Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

1. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

17.12.2023
1

2. Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции у=f(x) на отрезке.

1) Найти производную f /(x).
2) Найти критические точки (в которых производная равна 0
или не существует) , взять те, которые принадлежат данному
отрезку.
3) Вычислить значения функции в этих критических точках
и на концах отрезка.
4) Из вычисленных значений выбрать наименьшее и
наибольшее .
17.12.2023
2

3. Таблица производных.

1) с 0
6) cos x ' sin x
2) сх с
7) sin x ' cos x
'
'
3) x ' x 1
10) е
е
x '
11) ln x
'
1
8) tgx
cos 2 x
1
'
9) ctgx 2
sin x
'
'
1
1
4) 2
x
x
'
1
5) x
2 x
х
1
x
Правила дифференцирования:
u v
'
u' v'
'
'
u u v v u
2
v
v
'
17.12.2023
uv ' u ' v v 'u
f u x f u u x
3

4.

Алгоритм
Пример 1: Найдите наибольшее значение функции
y = x3 +2x2 + x -7 на отрезке 3; 12
1. Найти f /(x)
2. Найти критические
точки(в которых
производная равна 0
или не существует) ,
взять те, которые
принадлежат данному
отрезку.
3. Вычислить
значения функции в
критических точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных
значений выбрать
наибольшее
17.12.2023
y 3 x 2 4 x 1
y 0 3 х 2 4 х 1 0
1
1
1
х1 1 3; ; х2 3;
2
3
2
y ( 3) 27 18 3 7 19
y ( 1) 1 2 1 7 7
1 1 1
1
1
y 7 7
8 2 2
8
2
yнаиб 7
4

5.

Алгоритм
1. Найти f /(x)
2. Найти критические
точки, взять те,
которые принадлежат
данному отрезку.
Пример 2: Найдите наименьшее значение функции
y = x4 -5x2 -10 на отрезке 4;1
y 4 x3 10 x
y 0 4 х 3 10 х 0 2 х 2 х 2 5 0
х1 0 4;1 ; х2 2,5 4;1 ;
х3 2,5 4;1
3. Вычислить
значения функции в
критических точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных
значений выбрать
наименьшее
17.12.2023
y ( 4) 256 80 10 166
y ( 2,5) 6, 25 12,5 10 16, 25
y 0 0 0 10 10
y 1 1 5 10 14
yнаим 16, 25
5

6.

Алгоритм
Пример 3: Найдите наименьшее значение функции
y = (1-x)(х-4)2 на отрезке 0;3
2
1 х х 4 1 х х2 8х 16 х3 9х2 24х 16
1. Найти f /(x)
y 3x 2 18 x 24
2. Найти критические
точки, взять те,
которые принадлежат
данному отрезку.
y 0 3 х 2 18 х 24 0
х2 6 х 8 0
х1 2 0;3 ; х2 4 0;3
3. Вычислить
значения функции в
критических точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных
значений выбрать
наименьшее
17.12.2023
y (0) 1 16 16
y (2) 1 4 4
y 3 2 1 2
yнаим 4
6

7.

Алгоритм
1. Найти f /(x)
2. Найти критические
точки, взять те,
которые принадлежат
данному отрезку.
Пример 4: Найдите наименьшее значение функции
х 2 16
на отрезке
y
х
2;8
2
16
16
х
16
/
у х 1 2
2
х
х
х
х 2 16
y 0
0
2
х
х 2 16 0; х 0
х1 4 2;8 ; х2 4 2;8 ; х 0 D( y )
3. Вычислить
значения функции в
критических точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных
значений выбрать
17.12.2023
наименьшее
y (2)
4 16
10
2
y (8)
y (4)
16 16
8
4
64 16
10
8
yнаим 8
7

8.

Алгоритм
Пример 5: Найдите наибольшее значение функции
16 х3
у
х
1. Найти f /(x)
2. Найти критические
точки, взять те,
которые принадлежат
данному отрезку.
на отрезке 4; 1
16 х 3 16
16
2
y
х
2х
2
х
х х
16
2х 0
2
х
16 2 х 3 0, x 0 х 3 8
y 0
х 2 4; 1 ; x 0 D y
3. Вычислить
значения функции в
критических точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных
значений выбрать
17.12.2023
наибольшее
16 64
y ( 4)
20
4
y ( 1)
16 8
y 2
12
2
16 1
17
1
yнаиб 12
8

9.

Алгоритм
1. Найти f /(x)
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
3. Вычислить
значения функции в
критических точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных
значений выбрать
наименьшее
17.12.2023
Пример 6: Найдите наименьшее значение функции
y x х 6 x 1 на отрезке 9;25
32
3 12
3
у х 6 х 1 х 6
х 6
2
2
/
3
х 6 0 х 4
2
х 16 9; 25
y 0
у (9) 9 3 6 9 1 27 54 1 26
у (19) 16 4 6 16 1 64 96 1 31
у (25) 25 5 6 25 1 125 150 1 24
yнаим 31
9

10.

Алгоритм
1. Найти f /(x)
Пример 7: Найдите наибольшее значение функции
y 5 x 14 х 13 на отрезке 9;3
у 5 х 14 х 13 х 14
х 13
х 14
2 х 13
2 х 26 х 14
3х 12
2 х 13
2 х 13
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
3х 12
0 3х 12 0
2 х 13
х 4 9;3
3. Вычислить
значения функции в
критических точках
и на концах отрезка.
у ( 9) 5 23 4 5 46 51
у ( 4) 5 18 9 5 54 59
у (3) 5 11 16 5 44 49
4. Из вычисленных
значений выбрать
наибольшее
17.12.2023
х 13
у 0
yнаиб 59
10

11.

Алгоритм
1. Найти f /(x)
Пример 8: Найдите наибольшее значение функции
на отрезке 0; .
у 38 x 38tgx 20
4
у 38
38
cos 2 x
38
2
0
cos
x 1 cos x 1
2
cos x
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
у 0 38
3. Вычислить
значения функции в
критических точках
и на концах отрезка.
y 0 38 0 38 tg0 20 20
4. Из вычисленных
значений выбрать
наибольшее
17.12.2023
Отрезку 0; принадлежит х=0.
4
y 38 38 tg 20 9,5 18
4
4
4
yнаиб 20
11

12.

Алгоритм
1. Найти f /(x)
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
3. Вычислить
значения функции в
критических точках
и на концах отрезка.
4. Из вычисленных
значений выбрать
наибольшее
17.12.2023
Пример 9: Найдите наибольшее значение функции
3
на отрезке
у 2sin x 3x
7
0; 2 .
6
у 2 cos x 3
3
у 0 2 cos x 3 0;cos x
; x 2 n
2
6
Отрезку 0; принадлежит точка x
2
6
3
3
7
7
6
6
3
y 2sin 3
7 1 7 8
6
6 6
6
3
3
y 2sin 3
7 9
2
2 6
3
2
y 0 2sin 0 3 0
yнаиб 8
12

13.

Алгоритм
Пример 10: Найдите наибольшее значение функции
12
2
;0 .
у 2 cos x x 4 на отрезке
3
1. Найти f /(x)
у 2 sin x
2. Найти критические
точки, взять те, которые
принадлежат данному
отрезку. Если их нет ,
определить знак
производной на данном
отрезке.
3. Вычислить значения
функции в начале
отрезка.
17.12.2023
12
у 0 2sin x
12
0
Уравнение не имеет решений, производная отрицательна при
всех значениях переменной, поэтому заданная функция
является убывающей. Следовательно, наибольшим
значением функции на заданном отрезке является значение в
начале отрезка.
2
2 12 2
y
2 cos
4
3
3 3
1
2 8 4 11
2
yнаиб 11
13

14.

Алгоритм
1. Найти f /(x)
2. Найти критические
точки, взять те, которые
принадлежат данному
отрезку. Если их нет ,
определить знак
производной на данном
отрезке.
3. Вычислить значения
функции в начале
отрезка.
Пример 11: Найдите наименьшее значение функции
2
на
отрезке
у 13 cos x 17 x 21
0; 3 .
у 13 sin x 17
у 0 2 sin x 17 0
Уравнение не имеет решений, производная положительна
при всех значениях переменной, поэтому заданная функция
является возрастающей. Следовательно, наименьшим
значением функции на заданном отрезке является значение
функции в начале отрезка.
y 0 13 cos 0 17 0 21 13 21 34
yнаим 34
17.12.2023
14

15.

Алгоритм
Пример 12: Найдите наибольшее значение функции
3
у ln x 8 3x на отрезке 7,5;0 .
1. Найти f /(x)
3
у 3 ln x 8 3x
3
x 8
2. Найти
критические точки,
взять те, которые
принадлежат
данному отрезку.
3
у 0
3 0 3 3x 24 0
x 8
x 7 7,5;0
3. Вычислить
значения функции в
критических точках
и на концах отрезка.
1
y 7,5 ln 22,5 22,5 ln 8
8
y 7 0 21 21
y 0 3 ln 8
4. Из вычисленных
значений выбрать
наибольшее
17.12.2023
yнаиб 21
15

16.

Второй способ решения
Этим способом будет удобно воспользоваться,
когда вычисления значений функции в концах
отрезка будет сложным.
17.12.2023
16

17.

Алгоритм
1. Найти f /(x)
2. Найти критические
точки, взять те, которые
принадлежат данному
отрезку.
3. Определим знаки
производной функции на
заданном отрезке, и
изобразим на рисунке
поведение функции.
4. Вычислить значения
функции в критической
точке – это наименьшее
значение функции.
17.12.2023
Пример 13: Найдите наименьшее значение функции
5
у 5 x ln x 8 на отрезке 7,5;0 .
5
у 5 x 5 ln x 8 5
x 8
5
у 0 5
0 5 x 40 5 0
x 8
x 7 7,5;0
В точке x= -7 заданная функция имеет минимум, являющийся ее
наименьшим значением на заданном отрезке.
y 7 35 0 35
yнаим 35
17

18.

Алгоритм
1. Найти f /(x)
Пример 14: Найдите наименьшее значение функции
у x 13 е х 12 на отрезке 11;13 .
у х 13 е х 12 х 13 е х 12 е х 12 х 13 е х 12
е х 12 х 12
2. Найти критические
точки, взять те, которые
принадлежат данному
отрезку.
3. Определим знаки
производной функции на
заданном отрезке, и
изобразим на рисунке
поведение функции.
4. Вычислить значения
функции в критической
точке – это наименьшее
значение функции.
17.12.2023
у 0, ех 12 х 12 0 х 12 11;13
В точке x= 12 заданная функция имеет минимум, являющийся ее
наименьшим значением на заданном отрезке.
y 12 12 13 е12 12 1
yнаим 1
18

19.

Алгоритм
1. Найти f /(x)
Пример 15: Найдите наибольшее значение функции
2
у 6 x 7 е х 5 на отрезке 4;6 .
у 6 х 2 14 х 49 е х 5 х 2 14 х 49 е х 5
2 х 14 е х 5 х 2 14 х 49 е х 5 е х 5 х 2 12 х 35
2. Найти критические
точки, взять те, которые
принадлежат данному
отрезку.
3. Определим знаки
производной функции на
заданном отрезке, и
изобразим на рисунке
поведение функции.
4. Вычислить значения
функции в критической
точке – это наибольшее
значение функции.
17.12.2023
у 0, е х 5 х 2 12 х 35 0
х1 5 4;6 , х2 7 4;6
В точке x= 5 заданная функция имеет максимум, являющийся ее
наибольшим значением на заданном отрезке.
y 5 6 5 7 е5 5 6 4 10
2
yнаиб 10
19