Математическое моделирование в нелинейной оптике

1.

1. Ю.Н.Карамзин, А.П.Сухоруков, В.А.Трофимов.
Математическое моделирование в нелинейной оптике.
М., Изд-во МГУ, 1989.
2. Н.Бахвалов, Н.Жидков, Г.Кобельков. Численные
методы. М., Физматлит, 2001.
3. А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы
математической физики. 2000.
4. Г. Агравал. Нелинейная волоконная оптика. 1996
5. Г.И. Марчук. Методы вычислений, 1977

2.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТОВОГО ПУЧКА В СРЕДЕ С
КУБИЧНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
( )
¶A i æ ¶ 2 A ¶ 2 A ö
ik
2
+ ç 2 + 2 ÷=e нл A A,
¶z 2k è ¶x
¶y ø
2e 0
e нл = 2n0 nнл , nнл = n2 A
2
УЧЕТ ТЕПЛОВОГО МЕХАНИЗМА ИЗМЕНЕНИЯ
ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
nнл =
¶n
T
¶T
¶A i æ ¶ 2 A ¶ 2 A ö
ik ¶n
+ ç 2 + 2 ÷=TA - d A,
¶z 2k è ¶x
¶y ø
2 ¶T
æ ¶ 2T ¶ 2T ö cn0d 2
æ ¶T ¶T ö
r c p çV
+
A ,
÷ =k ç 2 + 2 ÷+
¶y ø 8p
è ¶x ¶h ø
è ¶x
h =t - zu
A = Am , m = 1,..., N
¶ 2T
=0
- нет диффузии тепла вдоль оси распространения
2
¶z

3. Однофотонное и двухфотонное поглощение (стационарный случай)

¶A
i
2
+
A = -i N 0T2 d 21
¶z 2k
2
-1 i - + p A (1 - 2T1 / T2 )
2 2
1 + ( - p A ) + m1 A
= 2pN a / cn0 , = ( - 21 )T2 , p = T2 (k1 - k 2 ) / ,
2
m1 = 4 d 21 T1T2 2 , pulse T1 , T2
T1 , T2 - продольное и поперечное времена релаксации
2
i N 0 m2 i - (1 - T1 / T2 ) p A
¶A
i
2
+
A = A
A,
2 2
4
¶z 2k
2T1 1 + ( - p A ) + A
m2 = 4r12T1T2 , r12 = - 2 , = ( 2 - 21 )T2
2
A,

4. Нестационарный случай двухфотонного резонанса

¶A n0 ¶A i
2pi N a æ k1 - k 2
*ö
( N 0 - N ) A + 2r12 r12 A ÷,
+
+
A = ç
¶z c ¶t 2k
n0 c è 2
ø
¶r12 r12 æ
k1 - k 2 2 ö
2
+
+ i ç A ÷ r12 = -ir12 A N ,
¶t
T2
2
è
ø
pulse T1 , T2

5.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
О РАСПРОСТРАНЕНИИ МОДУЛИРОВАННЫХ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ

6.

Существуют при условиях
Ñ= ¶
¶x
,¶
¶y
,¶
¶h
,¶
¶z
ИНТЕГРАЛЫ ДВИЖЕНИЯ
, U – действительная функция 2N переменных, такая что
jm Fm = i
¶U
¶U
*
,
j
F
=
i
m m
¶Am*
¶Am

7.

*
m
( x, y ) = -
m
( x, y ) ,
*
m
(h ) = -
m
(h )
1-ый интеграл
Если выполняется условие 1), то умножаем уравнения скалярно на Am и складываем
2-ой и 3-ий интегралы
Пусть выполняется 2), тогда сначала используем формулы интегрирования по частям

8.

Умножаем уравнения скалярно на
Для Ñ = ¶
для Ñ = ¶
¶x
¶z
,¶
¶y
,¶
¶h
j mÑAm
и складываем
получаем 2-ой интеграл,
- 3-ий интеграл.
Для среды с кубичной нелинейностью
U =j A
4
Трехчастотное взаимодействие
¶A1
i æ ¶ 2 A1 ¶ 2 A1 ö
* - i kz
+
+
=
i
a
A
A
e
,
ç
÷
1
3
2
2
2
¶z 2k1 è ¶x
¶y ø
¶A2
i æ ¶ 2 A2 ¶ 2 A2 ö
* - i kz
+
+
=
i
a
A
A
e
,
ç
÷
2
3
1
2
2
¶z
2k2 è ¶x
¶y ø
¶A3
i
+
¶z
2 k3
j m = 1a , U = -2 Re A1 A2 A3*
m
æ ¶ 2 A3 ¶ 2 A3 ö
- i kz
+
=
i
a
A
A
e
, a1 + a 2 = a 3
ç
÷
3
1
2
2
2
¶y ø
è ¶x
Соотношения Мэнли-Роу

9.

Нелинейность керровского типа при аксиально-симметричном распространении
Координаты (r,z)
Стационарное взаимодействие произвольного числа электромагнитных волн в нелинейной
среде, когда отсутствует двулучепреломление, можно пренебречь эффектами
дисперсионного расплывания импульсов и групповые скорости всех волн одинаковы
r = x2 + y2
Схема строится на равномерной сетке со сдвигом по поперечной координате

10.

Аппроксимация оператора Лапласа
æ h2 ö
Lr v = r v + O ç r ÷
è r ø
Схема
Простые итерации

11.

При условии
hz £ chrq
+1
итерации сходятся со скоростью геометрической
q
прогрессии со знаменателем
q j -1
N
æ
ö
часть: Fm £ C0 ç 1 + Õ A j
÷÷
ç
j =1
è
ø
hz
hrq +1
. q связано с условием на правую
Схема консервативна, т.е. сохраняет разностные аналоги 1-го – 3-го интегралов
I1( h ) =
( h)
I2 =
( h)
I3 =
N r -1
å u( z ,r )
l =0
l
rl hr
N r -1
å u( z ,r ) u rh
l =0
k
l
r l r
N r -1
2
*
é
D
u
+
U
u
z
,
r
,
u
zk , rl ) ) ù rl hr
(
)
(
(
å
r
k
l
ë
û
l =0
Скорость сходимости схемы
произведением
k
2
( u, v ) =
(
O hr2 ln hr-1 + hz2
)
в сеточной норме, связанной со скалярным
N r -1
å u ( rl ) v* ( rl ) rl hr
l =0
при
hz £ chrq + 2