Обратная матрица: определение, необходимые условия существования

1.

2.

Обратная матрица: определение, необходимые условия существования
А В В А Е,
det A B det E 1,
det A B det A det B 0 det B 0

3.

Условия существования и единственность обратной матрицы
А В В А Е,
А С С А Е,
В С
А В Е,
С А В С Е,
С А В С ,
Е В С,
В С

4.

Формула для вычисления обратной матрицы
A11
1 A12
A 1
det A
A1n
Доказательство.
An1
An 2
Ann
A21
A22
A2 n

5.

Доказательство теоремы 4
a11
a21
an1
a12
a22
an 2
a1n
A11
a2 n 1 A12
det A
ann
A1n
a11 A11 a12 A12 ... a1n A1n
1 a21 A11 a22 A12 ... a2 n A1n
det A
an1 A11 an 2 A12 ... ann A1n
0
det A
det A
1 0
det A
0
0
An1
An 2
Ann
A21
A22
A2 n
a11 An1 a12 An 2 ... a1n Ann
a21 An1 a22 An 2 ... a2 n Ann
an1 An1 an 2 An 2 ... ann Ann
0 1
0 0
det A 0
0 0
1 0
E.
0 1

6.

Продолжение доказательства теоремы 4
A11
1 A12
det A
A1n
A21 An1 a11
A22 An 2 a21
A2 n Ann an1
A11 a11 A21a21 ... An1an1
1 A12 a11 A22 a21 ... An 2 an1
det A
A1n a11 A2 n a21 ... Ann an1
0
det A
det A
1 0
det A
0
0
a12 a1n
a22 a2 n
an 2 ann
A11 a1n A21a2 n ... An1ann
A12 a1n A22 a2 n ... An 2 ann
A1n a1n A2 n a2 n ... Ann ann
0 1
0 0
det A 0
0 0
1 0
E.
0 1

7.

Вычисление обратной матрицы
1
A
A*
det A
1
Пример 1.
1 2
A
3 4
T
1 2
det A
1 4 3 2 4 6 2.
3 4
A11 1 1 1 M11 1 2 4 1 4 4 ,
A21 1 2 1 M 21 1 3 2 1 2 2 ,
A12 1 1 2 M12 1 3 3 1 3 3,
A22 1 2 2 M 22 1 4 1 1 1 1.
A
1
1 4 2 2 1
1
3
2 3 1
2
2

8.

Свойства обратной матрицы (теорема 4)
1
E;
1) E
A
1 1
2)
2) A 1 A E ,
1) Е Е Е .
A
3) A A
1 T
3) AT
5) det A 1
4) A B 1 B 1 A 1 ;
T
A
A;
1
T
1 T
A E E,
1 T
;
1
.
det A
A A 1 E .
A
T
1
AT A A 1
T
ET E .
4) A B B 1 A 1 A B B 1 A 1 A E A 1 A A 1 E ,
B
1
A 1 A B B 1 A 1 A B B 1 E B B 1 B E .
5) det A A 1 1,
det A det A 1 1,
1
det A
.
det A
1