Умножение вектора на число

Умножение вектора на число.
Произведением ненулевого вектора
a
на число
k
b, длина которого равна k a ,
причем векторы a и b сонаправлены при k>0 и
притивоположно направлены при k<0 .
называется такой вектор
a
3a
1
12
a
- 2a

3.

Умножение вектора на число.
b
2b
a
2b b
2b = 2 b
1
a
2
1
a
2
1
a
2
a
=
1
2
a

4.

Умножение вектора на число.
Для любого числа
kи
a
ka
a
и
коллинеарны.
- a
a
любого вектора
векторы
1
2
1
12
a
- 2a
Произведение нулевого вектора на любое число
считается нулевой вектор.
k o =o
Произведение любого вектора на число нуль есть
нулевой вектор.
o a =o

5.

Назовите вектор, который получится в результате
умножения.
A
B
C
D
N
M
R
E
S
F
Q
I
H
V
O
J
T
P
K
Y
X
L
U
G
Z
JO 3
1
ML
3
4 AB
4 ЕУ
3
NZ
4

6.

х JO
СК = -4
JO = – х1
4 CK
XD =– х3
4 CK
A
B
C
D
N
0 XD
NN = х
M
R
E
S
F
ХТ = х XD
Q
I
V
T
Y
U
х не существует
1 XT
XT = х
O
P
X
G
х XT
TX = -1
H
J
K
L
Z

7.

О – точка пересечения медиан треугольника.
х ОК
ВК = 3
B
КO =– х1
3 ВK
2 КО
ОВ = х
O
T
A
K
C

8.

T
A
B TВ = 7
7
3
C
AC = 3
10
D
O
DO = 10
2,5
K
F
KF = 2,5
AC =
3
х
7 TВ
TB =
7
х
3 AC
KF = – х1
4 DO
DO = –х4 KF

9.

ABCD – трапеция.
В
С
8
х DA
BC = –0,8
х
DA = – 10
8 BC
А
10
D

10.

ABCD – параллелограмм. CS : SB = 5 : 3
В
А
С
S
D
3
BS = – х
8
DA
8
DA = – х
3
BS

11.

Умножение вектора на число обладает следующими
основными свойствами.
Для любых
равенства:
a ,b
и любых чисел
1
(kl)a = k (l a)
2
(k+l)a = ka + la
k ,l
справедливы
Сочетательный закон
Первый распределительный закон
3
k (a + b) = ka + kb
Второй распределительный закон

12.

Рисунок иллюстрирует сочетательный закон.
Представлен случай, когда
1
(kl)a = k (l a)
a
a a
O
k = 2, l = 3.
Сочетательный закон
A
OВ = 2OA = 2(3
B
a)
a a a a
a a
O
a = (2 3)a
OВ = 6
B

13.

Рисунок иллюстрирует первый распределительный
закон. Представлен случай, когда
2
(k+l)a = ka + la
Первый
распределительный закон
B
la
a
ka
k = 3, l = 2.
A
OA =
O
OB =
ka;
AB =
la
(k+l)a = ka + la

14.

3
k (a + b) = ka + kb
Второй
распределительный
закон
Рисунок иллюстрирует второй распределительный закон.
ОА1В1 , коэффициент подобия
На рисунке ОАВ
k
A
A1
a
O
b
a+b
B1
С другой стороны,
Таким образом,
OA =
ka
AB =
kb
OB =
k(a+b)
B
ka+kb
k(a+b) = ka+kb
OB = OA + AB =

15.

№ 781
Пусть х = m + n, y = m – n
Выразите через m и n
векторы
2х – 2у 2(m n ) 2(m n ) 2m 2n 2m 2n 4n
1
1
1
2(m n ) (m n ) 2m 2n m n
2
2
2
1
1
2 m 1 n
2
2
1
1
1
–х – 13 у (m n ) (m n ) m n m n
3
3
3
1
2
1 m n
3
3
2х + 12 у

16.

ЗАДАЧА №4
Построить вектор
3
1
3
3
1
ВС АВ АС ( ВС АС ) АВ
7
14
7
7
14
В
С
3
1
( ВС СА) АВ
7
14
3
1
7
ВА ВА
ВА
7
14
14
А
1
ВА
2

17.

ЗАДАЧА №5
Построить вектор
5
1
5 1
5
1
( АВ ВС АС ) ( АС АС ) АС
2
2
2 2
2
2
В
5
АС
С
4
А

18.

ЗАДАЧА№6
Построить вектор.
В
2
1
2
1
СD DA BС AB =
9
3
9
3
С
2
1
(СD BС ) ( АВ DA)
9
3
CA
AC
2
1
(СD СB ) ( АВ AD )
9
3
А
D
2
1
2
1
CA AC СА СА
9
3
9
3
АВСD – параллелограмм.
1
СА
9

19.

ЗАДАЧА№7
Построить вектор.
2
1
2
АВ СA DA
5
10
5
В
2
1
( АВ DA) CА
5
10
С
AC
2
1
( АВ AD) CА
5
10
2
1
5
AС AC АС
5
10
10
А
D
АВСD – параллелограмм.
1
АС
2

20.

АВСD – ромб. Е ВС, ВЕ : ЕС = 3 : 1,
К – середина DC, АВ =
векторы
aи b
b. Выразите через
3
AE AB BE AB BC a b
4
из АВЕ
a
1
AK AD DK AD DС
2
из АDK
E
А
С
K
D
AD =
векторы:
В
b
a,
1
b a
2
1
KE KA AE (b a ) (a b)
2
из АEK
1
a
2

21.

Естественно
считать,
что одно
вектор
2v получается
Если мы чем
изобразим
первого
автомобиля
Прежде,
ввести скорость
еще
действие
– умножение
умножением
вектора
v на число
2, а вектор
-2v получается
вектором
v, число,
то
естественно
изобразить
скорость
второго
вектора на
обратимся
к примеру.
Представим
себе,
умножением
вектора vдвижется
число прямолинейно
-2.
Этот пример
автомобиля
вектором,
унакоторого
направление
что один автомобиль
стакое же,
показывает
каким
образом
вести ви
умножение
как
у вектора
v, а длина
в 2следует
разадвижется
больше,
обозначить
этот
постоянной
скоростью,
второй
том
же
вектора
наСкорость
число
и что
при умножении
получается
вектор.
вектор
2v.
третьего
автомобиля
изобразиться
направлении
со скоростью,
вдвое
большей,
а третий
вектором,
противоположным
вектору т.е.
2v, вт.е. вектором -2v.
автомобиль
движется им навстречу,
противоположном направлении, и величина его скорости
такая же, как у второго автомобиля.
v
2v
-2v
ТАКСИ

English Русский Rules