Невозможно отобразить презентацию
physicsSimilar presentations:
КИНЕМАТИКА ЛЕКЦИИ 1-2: КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
КИНЕМАТИКА ЛЕКЦИИ 1-2: КИНЕМАТИКА ТОЧКИ 1.
ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА КИНЕМАТИКИ Кинематика есть раздел механики, посвященный изучению движения тел с геометрической точки зрения , без учета причин, вызывающих изменение этого движения, т.
е.
сил.
От геометрии кинематика отличается, по существу, тем, что при рассмотрении перемещений тел в пространстве принимается во внимание еще и время перемещения.
Поэтому кинематику иногда называют «геометрией четырех измерений», понимая под четвертым измерением время.
СТАТИКАКИНЕМАТИКА Изучает равновесие ( покой) под действием сил Изучает движение безотносительнок силам его вызывающим Задачи кинематики состоят в разработке методов определения положения, скорости, ускорения и других кинематических величин точек, оставляющих механическую систему.
2.
ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ Механическое движение происходит в пространстве и времени.
В теоретической механике в качестве моделей реальных пространства и времени принимаются абсолютное пространство и абсолютное время, существование которых постулируется.
Абсолютные пространство и время считаются независимыми одно от другого;
в этом состоит основное отличие классической модели пространства и времени от их модели в теории относительности, где пространство и время взаимосвязаны.
Абсолютное пространство представляет собой трехмерное, однородное и изотропное неподвижное евклидово пространство.
Абсолютное время в теоретической механике считается непрерывно изменяющейся величиной, оно течет от прошлого к будущему.
Время однородно, одинаково во всех точках пространства и не зависит от движения материи.
3.
СИСТЕМА ОТСЧЕТА Движение в его геометрическом представлении имеет относительный характер: одно тело движется относительно другого, если расстояния между всеми или некоторыми точками этих тел изменяются.
Для удобства исследования геометрического характера движения можно взять вполне определенное твердое тело, т.
е.
тело, форма которого неизменна, и условиться считать его неподвижным.
Движение других тел по отношению к этому телу называется абсолютным движением.
В качестве неподвижного тела отсчета обычно выбирают систему трех осей (чаще всего взаимно ортогональных), называемую системой отсчета , которая по определению считается неподвижной Система отсчета = неподвижная системой координат = абсолютная СК.
4.
МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА Под материальной точкой понимается частица материи, достаточно малая для того, чтобы ее положение и движение можно было определить как для объекта, не имеющего размеров.
Это условие будет выполнено, если при изучении движения можно пренебречь размерами частицы и ее вращением.
Все зависит от конкретики : Спутник - материальную точка, при определении его положения в космическом пространстве.
Спутник – не материальная точка если рассматриваются задачи, связанные с ориентацией его антенн, т.к.
здесь нельзя пренебрегать вращением спутника В теоретической механике материальная точка представляет собой геометрическую точку, наделенную по определению механическими свойствами;
эти свойства будут рассмотрены в динамике.
В кинематике материальная точка отождествляется с геометрической точкой.
Геометрическое место последовательных положений движущейся материальной точки называется ее траекторией 5.
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ Три способа задания движения Векторный Координатный Естественный Задать движение точки значит дать способ определения положения точки в любой момент времени.
6.
ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯOPrv траекторияО – неподвижная точкаР – движущаяся точка()t=rr - закон движения точкиР Производная по времени от r – скоростьv точкиР Производная по времени отv – ускорениеw точкиР()ddd dtdtdt+=+ab2()ddt dtdt===vrwv&0limt ∆→∆==∆rvr&()tr()tt +∆rO∆rt∆r& Свойства производной вектора()dtdt =≡rvr&()ddd dtdtdt× =×+×abba()ddd dtdtdt× =×+×abba1)2)3) 7.
КООРДИНАТНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ Оxyz – неподвижная система координатР – движущаяся точка (),(),() xxtyytzzt=== - закон движения точкиРOPrvxyzijkxyz=++ rijk ddxdydzxyz dtdtdtdt =++≡++r ijkijk&&&xyzvvv=++ vijk,,xyz vxvyvz===&&&222 vxyz ==++v&&&() cos,,cos,,cos,yxzvvvvvv=== vivjivk,,xyz wxwywz=== &&&&&&222 wxyz ==++w &&&&&&() cos,,cos,,cos,yxzwwwwww=== wiwjiwk 8.
ПРИМЕР sin,cos, xabbtyabbtzc =−==&&& Найти траекторию, скорость, ускорение точки222xya+= Точка движется по поверхности цилиндра радиусаа , ось которого совпадает с осьюz1) 2) Пусть - угол между проекцией ОА радиус-вектора на плоскостьOxyϕOP uuur cos,sin, xayabt ϕϕϕ===zct= Прямая ОА равномерно вращается, точкаР равномерно перемещается по образующей АР.
Т.е.Р движется по винтовой линии3) cos,sin, xabtyabtzct===222 vcab=+4)22 cos,sin,0 xabbtyabbtz =−=−= &&&&&&2wab= Величина скорости постоянна, направление изменяется со временем.
Ускорение имеет постоянную величину и направлено по внутренней нормали цилиндра (от Р к В).
9.
ЕСТЕСТВЕННЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ1OP()tσ+-l – траектория движения точкиР – движущаяся точкаО1 – начало отсчета – длина дугиО1Р()dσ=rτ()t σσ= - закон движения точкиР τ,n,b естественный трехгранник (правый) Векторы лежат в соприкасающейся плоскости траектории в точке Р и направлены соответственно по касательной к траектории в сторону положительного отсчета дуг и по главной нормали траектории в сторону ее вогнутости, вектор направлен по бинормали траектории τ,nb Диф.
геометрия()1dσ σρ=τnσ 10.
СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕdddv dtddtτσ ====rr vττ&()2 dddd dtdtddt σσ σσσσ σρ ===+=+vτ wτττn& &&&&&& Скорость всегда направлена по касательной к траектории Ускорение всегда лежит в соприкасающейся плоскости2,,nnv ττσρ =+== wwwwτwn&& — касательное (тангенциальное) ускорение — нормальное ускорение точки.τwnw Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости, а нормальное — ее направления.
Теорема Гюйгенса о разложении ускорения точки на тангенциальное и нормальное.
11.
ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТЕОРЕМЫ ГЮЙГЕНСА Задача: Найти радиус кривизны эллипса221xyab+= Идея: рассмотреть эллипс как траекторию движения точки с законом cos,sin xatybt== Из теоремы Гюйгенса 222222 sincos vxyatbt =+=+&&22nvvwwwτρ==− 2222222 cossin wxyatbt =+=+ &&&&()2 22222 2222 sincos abttdvw dtatbtτ− == ÷+ ()3/2 2222 sincos atbtabρ+=()3/222xyabρ+= При() 0,0, tyxaπ ===±2abρ= При() 2,32,0 tybx ππ ==±=2baρ= 12.
КРУГОВОЕ ДВИЖЕНИЕ Точка движется по окружности радиусаR ()()tRt σϕ=R σϕ== vττ&2,,nnvRR ττ σϕϕρ =+==== wwwwττwnn&&&&& ϕω=& ϕε=&& угловая скорость угловое ускорениеRω=vτRτε=wτ2nRω=wn касательное ускорение нормальное ( центростремительное ) ускорение Угол находится из равенстваβ2nwtgwτεβω== При равномерном круговом движении constω= =0,=0 εβ 13.
СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ Пусть движение задано в полярной системе координат (),() rrtt ϕϕ== Единичные векторы и задают направления двух перпендикулярных осей: радиальной и трансверсальнойreϕe cossin, sincosrϕ ϕϕ− == ÷÷ ee cossin sincosxrryrr ϕϕϕ− == ÷÷+ v&&&&&&cossinxryrϕ=()2 cos2sin sin2cos rrrrxy rrrr ϕϕϕϕϕ −−+ ÷== ÷ −++ w &&&&&&&&& &&&&&&& Проекции и скорости на радиальную и трансверсальную оси называются соответственно радиальной и трансверсальной скоростями.rvϕrrvr =×=ve&vr ϕϕϕ =×=ve&2rwrrϕ =−&&&2wrrϕ ϕϕ=+&&&& 14.
ПРИМЕР Движение точки задано в полярных координатах, ratbtϕ== Найти траекторию, скорости, ускорения-1 -0.500.51-1 -0.500.51 Исключаем время из уравнений движенияrabϕ= Траектория:Спираль Архимеда,,0 rabr ϕϕ ====&&&rva= vbrabtϕ==22r wbrabt =−=−2wabϕ=rvr=&vrϕ=&2rwrrϕ =−&&&2wrrϕ ϕϕ=+&&&& 15.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ Всякие три числа однозначно определяющие положение точки в пространстве, можно рассматривать как координаты этой точки.
Эти числа, в отличие от прямолинейных декартовых координат, называют криволинейными координатами.
Движение точки считается заданным, если ее криволинейные координаты - известные функции времени()123,,qqq() 1,2,3iqi=()iqt Связь между декартовыми и криволинейными координатами()123,, qqqxyz ==++ rrijk()123,, xxqqq yyqqq zzqqq ÷= ÷ ()123 ()(),(),() tqtqtqt=rr Радиус вектор точки –сложная функция времени 16.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ЛАМЭP0 - некоторая точка в пространстве, с криволинейными координатами Первой координатной линией , проходящей черезP0 , назовем кривую определяющую положение радиус вектора при фиксированных значениях и произвольном Аналогично определяются вторая и третья координатные линии.()000123,,qqq00 2233, qqqq==()00123,,qqq=rr1q Касательная кi -ой координатной линии в точкеР0 –i -ая координатная ось() 1,2,3i=e- единичный ортi -ой координатной осиiiiHq∂=∂re222iiiixyzHqqq ∂∂∂=++ ÷÷÷ ∂∂∂ коэффициенты Ламэ1 ()()iii iiiixyzqq Hqqq ∂∂∂ ∂∂ ==++ ÷ ∂∂ ∂∂∂ rr eijk 17.
СКОРОСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ() 1,2,3i=e Если векторы взаимно ортогональны, то криволинейные координаты называют ортогональными.
Мы будем рассматривать только ортогональные криволинейные координаты.
123111222333123d qqqqHqHqH dtqqq ∂∂∂ ==++=++ ÷ ∂∂∂ rrrr veee &&&&&&123 112233,,,qqq vqHvqHvqH===&&& 222222 112233 vqHqHqH=++&&& 18.
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ123dqqq dtqqq ∂∂∂ ==++ ÷ ∂∂∂ rrrrv&&&() (),,qqq== rrvv&iiqq ∂∂= ∂∂vr& Лемма №1 ЛагранжаЛемма №2 Лагранжаiid dtqq ∂∂= ÷ ∂∂ rv222123 iiiiqqq qqqqqqq ∂∂∂∂=++ ∂∂∂∂∂∂∂ vrrr&&&222123() iiiiid fqqqq qdtqqqqqqq ∂∂∂∂∂ =⇒=++ ÷ ∂∂∂∂∂∂∂∂ rrrrr&&& 19.
УСКОРЕНИЯ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ11iqi iiiii ddddw dtHdtqHdtqdtq ∂∂∂ =×=×=×−× ÷÷÷ ∂∂∂ vvrrrevv1iqiiidw Hdtqq ∂∂ =×−× ÷ ∂∂ vv&212Tv=1iqiiidTTw Hdtqq ∂∂ =− ÷ ∂∂ & Л-1 Л-2 20.
СХЕМА ВЫЧИСЛЕНИЯ УСКОРЕНИЯ1iqiiidTTw Hdtqq ∂∂ =− ÷ ∂∂ &() 222222 1122331(,)2 TqqqHqHqH=++ &&&& 1) Найти функции()iHq2(,)iiiTqqHqq∂=∂& 2) Подсчитать()1221211,,2iiii qiiiii dTHHH wqqqHqqqqq Hdtqqqq ∂∂∂∂ ==+++ ÷ ∂∂∂∂ &&&&&&&&&& 3) Найти 4) Найти()32111,ijqjjj iiiiHT wqqqH HqHq=∂== ∂∂∑%&& 5) Вычислить ()(),,,iiiqqq wwqqqwqq =− &&&%& 21.
ПРИМЕР: СФЕРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ123qrqϕθ=1sinrHHrϕθ= sincos sinsincosxryrzr θϕθ=sinrvrϕθ θϕθ=& sin2sin2cos2rwr wrrrwrrϕθ θϕθϕθθϕ θθ==++=+&&& &&&&&&&&&() 2222221sin2 Trrr θϕθ=++&222sinTrrTr ϕθϕ θθ ∂∂=&&2222sin0 sincosrwrrwwrϕθ θϕθ θθϕ=+=&%&%2222sin sin2sin2cos 2sincosr wrrrϕθ θϕθ θϕθϕθθϕ θθθθϕ =−−=++ =+−&&&&
ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА КИНЕМАТИКИ Кинематика есть раздел механики, посвященный изучению движения тел с геометрической точки зрения , без учета причин, вызывающих изменение этого движения, т.
е.
сил.
От геометрии кинематика отличается, по существу, тем, что при рассмотрении перемещений тел в пространстве принимается во внимание еще и время перемещения.
Поэтому кинематику иногда называют «геометрией четырех измерений», понимая под четвертым измерением время.
СТАТИКАКИНЕМАТИКА Изучает равновесие ( покой) под действием сил Изучает движение безотносительнок силам его вызывающим Задачи кинематики состоят в разработке методов определения положения, скорости, ускорения и других кинематических величин точек, оставляющих механическую систему.
2.
ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ Механическое движение происходит в пространстве и времени.
В теоретической механике в качестве моделей реальных пространства и времени принимаются абсолютное пространство и абсолютное время, существование которых постулируется.
Абсолютные пространство и время считаются независимыми одно от другого;
в этом состоит основное отличие классической модели пространства и времени от их модели в теории относительности, где пространство и время взаимосвязаны.
Абсолютное пространство представляет собой трехмерное, однородное и изотропное неподвижное евклидово пространство.
Абсолютное время в теоретической механике считается непрерывно изменяющейся величиной, оно течет от прошлого к будущему.
Время однородно, одинаково во всех точках пространства и не зависит от движения материи.
3.
СИСТЕМА ОТСЧЕТА Движение в его геометрическом представлении имеет относительный характер: одно тело движется относительно другого, если расстояния между всеми или некоторыми точками этих тел изменяются.
Для удобства исследования геометрического характера движения можно взять вполне определенное твердое тело, т.
е.
тело, форма которого неизменна, и условиться считать его неподвижным.
Движение других тел по отношению к этому телу называется абсолютным движением.
В качестве неподвижного тела отсчета обычно выбирают систему трех осей (чаще всего взаимно ортогональных), называемую системой отсчета , которая по определению считается неподвижной Система отсчета = неподвижная системой координат = абсолютная СК.
4.
МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА Под материальной точкой понимается частица материи, достаточно малая для того, чтобы ее положение и движение можно было определить как для объекта, не имеющего размеров.
Это условие будет выполнено, если при изучении движения можно пренебречь размерами частицы и ее вращением.
Все зависит от конкретики : Спутник - материальную точка, при определении его положения в космическом пространстве.
Спутник – не материальная точка если рассматриваются задачи, связанные с ориентацией его антенн, т.к.
здесь нельзя пренебрегать вращением спутника В теоретической механике материальная точка представляет собой геометрическую точку, наделенную по определению механическими свойствами;
эти свойства будут рассмотрены в динамике.
В кинематике материальная точка отождествляется с геометрической точкой.
Геометрическое место последовательных положений движущейся материальной точки называется ее траекторией 5.
СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ Три способа задания движения Векторный Координатный Естественный Задать движение точки значит дать способ определения положения точки в любой момент времени.
6.
ВЕКТОРНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯOPrv траекторияО – неподвижная точкаР – движущаяся точка()t=rr - закон движения точкиР Производная по времени от r – скоростьv точкиР Производная по времени отv – ускорениеw точкиР()ddd dtdtdt+=+ab2()ddt dtdt===vrwv&0limt ∆→∆==∆rvr&()tr()tt +∆rO∆rt∆r& Свойства производной вектора()dtdt =≡rvr&()ddd dtdtdt× =×+×abba()ddd dtdtdt× =×+×abba1)2)3) 7.
КООРДИНАТНЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ Оxyz – неподвижная система координатР – движущаяся точка (),(),() xxtyytzzt=== - закон движения точкиРOPrvxyzijkxyz=++ rijk ddxdydzxyz dtdtdtdt =++≡++r ijkijk&&&xyzvvv=++ vijk,,xyz vxvyvz===&&&222 vxyz ==++v&&&() cos,,cos,,cos,yxzvvvvvv=== vivjivk,,xyz wxwywz=== &&&&&&222 wxyz ==++w &&&&&&() cos,,cos,,cos,yxzwwwwww=== wiwjiwk 8.
ПРИМЕР sin,cos, xabbtyabbtzc =−==&&& Найти траекторию, скорость, ускорение точки222xya+= Точка движется по поверхности цилиндра радиусаа , ось которого совпадает с осьюz1) 2) Пусть - угол между проекцией ОА радиус-вектора на плоскостьOxyϕOP uuur cos,sin, xayabt ϕϕϕ===zct= Прямая ОА равномерно вращается, точкаР равномерно перемещается по образующей АР.
Т.е.Р движется по винтовой линии3) cos,sin, xabtyabtzct===222 vcab=+4)22 cos,sin,0 xabbtyabbtz =−=−= &&&&&&2wab= Величина скорости постоянна, направление изменяется со временем.
Ускорение имеет постоянную величину и направлено по внутренней нормали цилиндра (от Р к В).
9.
ЕСТЕСТВЕННЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ1OP()tσ+-l – траектория движения точкиР – движущаяся точкаО1 – начало отсчета – длина дугиО1Р()dσ=rτ()t σσ= - закон движения точкиР τ,n,b естественный трехгранник (правый) Векторы лежат в соприкасающейся плоскости траектории в точке Р и направлены соответственно по касательной к траектории в сторону положительного отсчета дуг и по главной нормали траектории в сторону ее вогнутости, вектор направлен по бинормали траектории τ,nb Диф.
геометрия()1dσ σρ=τnσ 10.
СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕdddv dtddtτσ ====rr vττ&()2 dddd dtdtddt σσ σσσσ σρ ===+=+vτ wτττn& &&&&&& Скорость всегда направлена по касательной к траектории Ускорение всегда лежит в соприкасающейся плоскости2,,nnv ττσρ =+== wwwwτwn&& — касательное (тангенциальное) ускорение — нормальное ускорение точки.τwnw Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля скорости, а нормальное — ее направления.
Теорема Гюйгенса о разложении ускорения точки на тангенциальное и нормальное.
11.
ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТЕОРЕМЫ ГЮЙГЕНСА Задача: Найти радиус кривизны эллипса221xyab+= Идея: рассмотреть эллипс как траекторию движения точки с законом cos,sin xatybt== Из теоремы Гюйгенса 222222 sincos vxyatbt =+=+&&22nvvwwwτρ==− 2222222 cossin wxyatbt =+=+ &&&&()2 22222 2222 sincos abttdvw dtatbtτ− == ÷+ ()3/2 2222 sincos atbtabρ+=()3/222xyabρ+= При() 0,0, tyxaπ ===±2abρ= При() 2,32,0 tybx ππ ==±=2baρ= 12.
КРУГОВОЕ ДВИЖЕНИЕ Точка движется по окружности радиусаR ()()tRt σϕ=R σϕ== vττ&2,,nnvRR ττ σϕϕρ =+==== wwwwττwnn&&&&& ϕω=& ϕε=&& угловая скорость угловое ускорениеRω=vτRτε=wτ2nRω=wn касательное ускорение нормальное ( центростремительное ) ускорение Угол находится из равенстваβ2nwtgwτεβω== При равномерном круговом движении constω= =0,=0 εβ 13.
СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ Пусть движение задано в полярной системе координат (),() rrtt ϕϕ== Единичные векторы и задают направления двух перпендикулярных осей: радиальной и трансверсальнойreϕe cossin, sincosrϕ ϕϕ− == ÷÷ ee cossin sincosxrryrr ϕϕϕ− == ÷÷+ v&&&&&&cossinxryrϕ=()2 cos2sin sin2cos rrrrxy rrrr ϕϕϕϕϕ −−+ ÷== ÷ −++ w &&&&&&&&& &&&&&&& Проекции и скорости на радиальную и трансверсальную оси называются соответственно радиальной и трансверсальной скоростями.rvϕrrvr =×=ve&vr ϕϕϕ =×=ve&2rwrrϕ =−&&&2wrrϕ ϕϕ=+&&&& 14.
ПРИМЕР Движение точки задано в полярных координатах, ratbtϕ== Найти траекторию, скорости, ускорения-1 -0.500.51-1 -0.500.51 Исключаем время из уравнений движенияrabϕ= Траектория:Спираль Архимеда,,0 rabr ϕϕ ====&&&rva= vbrabtϕ==22r wbrabt =−=−2wabϕ=rvr=&vrϕ=&2rwrrϕ =−&&&2wrrϕ ϕϕ=+&&&& 15.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ Всякие три числа однозначно определяющие положение точки в пространстве, можно рассматривать как координаты этой точки.
Эти числа, в отличие от прямолинейных декартовых координат, называют криволинейными координатами.
Движение точки считается заданным, если ее криволинейные координаты - известные функции времени()123,,qqq() 1,2,3iqi=()iqt Связь между декартовыми и криволинейными координатами()123,, qqqxyz ==++ rrijk()123,, xxqqq yyqqq zzqqq ÷= ÷ ()123 ()(),(),() tqtqtqt=rr Радиус вектор точки –сложная функция времени 16.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ЛАМЭP0 - некоторая точка в пространстве, с криволинейными координатами Первой координатной линией , проходящей черезP0 , назовем кривую определяющую положение радиус вектора при фиксированных значениях и произвольном Аналогично определяются вторая и третья координатные линии.()000123,,qqq00 2233, qqqq==()00123,,qqq=rr1q Касательная кi -ой координатной линии в точкеР0 –i -ая координатная ось() 1,2,3i=e- единичный ортi -ой координатной осиiiiHq∂=∂re222iiiixyzHqqq ∂∂∂=++ ÷÷÷ ∂∂∂ коэффициенты Ламэ1 ()()iii iiiixyzqq Hqqq ∂∂∂ ∂∂ ==++ ÷ ∂∂ ∂∂∂ rr eijk 17.
СКОРОСТИ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ() 1,2,3i=e Если векторы взаимно ортогональны, то криволинейные координаты называют ортогональными.
Мы будем рассматривать только ортогональные криволинейные координаты.
123111222333123d qqqqHqHqH dtqqq ∂∂∂ ==++=++ ÷ ∂∂∂ rrrr veee &&&&&&123 112233,,,qqq vqHvqHvqH===&&& 222222 112233 vqHqHqH=++&&& 18.
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ЛЕММЫ123dqqq dtqqq ∂∂∂ ==++ ÷ ∂∂∂ rrrrv&&&() (),,qqq== rrvv&iiqq ∂∂= ∂∂vr& Лемма №1 ЛагранжаЛемма №2 Лагранжаiid dtqq ∂∂= ÷ ∂∂ rv222123 iiiiqqq qqqqqqq ∂∂∂∂=++ ∂∂∂∂∂∂∂ vrrr&&&222123() iiiiid fqqqq qdtqqqqqqq ∂∂∂∂∂ =⇒=++ ÷ ∂∂∂∂∂∂∂∂ rrrrr&&& 19.
УСКОРЕНИЯ В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ11iqi iiiii ddddw dtHdtqHdtqdtq ∂∂∂ =×=×=×−× ÷÷÷ ∂∂∂ vvrrrevv1iqiiidw Hdtqq ∂∂ =×−× ÷ ∂∂ vv&212Tv=1iqiiidTTw Hdtqq ∂∂ =− ÷ ∂∂ & Л-1 Л-2 20.
СХЕМА ВЫЧИСЛЕНИЯ УСКОРЕНИЯ1iqiiidTTw Hdtqq ∂∂ =− ÷ ∂∂ &() 222222 1122331(,)2 TqqqHqHqH=++ &&&& 1) Найти функции()iHq2(,)iiiTqqHqq∂=∂& 2) Подсчитать()1221211,,2iiii qiiiii dTHHH wqqqHqqqqq Hdtqqqq ∂∂∂∂ ==+++ ÷ ∂∂∂∂ &&&&&&&&&& 3) Найти 4) Найти()32111,ijqjjj iiiiHT wqqqH HqHq=∂== ∂∂∑%&& 5) Вычислить ()(),,,iiiqqq wwqqqwqq =− &&&%& 21.
ПРИМЕР: СФЕРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ123qrqϕθ=1sinrHHrϕθ= sincos sinsincosxryrzr θϕθ=sinrvrϕθ θϕθ=& sin2sin2cos2rwr wrrrwrrϕθ θϕθϕθθϕ θθ==++=+&&& &&&&&&&&&() 2222221sin2 Trrr θϕθ=++&222sinTrrTr ϕθϕ θθ ∂∂=&&2222sin0 sincosrwrrwwrϕθ θϕθ θθϕ=+=&%&%2222sin sin2sin2cos 2sincosr wrrrϕθ θϕθ θϕθϕθθϕ θθθθϕ =−−=++ =+−&&&&