Основи динаміки обертального руху

1. Тема уроку: Основи динаміки обертального руху.

2. Мета уроку:

Ознайомити студентів з обертальним
рухом, його основними характеристиками
та одиницями вимірювання
Сформулювати теорему Штейнера
Провести аналогію між поступальним і
обертальним рухами

3. План уроку

Момент сили.
Момент інерції тіла відносно нерухомої
осі. Теорема Штейнера.
Момент імпульсу відносно нерухомої
осі обертання.
Закон збереження моменту імпульсу.
Основне рівняння динаміки обертового
руху твердого тіла.

4.

Обертовий рух тіла навколо осі – це рух, при
якому траєкторією руху усіх його точок є кола
з центром, що лежать на одній прямій, яка
називається віссю обертання.
Абсолютно тверде тіло (тверде
тіло) — це тіло, взаємне
положення точок якого не
змінюється, тобто тіло не
деформується. Абсолютно тверде
тіло можна трактувати як систему
жорстко зв’язаних матеріальних
точок

5. Момент сили

Моментом сили відносно нерухомого центра О
називається векторна величина , що дорівнює
векторному добутку радіуса
з
r Fвектора r , проведеного
точки О до точки прикладання сили, на вектор сили F
α
M rF
М = rFsinα= Fl
де l = rsin плече сили відносно
точки О
( довжина перпендикуляра, опущеного з точки
О на лінію дії сили)

6.

При обертанні твердого
тіла навколо нерухомої
осі OZ сила, що діє на
тіло створює момент
сили відносно осі , що є
проекцією вектора на
вісь OZ:
M z ( M )z

7. Момент інерції

Моментом інерції тіла відносно
деякої нерухомої осі OZ є величина
J Z , що визначається рівністю.
N
JZ miri2
i 1
де
ri
m - маса і-ї частинки тіла,
яке умовно “розбивається”
на N частинок, настільки
малих, що для кожної з них
можна однозначно вказати
ri - відстань частинки
від осі OZ

8.

Момент інерції тіла відносно осі
дорівнює сумі добутків
елементарних мас тіла на
квадрати їх віддалей від осі
обертання
Момент інерції величина скалярна,
вимірюється в кг м2.

9.

Момент інерції тіла Jz відносно довільної осі
визначають за теоремою Штейнера
Теорема Штейнера:
Момент інерції тіла Jz
відносно довільної осі
дорівнює сумі моменту інерції
JС відносно осі, паралельної
даній, що проходить через
центр мас тіла і добутку маси
тіла m на квадрат відстані
між осями d .
Jz JC md2

10.

11. Момент імпульсу

Якщо тверде тіло здійснює
обертальний рух навколо нерухомої осі
OZ, то вводиться поняття моменту
імпульсу відносно нерухомої осі.
Момент імпульсу матеріальної точки
відносно осі ОZ Lz дорівнює
проекції
на вісь OZ величини L

12.

Mомент імпульсу твердого тіла
відносно нерухомої осі дорівнює сумі
моментів імпульсів елементарних мас
цього тіла відносно вказаної осі.
N
L z Liz
i 1
N
,
L z miri JZ
2
i 1
ω – кутова швидкість
тіла,
Jz – момент інерції тіла
відносно осі ОZ.

13.

Співвідношення, що зв’язує між собою
момент сили, який діє на тіло, і момент
імпульсу цього тіла у випадку обертального
руху навколо нерухомого центру має вигляд:
dL
M
dt
dL z
Mz
dt
d Jz
d
Jz
Jz ε
dt
dt
Jz Mz
Основний закон динаміки обертального руху твердого тіла
відносно нерухомої осі: момент сили відносно осі обертання
дорівнює добутку моменту інерції тіла відносно цієї осі на
набуте тілом кутове прискорення

14.

Якщо система замкнена, то момент
зовнішніх сил дорівнює нулю. Тоді:
dL
0
dt
а це значить, що:
L const
Закон збереження моменту імпульсу:
момент імпульсу замкненої системи постійний
у часі

15.

Кінетична енергія тіла, що обертається
mi v i
Wk
2
n
2
vi R
Jz 2
Wk
miRi
2 n
2
i
Jz 2
2
2
2
Співставлення формули
з формулою
для кінетичної енергії поступального руху mv
2
підтверджує факт, що момент інерції тіла є
мірою інертності тіла при обертальному русі.
2

16.

Аналогії між формулами механіки поступального
і обертального рухів
v
Поступальний рух
Обертальний рух
кутова швидкість
лінійна швидкість
dv
a = dt
лінійне прискорення
p mv
m – маса
JZ – момент інерції
імпульс
LZ = JZ момент імпульсу
F
сила
dp
F
dt
ma F
Wk = mv
2
d
=
кутове прискорення
dt
M або МZ – момент сили
dL
M
dt
J z z M z
2
Wk =
Jz 2
2

17. Питання для самоконтролю:

Що називають моментом інерції матеріальної точки
відносно нерухомої осі обертання?
Одиниці виміру моменту інерції.
Момент інерції тіл, правильної геометричної форми.
Теорема Штейнера
Що таке момент сили?
Приймаючи людину за циліндр радіуса 20 см,
висотою 1,7 м і масою 70 кг, розрахуйте моменти
інерції:
а) в положенні стоячи навколо осі, що проходить
через центр мас людини.
Що таке момент імпульсу?