Ustalone przewodzenie ciepła w ciałach stałych: pręty i żebra

1. WYMIANA CIEPŁA

2. Slajd 2

PLAN WYKŁADÓW
Wykład 3: Ustalone przewodzenie ciepła w ciałach
stałych: pręty i żebra
Wymiana ciepła przez pręty
Wymiana ciepła przez żebra
• Sprawność żeber
• Efektywność żebra

3. Slajd 3

1. Wyprowadzić równanie na sprawność żebra płaskiego
2. Powierzchnia metalu opływana jest z jednej strony cieczą a z drugiej gazem. Którą
stronę warto użebrować i dlaczego?
3. Zastosowanie powierzchni ożebrowanej zwiększa czy zmniejsza opór cieplny?
4. Narysuj schemat powierzchni dowolnie ożebrowanej i przedstaw wzory na opór
cieplny i całkowite przenikanie ciepła
5. Na podstawie liczby Biota opisz kiedy można stosować powierzchnie ożebrowane.

4. Slajd 4

5. Slajd 5

6. Slajd 6

WYMIANA CIEPŁA PRZEZ PRĘTY
Ciepło odprowadzane przez
przejmowanie
U dx T Tp
Q
Ciepło doprowadzone do
elementu przez przewodzenie
dT
Q D A p
dx
Ciepło odprowadzane
przez przewodzenie
A d T dT dx
Q
w
p
dx
dx

7. Slajd 7

WYMIANA CIEPŁA PRZEZ PRĘTY
A
d
d
d
A
dx U dx
dx
dx
dx
d 2 U
2
m
2
dx
A
U
m
A
C e mx D e mx

8. Slajd 8

WYMIANA CIEPŁA PRZEZ PRĘTY i ŻEBRA
1. BARDZO DŁUGIE
0 e mx
U 0 A U 0
Q
m
cosh m L x
0
cosh mL
2. IZOLOWANE NA KOŃCU
U 0 tgh mL A U 0 tgh mL
Q
m
L
sinh m L x
m
0
cosh mL L sinh mL
m
PL B L
m
m A 0 B thmL A U 0 th m L A
Q
1 B thmL
U
cosh m L x
3. NIEIZOLOWANE NA KOŃCU
A
ch m L x
U
X 0
A
ch m L
U

9. Slajd 9

WYMIANA CIEPŁA PRZEZ ŻEBRA
Ciepło przejmowane od żebra przy rzeczywistym
rozkładzie temperatury wzdłuż jego wysokości
U 0 tgh mh ' h ' h
Q
m
2
Ciepło przejmowane od żebra przy stałej
temperaturze żebra wzdłuż jego wysokości
U 0 A U 0
Q
m
SPRAWNOŚĆ ŻEBRA OKREŚLA STOSUNEK CIEPŁA
PREJMOWANEGO OD ŻEBRA PRZY RZECZYWISTY ROZKŁADZIE
TEMPERATUR DO CIEPŁA PRZEJMOWANEGO OD ŻEBRA PRZY
STAŁEJ TEPERATURZE WZDŁUŻ JEGO WYSOKOŚCI
Ż ŻP
......
.....

10. Slajd 10

SPRAWNOŚĆ ŻEBER
m
Ż
0
ŻP
m th mL th mh
0
mL
mh
ŻO
m
2
0 1 mL
m (mL )
Żt
0
mL
ŻEBRO OKRĄKRĄ
ŻEBRO O PROFILU TRÓJK .

11. Slajd 11

EFEKTYWNOŚĆ ŻEBRA
Strumień ciepła oddanego przez żebro można wyrazić również równaniem Pecleta:
A k
Q
0
Ż
CŻ
•Dla żebra płaskiego prostego zaizolowanego na końcu
k CŻŻ m th mL
•Dla nieizolowanego na końcu
k CŻŻ m th mL '
•Dla żebra okrągłego o stałej grubości
k CŻ 0 m mL ,
•Dla żebra prostego o profilu trójkątnym
k CŻŻ m mL

12. Slajd 12

EFEKTYWNOŚĆ ŻEBRA
Po podzieleniu kCŻ przez otrzymuje się:
k CŻ
k Żi
Wielkość ta wyraża zwiększenie strumienia ciepła w porównaniu ze ścianką
nieożebrowaną przy założeniu że temperatura ścianki nie ulegnie zmianie na skutek
stosowania żeber dla żebra prostego o stałej grubości jest:
k ŻP
m
2
th mL
th mL
W przypadku żebra nieskończenie długiego, po wykorzystaniu liczby Biota (Bi= / )
efektywność żebra wynosi:
k ŻP max
2
Bi
Wynika stąd wartość krytyczna Bikr=2. gdy liczba Biota jest większa niż 2 – żebro działa
jak izolator. Dla rzeczywistych żeber przyjmujemy, Bi<0,1 i wtedy jest wystarczająca
efektywność działania żeber

13. Slajd 13

CELOWOŚĆ STOSOWANIA ŻEBER
Stosowanie żeber jest celowe tylko w przypadku, gdy przez użebrowanie powierzchni
osiąga się zwiększenie STRUMIENIA PRZEJMOWANEGO CIEPŁA. Aby określić to
kryterium należy przyrównać do zera pochodną:
0
dQ
B thmh
dQ 0 m A 0
1 B thmh
dh
2
2
1 Bi
B
2
dh
W rzeczywistości temperatura żebra zmienia się tak z jego wysokością, jak i
grubością. Współczynniki przejmowania ciepła od bocznych powierzchni żeber
nie są stałe, a średnia ich wartość maleje w miarę wzrostu wysokości żebra. W
związku z tym w praktyce jest celowe stosowanie żeber płaskich o przekroju
prostokątnym, gdy:
Bi
0,4

14. Slajd 14

WYMIANA CIEPŁA PRZEZ ŻEBRA
Przenikanie ciepła przez
powierzchnią użebrowaną.
płaską
ścianę
z
jedną
K C TP1 TP 2
Q
1
KC
RC
1
A1 1
Q
1
A1 1
1
A1 1
S
S
A1
1
A mż Ż A ż 2
1
Ż A ż 2
TP1 TP 2
A1
S
A1
1
Ż A ż 2

15. Slajd 15

PRZYPADKI SZCZEGÓLNE DLA OKRĄGŁE ŻEBRO PŁASKIE
Dla żebra okrągłego o stałej grubości pole
powierzchni izotermicznej A = 2 r a pole
powierzchni przejmowania ciepła dF= 4 rdr
d d
A dr dF
dr dr
d d
r
dr 4 r dr
dr dr
d 2 1 d 2
0
2
dr
r dr
(r ) C1 I 0 mr C 2 K 0 mr
A m
Q
2
0
W
A W 2 rW
I1 m rZ K1 m rW I1 m rW K1 m rZ
I 0 m rW K1 m rZ I1 m rZ K 0 m rW
L rZ rW ;
m rW
mL
;
1
rZ
;
rW
r' r ;
2
m rZ
mL
1
L' L
2

16. Slajd 16

PRZYPADKI SZCZEGÓLNE DLA ŻEBRO PROSTE O PROFILU TRÓJKĄTNYM
Dla żeber o zmiennym profilu wygodnie jest
odwrócić oś x, wówczas profil żebra:
x
X 0
L
I 0 2m Lx
( x ) 0
I 0 2mL
0
( x 0)
I 0 2mL
0 0 m (mL )
Q
I1 2mL
(mL )
I 0 2mL

17. Slajd 17

18. Slajd 18

PRZEWODZENIE CIEPŁA PRZY ISTNIENIU WEWNĘTRZNYCH ŹRÓDEŁ
CIEPŁA W ŚCIANCE PŁASKIEJ
1. WYZNACZENIE ROZKŁADU TEMPERATURY W ŚCIANCE PŁASKIEJ
q v
2 T
q v
q v 2
d 2 q v
d
0
x
C
T
x C1x C 2
1
dx 2
dx
2
dla : x 0 T TS1 C 2 TS1 ;
T TS1 q v
dla : x T TS2 C1 S2
2
q
T TS1 q v
T v x 2 S2
x TS1
2
2
dT
0 xm
TS2 TS1
q v
2
dx x x m
0
Tm
TS1
TS2
1
2
q v 2
1
2
Tm TS2 TS1
TS2 TS1
2
q v 2
8
0
xm
x
JAKIE BĘDĄ ROZKŁADY TEMPERATUR GDY NA OBU ZEWNĘTRZNYCH
POWIERZCHNIACH WYSTĘPUJĄ JEDNAKOWE TEMPERATURY?

19. Slajd 19

PRZEWODZENIE CIEPŁA PRZY ISTNIENIU WEWNĘTRZNYCH
ŹRÓDEŁ CIEPŁA W ŚCIANCE PŁASKIEJ
2. WYZNACZENIE ROZKŁADU TEMPERATURY W ŚCIANCE PŁASKIEJ GDY NA
OBYDWU POWIERZCHNIACH WYSTĘPUJĄ TE SAME TEMPERATURY
q v 2 TS2 TS1 q v
x
x TS1
2
2
TS TS1 TS2
q x
T TS v x
2
xm
TS2 TS1
q v
2
T
Tm
TS1
TS2
1
2
q v 2
1
2
Tm TS2 TS1
TS2 TS1
2
2
qv
8
q v 2
Tm TS
8
xm
2
0
xm
x

20. Slajd 20

PRZEWODZENIE CIEPŁA PRZY ISTNIENIU WEWNĘTRZNYCH
ŹRÓDEŁ CIEPŁA W ŚCIANCE PŁASKIEJ
3. WYZNACZENIE GĘSTOŚCI STRUMIENIA CIEPŁA ODPROWADZANEGO OD
POWIERZCHNI ŚCIANKI
q v
2 T
q v
q v 2
d 2 T q v
dT
0
x
C
T
x C1x C 2
1
dx 2
dx
2
dla : x 0 T TS1 C 2 TS1 ;
T T
q
dla : x T TS2 C1 S2 S1 v
2
T T
q
T T
q
q
dT
q 1 v x S2 S1 v S2 S1 v
2 x 0
2
dx x 0
0
Tm
TS1
TS2
1
2
0
xm
x
T T
q
T T
q
q
dT
q 2 v x S2 S1 v S2 S1 v
2 x
2
dx x
gdy : TS1 TS2
q
q S v
2
DLACZEGO JEŻELI TW 2 TW1
a gdy
TW 2 TW1
q v 2
, to zwroty wektorów q1 oraz q2 są zgodne,
2
q v 2
, to zwroty są przeciwne?
2

21. Slajd 21

PRZEWODZENIE CIEPŁA PRZY ISTNIENIU WEWNĘTRZNYCH
ŹRÓDEŁ CIEPŁA W ŚCIANCE PŁASKIEJ
4. WYZNACZENIE GĘSTOŚCI STRUMIENIA CIEPŁA GDY ZNANE SĄ WARUNKI
BRZEGOWE TRZECIEGO RODZAJU: TP1, 1 ORAZ TP2, 2
Tm
Tw1
Tw2
1
dT
dT
q 1 1 TP1 TS1 1 TP1 TS1
dx x 0
dx x 0
dT
dT
q 2 2 TS2 TfP 2 2 TS2 TP 2
dx x
dx x
2
TP1
TP2
0
xm
x

22. Slajd 22

PRZEWODZENIE CIEPŁA PRZY ISTNIENIU WEWNĘTRZNYCH ŹRÓDEŁ CIEPŁA W
NIESKOŃCZENIE DŁUGIM WALCU O PROMIENIU ZEWNĘTRZNYM rw
1. WYZNACZENIE ROZKŁADU TEMPERATURY
0 q v 2 T
q
0 v 2 T
q
q
dT
1 d dT q v
dT
v r 2 C1
0 d r
v r dr r
r
2
dr
r dr dr
dr
q
q
C
dT
v r 1 T v r 2 ln r C 2
4
r
2
dr
dT
0 C1 0;
dla : r 0
dr r 0
Tm
Tw1
Tw2
1
q
q
dT
T Tw T v r 2 C 2 C 2 Tw v rw2
dla : x
4
4
dr r rw
2
0
rw
r
q v 2 r
q v 2 q v 2
rw 1
rw Tw Tw
r
T
r
4
4
4
w
dla : r 0
q
Tm Tw v rw2
4
2

23. Slajd 23

PRZEWODZENIE CIEPŁA PRZY ISTNIENIU WEWNĘTRZNYCH ŹRÓDEŁ CIEPŁA W
NIESKOŃCZENIE DŁUGIM WALCU O PROMIENIU ZEWNĘTRZNYM rw
2. WYZNACZENIE GĘSTOŚCI STRUMIENIA CIEPŁA ODPROWADZANEGO OD
POWIERZCHNI WALCA
dT
Tw Tf
q
dr r rw
dT
Tw Tf
dr r rw
Tm
Tw1
Tw2
1
2
0
rw
r
q v
dT
r
ale :
2
dr
q v
rw Tw Tf
2
q v
rw Tw Tf
q
2

24. Slajd 24

PRZYPADKI SZCZEGÓLNE DLA ŻEBER O ZMIENNYM PRZEKROJU

25. Slajd 25

WYMIANA CIEPŁA PRZEZ ŻEBRA