Решение вычислительных задач на компьютере
Решение вычислительных задач на компьютере
Погрешности измерений
Погрешности измерений
Погрешности вычислений
Погрешности вычислений
Источники погрешностей
Решение вычислительных задач на компьютере
Методы решения уравнений
Приближённые методы
Приближенные методы
Приближенные методы
Метод перебора
Есть ли решение на [x, x+ ]?
Метод перебора (a = 0)
Метод перебора
Метод деления отрезка пополам
Метод деления отрезка пополам
Полёт мяча
Полёт мяча
Уточнение диапазона углов
Полёт мяча
Полёт мяча
Полёт мяча
Полёт мяча
1.27M
Category: informaticsinformatics

Решение вычислительных задач на компьютере

1. Решение вычислительных задач на компьютере

1
Решение
вычислительных
задач на компьютере
§ 69. Точность вычислений
§ 70. Решение уравнений
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

2. Решение вычислительных задач на компьютере

2
Решение
вычислительных
задач на компьютере
§ 69. Точность вычислений
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

3. Погрешности измерений

Решение вычислительных задач, 10 класс
3
Погрешности измерений
«Недостатки математического образования с
наибольшей отчетливостью проявляются в
чрезмерной точности численных расчетов».
Карл Фридрих Гаусс.
Погрешность (ошибка) – отклонение измеренного или
вычисленного значения от истинного значения.
10
10
цена деления 0,1 см
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
3
2
1
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
4
3
2
1
измерено
8,2 см
7,8 см
Толщина дна:
вычислено
0,4 см
фактически
8,15 ... 8,25 см
7,75 ... 7,85 см
фактически
0,3 ... 0,5 см
0,4 0,1 см
http://kpolyakov.spb.ru

4. Погрешности измерений

Решение вычислительных задач, 10 класс
4
Погрешности измерений
абсолютная
погрешность x
0,4 0,1
0,1 см
?
Можно ли оценить
точность измерений?
Относительная погрешность:
x
x *
x*
измеренное
истинное
значение
0,1
x
0,25 25%
0,4
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

5. Погрешности вычислений

Решение вычислительных задач, 10 класс
5
Погрешности вычислений
D 1,2 0,1 см
S
D2
Smin
S ?
1,1309733552923255658465516179806...
4
1,12
0,950...
4
S 1,1 0,2 см
Smax
1,32
4
1,327...
0,2
x
100% 18%
1,1
Все практические расчеты выполняются неточно.
Погрешность результата вычислений определяется
погрешностью исходных данных.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

6. Погрешности вычислений

Решение вычислительных задач, 10 класс
6
Погрешности вычислений
a 1000 0,001; b 0,002 0,001;
a c
x
c 1000 0,001; d 0,003 0,001.
b d
0,001
0,001
0,001
50% b
33%
a c
0,01% b
0,002
0,003
1000
1000 1000
неточные числа
x
166667
0,002 0,003
в знаменателе
1000 1000
xmax
750000
0,001 0,004
750000 166667
x
352%
1000 1000
166667
xmin
166667
0,003 0,002
Метод вычислительно неустойчив: малые погрешности
в исходных данных могут привести к большим
погрешностям в решении.
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

7. Источники погрешностей

Решение вычислительных задач, 10 класс
7
Источники погрешностей
• неточность исходных данных
• неточность записи вещественных чисел в двоичном
коде конечной длины
• погрешности приближенного вычисления некоторых
стандартных функций (sin, cos, …)
• накопление погрешностей при арифметических
действиях с неточными данными
• погрешность метода
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

8. Решение вычислительных задач на компьютере

8
Решение
вычислительных
задач на компьютере
§ 70. Решение уравнений
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

9. Методы решения уравнений

Решение вычислительных задач, 10 класс
9
Методы решения уравнений
Точные (аналитические) методы:
ax b 1,
x cos x
a 0
?
1 b
x
a
Как решать?
Графический метод:
!
Можно поручить такой поиск компьютеру!
?
Можно ли получить точное решение?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

10. Приближённые методы

Решение вычислительных задач, 10 класс
10
Приближённые методы
Сжатие отрезка:
1) выбрать начальный отрезок [a0, b0] (одно решение!)
2) уточнить решение с помощью некоторого
алгоритма: [a, b]
3) повторять шаг 2, пока длина отрезка [a, b] не станет
достаточно мала
a
?
x
a b
2
?
b
Как оценить ошибку?
Завершение работы:
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
Что лучше выбрать в
качестве решения?
b a
x x
2
b a 2
*
допустимая
ошибка
http://kpolyakov.spb.ru

11. Приближенные методы

Решение вычислительных задач, 10 класс
11
Приближенные методы
По одной точке:
1) выбрать начальное приближение x0
2) уточнить решение с помощью некоторого алгоритма:
x
3) повторять шаг 2, пока два последовательных
приближения не будут отличаться достаточно мало
y
Завершение работы:
xi xi 1
касательная
метод Ньютона
(метод касательных)
x*
0
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
x2 x1
x0
x
http://kpolyakov.spb.ru

12. Приближенные методы

Решение вычислительных задач, 10 класс
12
Приближенные методы
Итерационные методы (лат. iteratio – повторение) –
основаны на многократном выполнении одинаковых
шагов, каждый из которых уточняет решение.
xk 1 f ( xk )
следующее
приближение
предыдущее
приближение
дают какое-то решение, если точное неизвестно
могут давать меньшие ошибки, чем вычисления по
точным формулам
решение приближенное: x
= 1,23345
ответ – число (зависимость от параметра?)
большой объем вычислений
не всегда просто оценить погрешность
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

13. Метод перебора

Решение вычислительных задач, 10 класс
13
Метод перебора
f ( x) 0
x cos x x cos x 0
Задача. Найти решение уравнения справа от точки x a
с точностью .
Алгоритм:
y
1) разбить отрезок [a, b] на
полосы шириной = 2
x*
2) найти полосу [a*, b*], в
которой находится x*
a
b x
3) решение:
a* b*
*
*
a b
x
2
*
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

14. Есть ли решение на [x, x+ ]?

Решение вычислительных задач, 10 класс
14
Есть ли решение на [x, x+ ]?
нет решения
y
есть решение!
y
x*
0
x
x+
x
f ( x) 0
f (x ) 0
0
x*
x
нет решения
y
x+
x
x*
0
x
x
?
f ( x) 0
В чём отличие?
f (x ) 0
x+
f ( x) 0
f (x ) 0
f ( x) f ( x ) 0
!
Если непрерывная функция f (x) имеет разные знаки
на концах интервала [a, b], то в некоторой точке x*
внутри [a, b] она равна 0, то есть f (x* ) = 0!
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

15. Метод перебора (a = 0)

Решение вычислительных задач, 10 класс
15
Метод перебора (a = 0)
const eps = 0.001;
var x, delta: real;
function f(x: real):real;
begin
f:= x - cos(x)
end;
begin
x:= 0; {x:= a;}
Когда остановится?
delta:= 2*eps;
while f(x)*f(x+delta) > 0 do
x:= x + delta;
Зацикливание?
writeln('x = ',(x+eps):6:3)
end.
?
?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

16. Метод перебора

Решение вычислительных задач, 10 класс
16
Метод перебора
простота
можно получить решение с любой заданной
точностью
большой объем вычислений
Усовершенствованный перебор:
1) отделение корней – перебор с большим шагом
2) уточнение корней – перебор с шагом 2
y
x*
0
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
x
http://kpolyakov.spb.ru

17. Метод деления отрезка пополам

Решение вычислительных задач, 10 класс
17
Метод деления отрезка пополам
.
y
Алгоритм:
1) вычислить середину
x*
0
c
a
b x
отрезка: c
a b
2
2) если на отрезке [a,c] есть
решение, присвоить
b:=c, иначе a:=c
?
?
Что напоминает?
3) повторять шаги 1-2 до тех
пор, пока b a 2
п.2: как определить, есть ли решение?
f ( a ) f (c ) 0
Вариант:
sign[ f (a)] sign[ f (c)]
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
1, x 0
sign x 0, x 0
1, x 0
http://kpolyakov.spb.ru

18. Метод деления отрезка пополам

Решение вычислительных задач, 10 класс
18
Метод деления отрезка пополам
.
Паскаль:
delta:= 2*eps;
while b - a > delta do begin
c:= (a + b) / 2;
if f(a)*f(c) <= 0 then
b:= c
else a:= c;
end;
writeln('x = ', (a+b)/2:6:3);
?
Как меняется длина отрезка?
?
За сколько шагов уменьшится в 1000 раз?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

19. Полёт мяча

Решение вычислительных задач, 10 класс
19
Полёт мяча
y
v0
неизвестен
H
x
S
10 м


x v0 t cos ,
gt 2
y v0 t sin
2
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

20. Полёт мяча

Решение вычислительных задач, 10 класс
20
Полёт мяча
Задача. Найти угол (и время t) при котором x = S и y = H:
gt 2
S v0 t cos , H v0 t sin
2
Решение:
S
t
v0 cos
v0 S sin
g S2
H
2
v0 cos
2v0 cos 2
g S2
f ( ) S tg 2
H 0
2
2v0 cos
Диапазон углов для поиска: [0 ...90 ] 0...
2
Как уточнить?
?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

21. Уточнение диапазона углов

Решение вычислительных задач, 10 класс
21
Уточнение диапазона углов
min arctg
H
S
H
Диапазон углов для поиска: arctg ...
S 2
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

22. Полёт мяча

Решение вычислительных задач, 10 класс
22
Полёт мяча
Программа на языке Паскаль:
u:= 0;
delta:= 2*eps;
while u < pi/2 do begin
if f(u)*f(u+delta) <= 0 then begin
alpha:= (u+eps)*180/pi;
writeln('Угол: ', alpha:4:1, ' градусов');
end;
u:= u + delta
end;
1 35,6
2 65,8
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

23. Полёт мяча

Решение вычислительных задач, 10 класс
23
Полёт мяча
Использование табличного процессора:
имя ячейки
или диапазона
Диапазон углов:
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
http://kpolyakov.spb.ru

24. Полёт мяча

Решение вычислительных задач, 10 класс
24
Полёт мяча
S $B$1
Excel: РАДИАНЫ
Диаграмма XY:
Excel: Точечная
1 35
2 65
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
3
2
1
0
-1
10
20
30
40
50
60
-2
-3
-4
-5
-6
http://kpolyakov.spb.ru

25. Полёт мяча

Решение вычислительных задач, 10 класс
25
Полёт мяча
с графика!
начальное приближение
Сервис – Подбор параметра:
целевая
ячейка
нужно
f( ) = 0
?
Как найти второе
решение?
К.Ю. Поляков, Е.А. Ерёмин, 2013
изменяем
начальное
приближение
результат
в H2!
http://kpolyakov.spb.ru
English     Русский Rules