4
4
2
cos x
/
0
4
4 0
2
cos x
4
2
cos x 1
Нам не нужны ВСЕ стационарные
у 4 5 1
4
у 4 5 9 2
4
у 0 0 0 5 5
точки. Необходимо сделать выбор
тех значений, которые попадут в
заданный отрезок
3. Вычислим значения функции в
критических точках ;
4 4
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных значений
сделаем выбор наименьшего.
В 11
1
3
10 х
х

28.

20. Найдите наибольшее значение функции
tgx cos1 2x
/
1. Найти f /(x)
y = 3tgx – 3x + 5 на отрезке ; 0
4
1
у 3
3
2
cos x
/
2. Найти критические
точки, взять те,
которые принадлежат
данному отрезку.
0
3
3 0
2
cos x
cos 2 x 1
4
Нам не нужны ВСЕ стационарные
3. Вычислим значения функции в критических точках
точки.
и на
Необходимо
концах отрезка.
сделать выбор
тех значений, которые попадут в
4. Из вычисленных значений сделаем выбор наибольшего.
заданный отрезок
3 4 ; 0 3
у 3tg 3 5 3
5 2
-1
4
0
4
4
у 0 3tg0 0 5 5
4
В 11
5
4
3
10 х
х