Групповая скорость волн. Дисперсия волн. Колебания и волны. 15

1. Раздел курса «Колебания и волны»

Тема
Групповая скорость волн.
Дисперсия волн.

2.

Бесконечная монохроматическая волна,
уравнение которой имеет вид
( x, t ) A cos( t kx ),
не может быть использована для передачи
информации.

3.

Для того, чтобы волна могла переносить
информацию, необходимо изменять со
временем (модулировать) её параметры А,
или . Соответственно существуют
амплитудная, частотная и фазовая
модуляции волны.

4. Рассмотрим волну с амплитудной модуляцией.

Для того, чтобы создавать волну,
амплитуда которой изменяется со временем,
источник волны должен совершать
колебания то с большей, то с меньшей
амплитудой, то есть в простейшем случае
совершать биения.

5.

Ранее было показано, что биения возникают
при сложении двух однонаправленных
гармонических колебаний, частоты которых 1
и 2 различны, но мало отличаются друг от
друга:
2 1 1, 2 .
Следовательно, источник, который совершает
биения, создает две гармонические волны,
бегущие в одном направлении, частоты которых
1 и 2.

6. Обе волны возбуждают одинаково направленные колебания в одних и тех же точках пространства. Получим уравнение результирующей

волны
считая, что биения источника происходят при
сложении гармонических косинусоидальных
колебаний с нулевой начальной фазой и
одинаковыми амплитудами.

7.

1 2
A cos 1t k1 x A cos 2t k2 x
k2 k1
2 1
2 A cos
t
x
2
2
k2 k1
2 1
cos
t
x .
2
2

8. «Фотография» полученной волны в некоторый момент времени имеет вид

Скорость перемещения в пространстве
максимума волнового пакета (точка *)
называется групповой скоростью Vгр волн,
составляющих волновой пакет.

9. Огибающая волнового пакета определяется в уравнении модулированной волны членом

k 2 k1
2 1
cos
t
2
2
x .

10.

В процессе перемещения такой
модулированной волны для точки, обозначенной
звездочкой (*), постоянной остается фаза,
стоящая в этом выражении:
2 1 k2 k1
t
x * const.
2
2
Здесь x* - координата максимума волнового
пакета.

11.

Поставим задачу: выразить групповую
скорость Vгр через циклические частоты 1,
2 и волновые числа k1, k2 волн,
составляющих волновой пакет.

12. Итак, показано, что групповая скорость волн равна производной от циклической частоты по волновому числу:

d
Vгр
.
dk
Поставим задачу: найти связь групповой и
фазовой скорости волны:
Vгр f Vф ?

13. Итак, показано, что групповая скорость волны выражается через фазовую скорость формулой

Vгр Vф
dVф
d
.

14. Рассмотрим три случая:

1) Vф f( ) – фазовая скорость не зависит от
длины волны (явление дисперсии волн
отсутствует);
dVф
0
d

15.

2) Vф растет с ростом длины волны , то есть
dVф
d
0
(наблюдается нормальная дисперсия);

16.

3) Vф уменьшается с ростом длины волны
,
то есть
dV
ф
d
0
(наблюдается аномальная дисперсия).

17.

Итак,
1) если дисперсия отсутствует, то групповая
скорость волн равна фазовой
Vгр Vф ;
2) если наблюдается нормальная дисперсия, то
групповая скорость волн меньше фазовой
Vгр Vф ;
3) если наблюдается аномальная дисперсия, то
групповая скорость волн больше фазовой
Vгр Vф .

18. Последовательные моментальные «фотографии» волнового пакета в моменты времени t1, t2, t3 а) нормальная дисперсия, б) аномальная

дисперсия.

19. График зависимости циклической частоты волны от волнового числа =f(k) называется дисперсионным.

График зависимости циклической частоты
волны от волнового числа =f(k) называется
дисперсионным.

20.

Для трех рассмотренных выше случаев этот
график имеет вид