Функция y=sinx. Свойства. Преобразование графиков

1.

Функция y=sinx
Свойства.
Преобразование
графиков.

2. Вспомним определение синуса и косинуса угла поворота:

2
sin
1
0
0
sin - ордината точки поворота
y
cos
x
1
cos - абсцисса точки поворота
(под «точкой поворота» следует понимать – «точку единичной
тригонометрической окружности, полученной при повороте на радиан от
начала отсчета»)

3.

На оси абсцисс координатной плоскости Оху будем отмечать
точки, соответствующие различным углам поворота, а на
оси ординат – значения синусов этих углов.
6
5
4
2
y
y
3
1
2
1
1
0
0
1 x
x
0
1 2 3 4 5
2
6
Получили график функции y=sinx на промежутке [0; ].

4. Построение графика функции y = sin x

y
2
1
0
0
-1
8
4
3 5 3 7
8 2 8 4 8
x

5.

Теперь воспользуемся тем, что функция y=sinx является
нечетной, а, значит, график функции на промежутке [− ; 0]
можно получить из данного симметрией относительно
начала координат (или поворотом на 1800).
y
1
−
2
x
0
2
−1
Таким образом, мы получили график функции y=sinx на
промежутке [− ; ].

6.

На практике, для построения графика функции у=sinx на промежутке [0; ], сначала
отмечают точки с координатами (0; 0), ( /6; 0,5), ( /2; 1), ( 5 /6; 0,5) и ( ; 0). Они
образуют своеобразную «арку», которая периодически (с периодом ) отображается
симметрично оси Ох.
y
1
5
6
2
3
2
2
3
2
1
2
6
0
1
6
2
2
5
6
2
−1
После этого используют свойство периодичности функции у=sinx. Так как
наименьший положительный период функции y=sinx равен 2 , то
изображенный участок графика можно параллельно переносить влево и вправо
вдоль оси Ох на 2 n (n ) единичных отрезков.
График функции y=sinx называется синусоидой.
x

7.

8. Заход Солнца

Дата
Время
Дата
Время
1.1
15.59
1.7
20.25
1.2
16.45
1.8
19.53
1.3
17.37
1.9
18.53
1.4
18.39
1.10
17.31
1.5
19.28
1.11
16.30
1.6
20.18
1.12
15.51

9. С помощью отрывного календаря нетрудно отметить момент захода Солнца на 1-е число каждого месяца и, соединив полученные точки

плавной линией, построить график,
взяв в качестве оси абсцисс среднее
время захода Солнца – 18ч

10. График захода Солнца

время
дата

11. Решение упражнений

12.

y
y = sin x
2
2
т
3
2
1
-1
2
x
3
2
2

13.

y
ED((yy))::yx R1; 1
x
1
2 3
2
2
-1
2
3
2
2
3
=2n ;n;n, n
xy = 0 x 2
2 nZ
22
22

14.

yy 00
x 0;
y
x
1
2 3
2
2
-1
2
3
2
2
x
2 nx;2 n ;2 ;n0
x

15.

y
y = sin x 2
x
1
2 3
2
2
-1
2
E ( y ) : y [1; 3]
3
2
2

16.

y = sin x-1
y
x
1
2 3
2
2
-1
2
3
2
E ( y ) : y [ 2;0]
2

17.

y
2
y = sin( x ) +1
3
x
1
2 3
2
2
-1
2
3
2
E ( y ) : y [0;2]
2

18.

y = sin(x )
y
2
2
т
3
2
1
-1
2
x
3
2
2

19.

y = sin(x 2 )
2
2
у
3
2
y
1
-1
2
x
3
2
2

20.

y
y = sin(x )
3
2
2
т
3
2
1
-1
2
x
3
2
2

21.

22.

2 3
2
y
x
1
2
-1
2
x=0
sinx = x
3
2
2

23.

y
Ø
2
2
3
2
1
-1
2
sin( x ) = ( x ) 1
6
3
т
2
x
3
2
2

24.

y
Ø
2 3
2
x
1
2
-1
sinx >
2
3
2
x +1
2

25.

y
y = sin x
y = x 1
x [0; )
x
1
2 3
2
2
-1
sinx <
у
2
3
2
x +1
2

26.

2
1
sin(x
)<–
3
2
5
6
2
2
т
3
2
y
1
7
6
-1
2
x
3
2
2

27.

y
I
I
3
2
2
I
I
-1
Найти область значений функции
Единичный отрезок – 1 клетка.
O
1
2
3
2
I
7
2
2
I
5
2
3
y = sin(x ) + 2
2
E( y ) : y [1;3]
3
I
x

28.

Умение строить графики нам нужны при …
решении уравнений;
решении неравенств;
решении заданий, связанных с исследованием
свойств функций.
Рассмотрим графики функций, аналитическая запись
которых содержит знак абсолютной величины.

29.

y = sin x
2 3
2
y
x
1
2
-1
2
3
2
2

30.

y
y = sin x
2 3
2
x
1
2
-1
2
3
2
2