Решение уравнения Cos x=a

1. Тема урока:

Решение уравнения
Cos x=a

2. Цели урока:

• сформировать у учащихся понятие
арккосинуса; вывести общую формулу
решения уравнения cos х=а; выработать
алгоритм решения данного уравнения;
• Рассмотреть частные случаи решения
уравнения
cos х= 0; cos х= 1; cos х= -1.

3.

Решить уравнения:
1
cos x
2
1
cos x
2

4.

1
cos x
2
y
x
1
2
M1
3
х1
х1
0
х2
3
1
2
x
х2
x
3
M2
2 n, n z
3
3

5.

y
1
cos x
2
2
x1
3 3
2
3
2
M1
2
x2
3
x1
x1
1
2
2
3
2
x
2 n, n z
3
0
x2
M2
3
2
0
2
x

6. ВЫВОД

1
cos x
2
cos x
1
2
Каждое из уравнений
и
Имеет бесконечное
множество корней. На отрезке 0 x имеет только
один корень: x - корень уравнения cos x 1
1
3
2
2
x2
3
cos x
1
2
и
- корень уравнения
Число называют арккосинусом числа
3
arccos
1
2 3
Число 2 называют арккосинусом числа
3
1 2
arccos
2 3
1
2
и записывают
1
и
2
записывают

7.

Определение
Арккосинусом числа a 1;1 называют
такое число x 0; , косинус которого
равен а:
arccos x ,
если Cosx a
и
0 x

8.

1
arccos ; т.к.
2
Пример 1
1
1
cos ; arccos
3 2
2 3
Пример 2
2
3
arccos(
)
2
4
4
Пример 3
arccos 0;
Пример 4
т.к. cos
2
arccos 1 0, т.к. cos 0 1;
0;
arccos 0
2
Пример 5
arccos( 1) , т.к. cos 1

9.

№ 569 3,4
3) 12 arccos
3
2
1
3 arccos 12 3 2 3
0
6
3
2
2
3
2
3
4) 4 arccos
6 arccos
2
2
4
6
4
6
5 4

10.

Определение
Все корни уравнения Cosx a , где a 1;1
Можно находить по формуле:
x arccos a 2 n, где n Z (1)

11.

x arccos a 2 n, где n Z (1)
Пример 1
3
х1, 2 arccos
2 n, n z
2
3
;
Вычислим arccos
2
3
cos x
;
2
3
3
;
arccos
т. к. cos
6
2
2
6
Ответ : х1, 2 2 n, n z
6

12.

Пример 2
3
cos x
;
2
3
х1, 2 arccos( ) 2 n, n z
2
3
3
5
arccos( ) arccos
;
2
2
6 6
5
Ответ : х1, 2
2 n, n z
6

13.

Решить уравнение:
2
Cosx
5
2
Ответ : х12 arccos 2 n, n Z ;
5
2
Cosx
5
2
Ответ : х12 arccos 2 n, n Z ;
5

14. Частные случаи решения уравнения

Cosx a

15.

cos x 1
y
Х=1
0
x 2 n, n z
0
х
x

16.

cos x 0
y
2
Х=0
0
x
Х=0
x
2
n, n z

17.

Х= -1
y
cos x 1
1
0
x 2 n, n z
0
x

18. Частные случаи уравнения cosх = a

1. cos x 1, то
2. cos x 0,
3. cos x 1,
x 2 n; n z
x
2
n; n z
x 2 n; n z

19.

Пример 3
2
cos x
7
2
х1, 2 arccos 2 n, n z
7
Пример 4
cos x 1,2
1,2 1
Ответ: уравнение решения не имеет.

20.

x 2 n, n z
a 1
a 0
x
2
a 1
Cosx a
x 2 n, n z
n, n z
a 1
Решений нет
Cos
6
4
2
2
3
3
1
2
a 1
x arccos a 2 n, где n Z (1)
аrcсos (-а) = π - аrcсos а

21. Закрепление

№ 573 (1,4,5)
1. cos 4 x 1; 4 x 2 k ; k Z ; x
4. 2 cos
k
2
; k Z
x
x
3
3; cos
;
3
3
2
x
2 k ; k Z ; x 6 k ; k Z
3
6
2
5. cos x 0; x k ; k Z ; x k ; k Z
3
3
3

22.

№ 574
1. cos x cos 3x sin x sin 3x;
cos x cos 3x sin x sin 3x 0; применим формулу косинус суммы двух углов
cos 4 x 0;
4 x k ; k Z ;
x
k
4
; k Z
№ 576
1. cos 2 2 x 1 sin 2 2 x;
cos 2 2 x 1 sin 2 2 x 0;
Применив формулу косинуса двойного угла, получим :
cos 4 x 1;
4 x 2 k ; k Z ;
x
k
2
; k Z

23.

5. 1 cos x 3 2 cos x 0;
1 cos x 0;
3 2 cos x 0;
cos x 1;
3
cos x ; решений нет, т.к. а 1
2
x 2 k ; k Z

24.

Домашнее задание:
№ 571
№ 572
№ 573 (1, 2,3)
Спасибо за урок!