Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения

1.Дифференциальные
уравнения
с
разделяющимися
переменными (примеры)
2.Линейные однородные дифференциальные уравнения 2ого порядка с постоянными коэффициентами (примеры).

2. 1) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными (примеры)

х
1
dy
y
2
dx
0
3
Задание 1. Найти общий решение ДУ:
Поделим обе части на чтобы разделить переменные:
dy dx
3
0
2
(
y
2
) (
x
1
)
2
(
x
1
)
(
y
2
)
0
Проинтегрируем обе части:
dy dx
C
(C
const
)
2
3
(
y
2
) (
x
1
)
(
y
2
)
d
(
y
2
)
(
x
1
)
d
(
x
1
)
2
3
1
1
- Общее решение ДУ
C
2
y
2
2
(
x
1
)
3
2

3.

2.
2
y
y
cos
x
ln
y
Перепишем уравнение, заменив
y
на
dy
:
dx
dy 2
y cosxlny | dx
dx
2
2
ydx
cos
xlnydy | : ycos
x 0
dx
dy
dx lnydy
lny 2
2
cosx
y
cosx
y
1 2
tg
x lnyd
(ln
y) tg
x ln y C- общий интеграл
2

4.

3.
(y xy)dx (x xy)dy 0
Приведем уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, вынося
общие множители за скобки:
y(1 x)dx x(1 y)dy 0
| : (yx)
1 x
1 y
1 x
1 y
dx
dy 0
dx
dy C
x
y
x
y
1
1
1 dx 1 dy C
x
y
dx
dy
dx y C
x
y
lnx x lny y C - общий интеграл

5.

1.Линейные однородные дифференциальные уравнения 2ого порядка с постоянными коэффициентами (примеры).
Такими уравнениями называются уравнения вида:
ay by cy 0
(1)
в котором все члены имеют первую степень относительно функции и её производных,
а коэффициенты
a, b, с - постоянные a 0
Для отыскания общего решения уравнения составляется характеристическое
уравнение:
ar br c 0
2
(2)
Которое получается из уравнения (1) заменой в нем производных искомой функции
соответствующими степенями r, причем сама эта функция заменяется единицей.

6.

Общее решение имеет вид
y
C
y
x
C
y
x
1
1
2
2
где y1 и y2 - линейно независимые частные решения уравнения (1),
а С1 и С2 - произвольные постоянные.
Строится общее решение в зависимости от дискриминанта D
квадратного уравнения (2):
1) D 0
В этом случае имеем 2 различных действительных корня
и общее решение имеет вид:
r
x
r
x
1
2
1
2
r1 и r2
,
y
C
e
C
e
2) D 0
В этом случае имеем единственный действительный корень
r
x
0
решение имеет вид:
1 2
3) D 0
r
i
y
C
C
x
e
В этом случае имеем пару комплексных сопряженных корней
где i
1- мнимая единица, и
1
,2
действительные числа.
r0 , и общее
-

7.

Общее решение имеет вид:
x
y
e
C
cos
x
C
sin
x
1
2
Примеры выделения чисел и :
2
5
2
5
1
2
5
1
1. r
1
,
2
2
5
i
2
,
5
1
31 3
11 3
i
2. r
1
,
2
2 2 2 22
1
3
,
.
2
2

8. Примеры интегрирования уравнений

5
y
6
y
0
,
y
y
x
1. y
Характеристическое уравнение:
r
6
1
r
5
r
6
0
D
0
r
1
2
2
Имеем случай 1)
6
x
x
y
C
e
C
e
1
2 - общее решение
2
d
ydy
2.
4
4
y
0
,y
y
x
2
dx
dx
Характеристическое уравнение:
r
4
r
4
0
r
2
0
r
2
D
0
.
2
2
Имеем случай 2).
Общее решение запишется:
2
x
y
C
C
x
e
1 2

9.

2
d
SdS
3.
6
13
S
0
,
S
S
t
.
2
dt
dt
Характеристическое уравнение:
2
Имеем случай 3).
r
6
r
13
0
,
D
36
52
16
0
.
6
16
6
4
1
r
3
2
i
3,
2
1
,
2
2
2
2
Общее решение:
3
t
S
e
C
cos
2
t
C
sin
2
t
1
2
2
y
2
y
0
4. Найти частное решение уравнения y
с начальными условиями y
0
1
,y
0
1
.
Найдём общее решение.
Характеристическое уравнение:
2
2
r
2
r
2
0
,
D
2
4
1
2
4
0
имеем 2 комплексных корня
2
4
2
2
1
r
1
i
1
,
1
1
,
2
2
1
2

10.

Общее решение:
x
y
e
C
cos
x
C
sin
x
*
1
2
x
x
y
e
C
cos
x
C
sin
x
e
C
sin
x
C
cos
x
1
2
1
2
В эти 2 равенства подставляем 2 начальных условия
x
0
,
y
1
x
0
,
y
1
:
0
1
e
C
cos
0
C
sin
0
1
2
0
0
1
e
C
cos
0
C
sin
0
e
C
sin
0
C
cos
0
2
2
1
2
1
С
С
1
1
1
1
С
С
С
2
1
2
2
С
1и С
2подставляем в общее решение * :
x
y
e
cos
x
2
sin
x
- искомое частное решение.
Найденные значения