Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

1.

Основные понятия.

2.

Вспомним!
входит в уравнение
обязательно в
45 x - 18 = 0
3х² + 6х + 7 = 0
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
2

3.

Вспомним!
Линейное уравнение с двумя
переменными
Решением уравнения с двумя
неизвестными называется пара
переменных, при подстановке
которых уравнение становится
верным числовым равенством.
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
3

4.

Вспомним!
Решить линейное уравнение –
это значит найти те значения
переменной, при каждом из которых
уравнение обращается в верное
числовое равенство.
Таких решений бесконечно много.
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
4

5.

Вспомним!
Реальная ситуация
(словесная модель)
Сумма двух чисел
равна 3.
х +у–3=0
Алгебраическая
модель
х+у=3
(линейное
уравнение с двумя
переменными)
Геометрическая
модель
прямая т
(график линейного
уравнения с двумя
переменными)
Для построения графика достаточно найти
координаты двух точек.
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
5

6.

Вспомним!
1. Придать переменной х конкретное значение х₁; найти
из уравнения ах + bу + c = 0 соответствующее значение у₁.
Получим (х₁;у₁).
2. Придать переменной х конкретное значение х₂; найти
из уравнения ах + bу + c = 0 соответствующее значение у₂.
Получим (х₂;у₂).
3. Построим на координатной плоскости точки (х₁; у₁),
(х₂; у₂) и соединим прямой.
4. Прямая – есть график уравнения.
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
6

7.

Часто приходится рассматривать математическую модель
состоящую из двух линейных уравнений с двумя переменными.
{
a1 x + b1 y + c1 = 0
a2 х + b2 y + c2 = 0
Решение системы уравнений с двумя неизвестными
называется пара переменных, при подстановке
которых уравнения становятся верными числовыми
равенствами.
Решить систему - это значит найти все ее решения
или доказать, что их нет.
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
7

8.

Решить систему уравнений:
{
2x - y - 3 = 0,
х + 2y - 4 = 0.
y
Пример 1
Графический способ
решения систем
1. Построим график уравнения
2х – у – 3 = 0 ,
у = 2х – 3.
х
у
1
-1
2
1
Получим точки:
(1; -1), (2; 1)
2 А
(0; 2) 1
(2; 1)
O
1 2
-1 (1; -1)
2. Построим график уравнения
х + 2у – 4 = 0 , 2у = -х + 4,
у = (-х + 4) : 2.
х
у
0
2
2
1
12.09.2012
-3
Получим точки:
(0; 2), (2; 1)
3. Прямые пересекаются в
единственной точке А(2;1)
x
Ответ: (2; 1)
www.konspekturoka.ru
8

9.

Решить систему уравнений:
x + 2 y - 5 = 0,
{
2х + 4y + 3 = 0.
y
Пример 2
1
Графический способ
решения систем
1. Построим график уравнения
х + 2у – 5 = 0 ,
у = (5 - х):2.
х
у
1
2
3
1
Получим точки:
(1; 2), (3; 1)
2. Построим график уравнения
2 х + 4у + 3 = 0 , 4у = -2х - 3,
у = -(2х + 3) : 4.
х
у
-1,5
0
2,5
-2
2
(-1,5; 0) -1,5
O
(3; 1)
1
1
-2
3
x
(2,5; -2)
Получим точки:
(-1,5; 0), (2,5; -2)
3. Прямые параллельны.
12.09.2012
(1; 2)
Ответ:
система не имеет решений
www.konspekturoka.ru
9

10.

Пример 3
При каких значениях а система уравнений имеет единственное решение:
{
( 2a - 1) x + 3 y = 7 a + 1 ,
(a + 2)х + 2y = 5a - 3.
Условие при которых система уравнений имеет единственное решение:
2а - 1 3
≠ ,
а+2 2
Используем свойство пропорции:
2(2a - 1) ≠ 3(a + 2),
4a - 2 ≠ 3a + 6
4a - 3a ≠ 2 + 6
a≠8
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
10

11.

Количество решений двух линейных уравнений с
двумя переменными.
{
a1 x + b1 y + c1 = 0
a2 х + b2 y + c2 = 0
а1 b1
1 )Если
≠ , то прямые пересекаются и система
а 2 b2 имеет единственное решение.
а1 b1 c1
2 )Если
=
≠ , то прямые параллельны и система не
а 2 b2 c2 имеет решений. Система называется
несовместной.
а1 b1 c1
3 )Если
=
= , то прямые совпадают и система
а 2 b2 c2 имеет бесконечно много решений.
Система называется
неопределенной.
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
11

12.

Пример 4
При каких значениях а система уравнений несовместна:
{
( 2a - 1) x + 3 y = 7 a + 1 ,
(2a + 1)х + 5y = 5a - 3.
Условие при которых система уравнений несовместна:
2а - 1 3 7 a + 1
= ≠
2а + 1 5 5 a - 3
1) Сначала рассмотрим равенство
2а - 1 3
=
2а + 1 5
Используем свойство пропорции:
5(2a - 1) = 3(2a + 1),
10a - 5 = 6a + 3
12.09.2012
10a - 6a = 3 + 5
www.konspekturoka.ru
4a = 8
a=2
12

13.

2) Теперь проверим неравенство:
3 7a + 1
≠
5 5a - 3
При подстановке значения а = 2 имеем:
3 15
≠
5 7
12.09.2012
3 7 •2+1
≠
5 5•2-3
- верное неравенство
www.konspekturoka.ru
13

14.

Пример 5
При каких значениях а система уравнений неопределенна:
{
( 2a - 1) x + 3 y = 7 a + 1 ,
(a + 1)х + 6y = 11a + 5.
Укажите решения системы.
Условие при которых система уравнений неопределенна:
2а - 1 3 7 a + 1
= =
а + 1 6 11a + 5
1) Сначала рассмотрим равенство
Используем свойство пропорции:
4a - 2 = a + 1
12.09.2012
2а - 1 3
=
а+1 6
2а - 1 1
=
а+1 2
2(2a - 1) = a + 1 ,
4a - a = 1 + 2
www.konspekturoka.ru
3a = 3
a=1
14

15.

2) Теперь проверим равенство:
3 7a + 1
=
6 11a + 5
При подстановке значения а = 1 имеем:
1 1
=
2 2
3 7 •1+1
≠
6 11 • 1 + 5
- верное равенство
При подстановке значения а = 1 в данную систему имеем:
{
( 2 • 1 - 1) x + 3 y = 7 • 1 + 1 ,
(1 + 1)х + 6y = 11 • 1 + 5.
Поделим второе уравнение на 2, имеем:
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
{
{
x + 3 y = 8,
2 х + 6y = 16.
x + 3 y = 8,
х + 3y = 8.
15

16.

а) что собой представляют графики обоих уравнений
системы?
б) в каком случае система имеет единственное
решение?
в) какая система является несовместимой?
г) о какой системе говорят, что она неопределенна?
д) что называется решением системы уравнений с
двумя переменными?
е) что значит решить систему уравнений?
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
16