Лекция 1. Комплексные числа
Определение
Основная теорема алгебры
Модуль комплексного числа
Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа
Пример
Показательная форма комплексного числа
Действия над комплексными числами
Действия над комплексными числами
Действия над комплексными числами
Действия над комплексными числами
Формула Муавра
Извлечение корня
214.75K
Category: mathematicsmathematics

Комплексные числа

1. Лекция 1. Комплексные числа

2. Определение

Комплексным числом называется
число вида z x yi,
где i 1 , а x и y – вещественные
числа.
2

3. Основная теорема алгебры

Выражение
z x iy
называется алгебраической формой
записи комплексного числа.

4.

Число x называется действительной частью,
y–мнимой частью комплексного числа z.
Это записывают следующим образом:
x Rez,
y Im z.

5.

Если x 0 , то число
чисто мнимым.
z называют
Если y 0, то получается z x 0 i
вещественное число.
Два комплексных числа
z x iy
и
z x iy
называются сопряженными.

6.

Два комплексных числа z1 x1 iy1 и
z2 x2 iy2 равны друг другу, если
x1 x2 и y1 y2
Комплексное число z считается
равным нулю, если x=y=0.

7.

Всякое
комплексное
число можно
изобразить точкой на плоскости, т.к.
каждому z соответствует упорядоченная
пара вещественных чисел (x;y).

8.

Число z=0 ставится в соответствие
началу координатной плоскости. Такую
плоскость мы в дальнейшем будем
называть комплексной плоскостью, ось
абсцисс–действительной, а ось ординат–
мнимой осью комплексной плоскости.

9.

у
M(x,y)
r
O
Y
X
х

10. Модуль комплексного числа

Число x 2 y 2 называется модулем
комплексного числа z x iy
и
обозначается z .

11. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Для определения положения точки на
плоскости можно пользоваться
полярными координатами , где r–
расстояние точки от начала координат,
а φ–угол, который составляет радиус–
вектор этой точки с положительным
направлением оси Ox.

12.

,
Положительным направлением
изменения угла φ считается
направление против часовой стрелки.
Воспользовавшись связью декартовых
и полярных координат:
x r cos , y r sin ,
получим тригонометрическую форму
записи комплексного числа

13.

z r cos i sin
r x , y
2
,
2
φ – аргумент комплексного числа,
который находят из формул
x
cos
r
y
sin
r
или в силу того, что ,
y
tg
x
y
arctg
x

14. Пример

Записать в тригонометрической форме
комплексное число z 1 i 3
z 1 3 2
.
1
3
cos
, sin
2
2
Очевидно точка z 1 i 3
находится во 2-й четверти и поэтому
.
120o 2 3 .

15.

2
2
Имеем z 2 cos i sin .
3
3

16. Показательная форма комплексного числа

Используя формулу Эйлера
e
i
cos i sin ,
получаем показательную форму записи
комплексного числа
z r cos i sin re
i

17. Действия над комплексными числами

z1 z 2 x1 x2 y1 y 2 i
z1 z2 x1 x2 y1 y2 i

18. Действия над комплексными числами

z1 z 2 x1 iy1 x2 iy 2
x1 x2 iy1 x2 ix1 y2 i y1 y2
2
x1 x2 y1 y2 x1 y2 x2 y1 i

19. Действия над комплексными числами

z1 x1 iy1 x1 iy1 x2 iy2
z 2 x2 iy2 x2 iy2 x2 iy2
x1 x2 iy1 x2 ix1 y2 i y1 y2
2
x2 y 2
2
2
x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1
x2 y 2
2
2

20. Действия над комплексными числами

i 1
z1 z2 r1 e r2 e
i 2
r1r2 e
i ( 1 2 )
z1 r1 e
r1 i
e
i
z 2 r2 e
r2
i 1
2
1 2

21.

z1 z 2 r1 cos 1 i sin 1 r2 cos 2 i sin 2
r1r2 cos 1 2 i sin 1 2
z1 r1 cos 1 i sin 1
z 2 r2 cos 2 i sin 2
r1
cos 1 2 i sin 1 2
r2

22. Формула Муавра

z r cos n i sin n
n
n

23. Извлечение корня

В тригонометрической форме корень n–
й степени вычисляют по формуле:
n
2k
2k
z r cos
i sin
n
n
n
k 0, 1, ..., n 1
а в показательной – по формуле
2 kπ
n
z re
n
i
n
.

24.

Пример . Возвести число z 3 i
в пятую степень.
3
1
r 3 1 2, cos
, sin
2
2
π
6
π
π
z 2 cos i sin .
6
6

25.

Тогда по формуле Муавра получим
5
5
z 2 cos i sin
6
6
5
5
2 cos i sin
6
6
5

26.

π
π
3
1
2 cos i sin 2
i
6
6
2
2
3
1
2
i
2
2
3 i z.

27.

Найти
3
3
1 cos
1. 1 cos i sin .
2k
3
i sin
2k
3
,
k 0,1, 2.
1
3
k 0 : z1 cos i sin
i.
3
3 2 2
2
2
k 1: z1 cos
3
cos i sin 1.
.
i sin
3

28.

k 2 : z1 cos
4
3
i sin
4
5
5
cos
i sin
3
3
cos(2
)
3
1
3
cos i sin
i.
3
3 2 2
.
3
) i sin(2
3
English     Русский Rules