Функциональные возможности геоинформационных систем (ГИС)

1.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ
И АНАЛИЗА ГЕОПРОСТРАНСТВЕННЫХ
ДАННЫХ НА ЭВМ

2.

Лекцию читает
к.т.н., доцент
БОБРОВА
ЛЮДМИЛА ВЛАДИМИРОВНА

3.

1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ГЕОИНФОРМАЦИОННЫХ
СИСТЕМ (ГИС)
Главное назначение ГИС
заключено в наборе
средств
создания и
объединения баз
данных
с возможностями их
географического анализа
и наглядной
визуализации в виде
различных карт,
графиков, диаграмм,
прямой привязке друг к
другу всех атрибутивных
и графических данных.

4.

ГИС используются практически во всех областях современной
промышленности и бизнеса, социальной инфраструктуры:
- для определения направления геологических и геодезических изысканий;
- для оптимального по разным критериям выбора местоположения новых
промышленных разработок, производственных мощностей, логистических
узлов;
- с целью поддержки принятия решений;
- для выбора кратчайших или наиболее безопасных маршрутов перевозок и
путей распределения продукции;
- в процессе анализа риска материальных вложений и урегулирования
разногласий;
- для демографических исследований, определения привязанного к
территории спроса на продукцию;
- при создании и географической привязке баз данных о земле и
домовладении.

5.

6.

ГИС объединяет
средства обычных
пакетов
картографического
отображения
с электронными
таблицами, базами и
хранилищами
данных.

7.

Виды ГИС
ГИС не являются серийным
продуктом, поскольку заказчик
не в состоянии с самого начала
точно представить себе все
задачи, которые ему предстоит
решать.
Фирмы – разработчики ГИС,
как правило, имеют для них
готовые модули,
обеспечивающие выполнение
одной из задач, например:
В процессе оформления заказа на
геоинформационную систему согласовывается
перечень модулей, необходимых конкретному
заказчику.
- поддержка устройств ввода и
вывода,
- работа с базами данных,
- визуализация и анализ данных.

8.

Данные могут быть
представлены в
графической,
текстовой или
табличной форме

9.

Например, геологическая
ГИС Isoline
поддерживает
использование
реляционных баз данных,
графических баз данных, а
также внедрение в макет
таблиц и графиков Excel,
текстов Word,
графики Corel
через буфер обмена.

10.

Дигитайзер –
устройство для
оцифровки
информации,
вводимой
пользователем
наложение
друг на друга
различных слоев,
представленных в
цифровой форме

11.

РЕАЛИЗАЦИЯ ГИС В КЛИЕНТ-СЕРВЕРНОЙ СТРУКТУРЕ

12.

Программное обеспечение ГИС содержит инструментарий,
необходимый для ввода, визуализации, анализа, преобразования,
хранения, а также вывода атрибутивной и пространственной
информации на какой-либо носитель (например, плоттер, принтер
или в другие системы).
Наиболее важными компонентами программных продуктов
являются:
• приборы для ввода и обработки пространственной информации;
• система управления базами данных;
• инструментарий поддержки SQL-запросов, анализа и визуализации
(отображения) информации;
• инструментарий статистического анализа данных;
• графический пользовательский интерфейс, обеспечивающий
доступ к инструментам и функциям.

13.

Результатом изучения дисциплины «Математические методы
обработки и анализа геопространственных данных на ЭВМ» должно
стать:
- понимание роли и и места математических методов обработки и
анализа пространственных данных на ЭВМ;
- умение использовать численные методы для обработки и анализа
информации;
- умение осуществлять прогнозирование и установление связей между
процессами на основе анализа статистической информации;
- умение работать в среде Excel и MathCad для аналитического
представления взаимосвязи исследуемых процессов, описания
экспериментальных материалов и осуществления прогнозирования
(решать трансцендентные уравнения и системы, владеть методами
интерполяции и аппроксимации, регрессионного и корреляционного
анализа).

14.

2. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ
ДАННЫХ

15.

16.

17.

18.

2.1.1. Интерполяция функций
Пусть функция
xi
yi
y=f(x) задана таблично
x0
x1
y0 f ( x0 ) y1 f ( x1 )
…
…
xn
yn f ( xn )
Требуется вычислить значения функции для
значений аргумента, не совпадающих с заданными в
таблице (между фиксированными значениями Х или
для прогнозных значений Х).

19.

Для этого неизвестную функцию f(x) заменяют
функцией F(x), аналитическое выражение которой
известно.
Эта функция называется
интерполирующей функцией,
а задача её нахождения –
задачей интерполяции.
xi
yi
x0
x1
y0 f ( x0 ) y1 f ( x1 )
…
…
xn
yn f ( xn )

20.

Задача интерполяции – по таблице
интерполирующую функцию F ( x) f ( x )
x0 , x1 ,..., xn ;
xi
yi
- узлы интерполяции.
x0
x1
y0 f ( x0 ) y1 f ( x1 )
…
…
xn
yn f ( xn )
найти

21.

Таким образом, при интерполяции строится функция
F ( x) c1 1 ( x) c2 2 ( x) ... cm m ( x)
где c1 , c2 ,..., cm – числовые коэффициенты,
которые следует определить,
а
1 ( x), 2 ( x),..., m ( x)
– известные функции.
В качестве последних обычно используют
алгебраические или тригонометрические многочлены
и другие классы функций.

22.

Построим многочлен
Pn ( x) a0 x a1 x
n
n 1
... an 1 x an
который будет интерполяционным, если его значения
совпадают со значениями заданной функции в узлах
интерполирования, т.е., если выполняется система из
равенств:
y0 f ( x0 ) Pn ( x0 )
y f (x ) P (x )
1
1
n
1
...............................
yn f ( xn ) Pn ( xn )
Задача состоит в вычислении коэффициентов
ai ( i 0,1,..., n )
интерполяционного многочлена.

23.

Линейная интерполяция
x0
x1
y0 = f(x0)
y1=f(x1)
Интерполяционный полином при n=1
P1 ( x) a0 a1 x
Система двух уравнений относительно неизвестных
a0, a1
y0 a0 a1 x0
y1 a0 a1 x1

24.

Решая систему, находим коэффициенты:
y0 x1 x0 y0
a0
x1 x0
y1 y1
a1
x1 x0
После преобразований получаем интерполяционный
полином первой степени
P1 ( x)
x x1
x0 x1
y0
x x0
x1 x0
y1

25.

Квадратичная интерполяция
x0
x1
x2
y0 = f(x0)
y1=f(x1)
y2=f(x2)
Интерполяционный полином при n=2
P2 ( x) a0 a1 x a2 x
2

26.

Решаем систему трех
неизвестных a0, a1,a2
уравнений
относительно
y0 a0 a1 x0 ax02
y1 a0 a1 x1 ax
2
1
y 2 a0 a1 x2 ax
2
2
и получаем интерполяционный
полином второй степени:
( x x0 )( x x2 )
( x x0 )( x x1 )
( x x1 )( x x2 )
P2 ( x)
y0
y1
y2
( x0 x1 )( x0 x2 )
( x1 x0 )( x1 x2 )
( x2 x0 )( x2 x1 )

27.

Графики интерполяционных полиномов
y
y
f ( x)
f ( x)
y1
y0 , y2
y0
P1 ( x)
P2 ( x)
x1
x0
n 1
x0
x1
n 2
x2

28.

Интерполяционный полином Ньютона
Конечные разности
Рассмотрим случай, когда узлы интерполирования
равно отстоят друг от друга
x1 x0 x2 x1 ... xn xn 1 h
(h – шаг интерполяции).
Конечными разностями первого порядка называются
выражения
y0 y1 y0
y1 y2 y1
...................
yn 1 yn yn 1

29.

Конечные разности второго порядка:
2 y0 y1 y0 y2 2 y1 y0
y1 y2 y1 y3 2 y2 y1
2
.................................................
2 yn 2 yn 1 yn 2 yn 2 yn 1 yn 2

30.

Построение таблицы конечных разностей
1. Вводим исходные данные
0
xk
x0
yk
y0
1
x1
2
x2
y1
y2
3
4
x3
x4
y3
y4
5
x5
y5
…
…
…
k
y k
2 yk
3 yk
4 yk
5 yk

31.

2. Вычисление конечных разностей первого порядка
Каждый элемент таблицы получается вычитанием элемента этой же
строки из элемента последующей строки предыдущего столбца
k
0
xk
x0
yk
y0
1
x1
2
x2
y1
y2
3
x3
4
5
x4
x5
y5
…
…
…
y k
2 yk
y0
y3
y4
y0 y1 y0
3 yk
4 yk
5 yk

32.

2. Вычисление конечных разностей первого порядка
Каждый элемент таблицы получается вычитанием элемента этой же
строки из элемента последующей строки предыдущего столбца
yk
y0
y k
0
xk
x0
1
x1
y1
2
x2
y1
y2
3
4
x3
x4
y3
y4
5
x5
y5
…
…
…
k
2 yk
y0
y1 y2 y1
3 yk
4 yk
5 yk

33.

2. Вычисление конечных разностей первого порядка
Каждый элемент таблицы получается вычитанием элемента этой же
строки из элемента последующей строки предыдущего столбца
yk
y0
y k
0
xk
x0
1
x1
y1
2
x2
y1
y2
3
4
x3
x4
y3
y4
5
x5
y5
…
…
…
k
2 yk
y0
y 2
y2 y3 y2
3 yk
4 yk
5 yk

34.

2. Вычисление конечных разностей первого порядка
Каждый элемент таблицы получается вычитанием элемента этой же
строки из элемента последующей строки предыдущего столбца
yk
y0
y k
0
xk
x0
1
x1
y1
2
x2
y1
y2
3
y3
y4
y3
4
x3
x4
5
x5
y5
…
…
…
k
2 yk
y0
y 2
y3 y4 y3
3 yk
4 yk
5 yk

35.

2. Вычисление конечных разностей первого порядка
Каждый элемент таблицы получается вычитанием элемента этой же
строки из элемента последующей строки предыдущего столбца
yk
y0
y k
0
xk
x0
1
x1
y1
2
x2
y1
y2
3
y3
y4
y3
4
x3
x4
5
x5
y5
…
…
…
…
…
k
2 yk
y0
y 2
y 4
y4 y5 y4
3 yk
4 yk
5 yk

36.

3. Вычисление конечных разностей второго порядка
Каждый элемент таблицы получается вычитанием элемента этой же
строки из элемента последующей строки предыдущего столбца
yk
y0
y k
2 yk
0
xk
x0
y0
2 y0
1
x1
y1
2
x2
y1
y2
3
y3
y4
y3
4
x3
x4
5
x5
y5
…
…
…
…
…
k
3 yk
4 yk
y 2
y 4
2 y0 y1 y0
5 yk

37.

3. Вычисление конечных разностей второго порядка
Каждый элемент таблицы получается вычитанием элемента этой же
строки из элемента последующей строки предыдущего столбца
yk
y0
y k
2 yk
0
xk
x0
y0
2 y0
1
x1
y1
2 y1
2
x2
y1
y2
3
y3
y4
y3
4
x3
x4
5
x5
y5
…
…
…
…
…
k
3 yk
4 yk
y 2
y 4
2 y1 y2 y1
5 yk

38.

3. Вычисление конечных разностей второго порядка
Каждый элемент таблицы получается вычитанием элемента этой же
строки из элемента последующей строки предыдущего столбца
yk
y0
y k
2 yk
0
xk
x0
y0
2 y0
1
x1
y1
2 y1
2
x2
y1
y2
y 2
2 y2
3
y3
y4
y3
4
x3
x4
5
x5
y5
…
…
…
…
…
k
3 yk
4 yk
y 4
2 y2 y3 y2
5 yk

39.

4. Вычисление конечных разностей третьего порядка
yk
y0
y k
2 yk
3 yk
0
xk
x0
y0
2 y0
3 y0
1
x1
y1
2 y1
2
x2
y1
y2
y 2
2 y2
y3
y4
2 y3
4
x3
x4
y3
y 4
…
5
x5
y5
…
…
…
…
…
…
…
k
3
4 yk
5 yk
3 y0 2 y1 2 y0

40.

4. Вычисление конечных разностей третьего порядка
yk
y0
y k
2 yk
3 yk
0
xk
x0
y0
2 y0
3 y0
1
x1
y1
2 y1
3 y1
2
x2
y1
y2
y 2
2 y2
y3
y4
2 y3
4
x3
x4
y3
y 4
…
5
x5
y5
…
…
…
…
…
…
…
k
3
4 yk
5 yk
3 y1 2 y2 2 y1

41.

4. Вычисление конечных разностей третьего порядка
yk
y0
y k
2 yk
3 yk
0
xk
x0
y0
2 y0
3 y0
1
x1
y1
2 y1
3 y1
2
x2
y1
y2
y 2
2 y2
3 y2
x3
x4
y3
y4
y3
2 y3
…
y 4
…
…
5
x5
y5
…
…
3
2
2
y
y
y2
2
3
…
…
…
…
…
…
…
k
3
4
4 yk
5 yk

42.

5. Вычисление конечных разностей четвертого порядка
yk
y0
y k
2 yk
3 yk
4 yk
0
xk
x0
y0
2 y0
3 y0
4 y0
1
x1
y1
2 y1
3 y1
2
x2
y1
y2
y 2
2 y2
3 y2
y3
y4
2 y3
4
x3
x4
y3
y 4
…
… 4 y0 3 y1 3 y0
…
5
x5
y5
…
…
…
…
…
…
…
…
…
k
3
5 yk

43.

5. Вычисление конечных разностей четвертого порядка
yk
y0
y k
2 yk
3 yk
4 yk
0
xk
x0
y0
2 y0
3 y0
4 y0
1
x1
y1
2 y1
3 y1
4 y1
2
x2
y1
y2
y 2
2 y2
3 y2
…
y3
y4
2 y3
…
…
4
x3
x4
y3
y 4
…
…
…
5
x5
y5
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
k
3
5 yk
4 y1 3 y2 3 y1

44.

6. Вычисление конечных разностей пятого порядка
5 y0 4 y1 4 y0
yk
y0
y k
2 yk
3 yk
4 yk
5 yk
0
xk
x0
y0
2 y0
3 y0
4 y0
5 y0
1
x1
y1
2 y1
3 y1
4 y1
…
2
x2
y1
y2
y 2
2 y2
3 y2
…
…
y3
y4
2 y3
…
…
…
4
x3
x4
y3
y 4
…
…
…
…
5
x5
y5
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
k
3

45.

Интерполяционный полином Ньютона
k y0
Pn ( x) y0 ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )
k
k!h
k 1
n
h – шаг интерполяции (расстояние между двумя значениями Х;
k! = 1* 2 * 3 *4*…*n
Погрешность при замене функции полиномом
Ньютона:
n y0
R ( x) ( x x0 )( x x1 )...( x xn 1 )
n!h n

46.

Пример
Функция y f ( x) задана таблицей:
x
y
0
5
1
5
2 3
9 25
Необходимо вычислить значения функции в точках
х=0,3 и х=0,5
Решение
1. Вычисляем конечные разности:
Первого порядка:
y0 y1 y0 5 5 0
y1 y2 y1 9 5 4

47.

Самостоятельная работа
Задание. Найти следующую конечную
разность первого порядка
Варианты
A. 8
ответов:
В. 2
С. 16
D. 6
y0 y1 y0 5 5 0
x
0
1
2
3
y1 y2 y1 9 5 4
y
5
5
9 25

48.

СВЕРИМ ОТВЕТЫ?
y0 y1 y0 5 5 0
y1 y2 y1 9 5 4
y2 y3 y2 25 9 16
Номер
0
1
2
3
x
0
1
2
3
y
5
5
9
25

49.

2. Заносим конечные разности первого порядка
таблицу:
y k y k 3 y k
2
k
xk
yk
0
0
5
0
1
1
5
4
2
2
9
16
3
3
25
y0 y1 y0 5 5 0
y1 y2 y1 9 5 4
y2 y3 y2 25 16

50.

2. Заносим конечные разности первого порядка
таблицу:
y k y k 3 y k
2
k
xk
yk
0
0
5
0
1
1
5
4
2
2
9
16
3
3
25
25 – 5 = 20
16 + 4 + 0 = 20
Разность крайних
значений
предыдущего
столбца равна сумме
элементов
следующего
столбца.

51.

3. Находим конечные разности второго порядка:
2 y0 y1 y0 4 0 4
y k y k y k y k
2
k
xk
0
0
5
0
1
1
5
4
2
2
9
16
3
3
25
3

52.

Самостоятельная работа
Найдите следующую конечную разность второго порядка.
y k y k 2 y k 3 y k
k
xk
0
0
5
0
1
1
5
4
2
2
9
16
3
3
25
4
2 y0 y1 y0 4 0 4

53.

3. Находим конечные разности второго порядка:
y1 y2 y1 16 4 12
2
y k y k 2 y k 3 y k
k
xk
0
0
5
0
1
1
5
4
2
2
9
16
3
3
25
4
2 y0 y1 y0 4 0 4

54.

3. Заносим конечные разности второго порядка:
в таблицу:
y k y k 2 y k 3 y k
k
xk
0
0
5
0
4
1
1
5
4
12
2
2
9
16
3
3
25
2 y0 y1 y0 4 0 4
2 y1 y2 y1 16 4 12

55.

3. Заносим конечные разности второго порядка:
в таблицу:
y k y k 2 y k 3 y k
k
xk
0
0
5
0
4
1
1
5
4
12
2
2
9
16
3
3
25
16 – 0 = 16
12 +4 = 16

56.

4. Вычисляем конечную разность третьего порядка
3 y0 2 y1 2 y0 12 4 8
изаносим ее в таблицу
y k y k 3 y k
2
k
xk
yk
0
0
5
0
4
1
1
5
4
12
2
2
9
16
3
3
25
8

57.

5. Составляем
интерполяционный
полином Ньютона:
y k y k 2 y 3 y
k
k
k
xk
0
0
5
0
4
1
1
5
4
12
2
2
9
16
3
3
25
8
( x 0) 0 ( x 0)( x 1) 4 ( x 0)( x 1)( x 2) 8
2
3
1 1
1
1 2
1
1 2 3
4
4
2
(2)
5 0 2 x( x 1) x( x 1)( x 2) x 3 2 x 2 x 5
3
3
3
P3 ( x) 5
x x0 y0 ( x x0 )( x x1 ) 2 y0 ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 3 y0
Pn ( x) P3 ( x) y0
2
h 1!
h
2!
h3
3!
(1)

58.

6. Вычисляем значения функции, заданной таблицей в
точках x 0.3 и x 0.5
Для этого подставляем данные значения в выражение (2):
2
4
2
P3 (0,3) 5 0,3 2 (0,3) (0,3)3 5,056
3
3
2
4
2
P3 (0,5) 5 0,5 2 (0,5) (0,5)3 5,000
3
3
4 3
2
2
P3 ( x) x 2 x x 5
3
3
(2)

59.

Экстраполяция - прогнозирование
Осуществить прогноз значения y при x=4.
4 3
2
2
P3 ( x 4) 4 2 4 4 5
3
3
4 3
2
2
P3 ( x ) x 2 x x 5 (2)
3
3

60.

Экстраполяция - прогнозирование
Осуществить прогноз значения y при x=4.
4 3
2
4
8
2
P3 ( x 4) 4 2 4 4 5 64 32 5
3
3
3
3
4 3
2
2
P3 ( x ) x 2 x x 5 (2)
3
3

61.

Экстраполяция - прогнозирование
Осуществить прогноз значения y при x=4.
4 3
2
4
8
2
P3 ( x 4) 4 2 4 4 5 64 32 5
3
3
3
3
256 8
264 81 187
27
62,3
3
3
3
4 3
2
2
P3 ( x ) x 2 x x 5 (2)
3
3

62.

2.1.2. Интерполяция в электронной таблице Excel. Показ формул
x x0 y0 ( x x0 )( x x1 ) 2 y0 ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 3 y0
Pn ( x) P3 ( x) y0
h 1!
h2
2!
h3
3!

63.

Интерполяция в электронной таблице Excel. Показ вычислений
x x0 y0 ( x x0 )( x x1 ) 2 y0 ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) 3 y0
Pn ( x) P3 ( x) y0
h 1!
h2
2!
h3
3!

64.

2.1.3. Интерполяция в пакете математических вычислений MathCad
Окно MathCad
Нерусифицированная версия
Панель
инструментов
Русифицированная версия

65.

Калькулятор

66.

Шаблон выдачи результатов

67.

Шаблон матриц

68.

69.

Палитра «Логические»

70.

Палитра графиков

71.

Интерполяция в MathCad

72.

73.

Предсказание (экстраполяция) на основе интерполяции в MathCad

74.

2.2. АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ.
РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ

75.

Второй подход – функция f(x) проходит
как можно ближе к узлам (xi;yi).
Это задача аппроксимации.
Функция,
полученная при
этом, называется
функцией
регрессии.

76.

Если связь между переменными х и
у линейная, регрессия называется
линейной.
Если переменные связаны нелинейным
образом, регрессия будет нелинейной.
При линейной связи между переменными,
уравнение регрессии имеет вид
y = b0 + b1x.
Коэффициенты b0 и b1 называются
коэффициентами регрессии.

77.

Если рассматривается зависимость
между двумя переменными х и у,
регрессия называется парной.
Если существует связь между одной
зависимой переменной у и
несколькими неизвестными
переменными х, говорят о
множественной регрессии, например,
y b0 b1 x1 b2 x2 bn xn

78.

2.2.1. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Этот метод наиболее часто используется для получения уравнения
регрессии. Предположим, между значениями х и у существует
линейная зависимость
y=b0+b1x.
Нам нужно найти такую функцию
у* = f(x)=b0* +b1* x
которая проходила бы как можно ближе к функции у.
Будем искать такую функцию f(x), для которой величина
n
S yi yi*
2
i 1
была бы минимальной.
Это метод наименьших квадратов.

79.

Итак, ищем минимум функции
n
S yi b b xi
i 1
*
0
*
1
2
Для этого нужно взять частные производные
функции S по а* и по b* ,
S S
* ; *
b0 b1
приравнять их к нулю и решить полученную
систему уравнений.

80.

Получим
(1)
Имея уравнение у* = b0* + b1* x и подставляя в него
значения х за будущий период, можно осуществить
прогнозирование.

81.

Обозначим через ei разность
ei yi yi* yi b *0 b1 * x
Случайная величина ei называется остатком регрессии в i-м
наблюдении.
Метод наименьших квадратов (МНК)можно
записать в виде:
n
S b0 , b1 e yi b0 b2 xi min
i 1
2
i
2

82.

Пример
Имеются данные о затратах на рекламу
(x, усл. ед.) и объеме реализации продукции (y, усл. ед.).
Таблица 1
xi
2
3
4
5
6
yi
1,4
1,7
1,8
1,7
1,9
Построить выборочное уравнение линейной парной
регрессии для выборки из табл. 1.
Определить прогноз объема продаж при затратах на
рекламу х = 7 у.е.

83.

Сведем вычисления в табл. 2
Таблица 2
i
x
y
1
2
3
4
5
Сумма
2
3
4
5
6
20
1,4
1,7
1,8
1,7
1,9
8,5
xy
Таблица 1
xi
2
3
4
5
6
yi 1,4 1,7 1,8 1,7 1,9
x2
y*
ei
e2

84.

Находим суммы первых трех столбцов
Таблица 2
i
x
y
xy
1
2
2
3
1,4
1,7
2,8
5,1
3
4
1,8
7,2
4
5
5
6
1,7
1,9
8,5
11,4
Сумма 20
8,5
35
x2
y*
ei
e2

85.

Вычисляем значения и суммы трех следующих столбцов
Таблица 2
i
x
y
xy
1
2
2
3
1,4
1,7
2,8
5,1
3
4
1,8
7,2
4
5
5
6
1,7
1,9
8,5
11,4
Сумма
20
8,5
35
y*
ei
e2

86.

b1
n
n
n
1
1
1
Находим коэффициенты регрессии по системе (1)
n x i y i xi y i
n xi2 xi
1
1
n
n
2
5 35 20 8,5 175 170 5
0,1.
2
450 400 50
5 90 20
b0
n
n
1
1
yi b1 xi
n
i
x
y
xy
x2
1
2
2
3
1,4
1,7
2,8
5,1
4
9
3
4
5
4
5
6
1,8
1,7
1,9
7,2 16
8,5 25
11,4 36
Сумма 20
8,5
35
90
y*
ei
8,5 0,1 20 6,5
1,3.
5
5
e2

87.

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:
y* b0 b1 x 1,3 0,1 x.
Величина коэффициента b1
показывает, что с увеличением
расходов на рекламу на 1 усл. ед.
объем продаж увеличится в среднем
на 0,1 усл. ед.
Пример 1. Имеются данные о затратах
на рекламу (x, усл. ед.) и объеме
реализации продукции (y, усл. ед.).
(2)

88.

ГРАФИК РЕГРЕССИИ

89.

По уравнению регрессии (2) находим приближенные
(теоретические) значения y*:
y * ( x 2) 1.3 0.1 2 1.5
y * ( x 3) 1.3 0.1 3 1.6
y * ( x 4) 1.3 0.1 4 1.7
y * ( x 5) 1.3 0.1 5 1.8
y * ( x 6) 1.3 0.1 6 1.9
Таблица 2
i
x
y
xy
x2
1
2
1,4
2,8
4
2
3
1,7
5,1
9
1,6
3
4
1,8
7,2
16
1,7
4
5
1,7
8,5
25
1,8
5
6
1,9
11,4
36
1,9
Сумма
20
8,5
35
90
y*
ei
1,5
y* b0 b1 x 1,3 0,1 x. (2)
e2

90.

Вычисляем остатки регрессии:
e1 y1 y *1 1.4 1.5 0.1
e2 y2 y *2 1.7 1.6 0.1
e4 y4 y *4 1.7 1.8 0.1
e3 y3 y *3 1.8 1.7 0.1
e5 y5 y *5 1.9 1.9 0
Таблица 2
i
x
y
xy
x2
y*
ei
e2
1
2
2
3
1,4
1,7
2,8
5,1
4
9
1,5
1,6
-0,1
0,1
0,01
0,01
3
4
4
5
1,8
1,7
7,2
8,5
16
25
1,7
1,8
0,1
-0,1
0,01
0,01
5
Сумма
6
20
1,9
8,5
11,4
35
36
90
1,9
0
0
0,04

91.

Рассчитаем объем продаж
при х = 7
y* b0 b1 x 1,3 0,1 x.
у* = 1,3+0,1х =1,3 +0,1*7 = 2 (у.е).

92.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Задание.
При установлении взаимосвязи
между уровнем инфляции (х) и ценой на
некоторый товар (y) получено уравнение
регрессии
y* = 3х -4
Осуществите прогнозирование
цены на товар при значении инфляции 10.
А. 26.
В. 30
С. 40
D. 37.

93.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА
Задание.
При обработке статистических
данных получены коэффициенты
линейной регрессии:
b0* = 3,5; b1* = -0,8.
Осуществите прогноз
исследуемого процесса для Х= 20.

94.

Регрессионный анализ в Excel осуществляется:
- в Пакете анализа,
- графически,
- а также функциями:
ЛИНЕЙН, ТЕНДЕНЦИЯ,
ЛГРФПРИБЛ, РОСТ,
ПРЕДСКАЗ, ОТРЕЗОК,
НАКЛОН, СТОШУХ и другими.

95.

Аппроксимация в математическом пакете Maple

96.

ИНДИВИДУАЛЬНАЯ РАБОТА
Определите уравнение регрессии
и осуществите прогнозирование
согласно индивидуального задания 1
Контрольной работы

97.

2.2.3. НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
Нелинейные регрессии делятся на два класса:
• регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ
объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым
параметрам,
• регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.
Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:
• полиномы разных степеней у = а + b1• х + b2• х2 + b3• х3 + ;
• равносторонняя гипербола
b
у=а+
x
+ ;

98.

НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ
Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:
• степенная у = а • хb• ;
• показательная у = а • bх • ;
• экспоненциальная у = еa+bx .
Построение уравнения регрессии сводится к оценке
ее параметров.
Для оценки параметров регрессий, линейных по
параметрам, используют метод наименьших квадратов
(МНК)

99.

2.2.4. МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ
Множественная регрессия - уравнение связи переменной у
с несколькими независимыми переменными:
y=f(x1,x2,...,хp),
где
у - зависимая переменная (результативный признак);
x1, x2, ..., хp - независимые переменные (факторы).
Для оценки параметров уравнения
множественной регрессии применяют
метод наименьших квадратов (МНК).

100.

МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ
Для построения уравнения множественной
регрессии чаще используются следующие функции:
• линейная - у = а +b1•x1+b2 –х2 +…+bp•xр+ ;
• степенная -y a x1b1 xb22 ... xbpp ε;
• экспонента -y
a b1 x1 b2 x2 ... bp x p
e
1
;
y • гипербола a b1 x1 b2 x 2 ... b p x p ε