Комплексные числа

1. Лекция 1. Комплексные числа

2. Определение

Комплексным числом называется
число вида z x yi,
где i 1 , а x и y – вещественные
числа.
2

3. Основная теорема алгебры

Выражение
z x iy
называется алгебраической формой
записи комплексного числа.

4.

Число x называется действительной частью,
y–мнимой частью комплексного числа z.
Это записывают следующим образом:
x Rez,
y Im z.

5.

Если x 0 , то число
чисто мнимым.
z называют
Если y 0, то получается z x 0 i
вещественное число.
Два комплексных числа
z x iy
и
z x iy
называются сопряженными.

6.

Два комплексных числа z1 x1 iy1 и
z2 x2 iy2 равны друг другу, если
x1 x2 и y1 y2
Комплексное число z считается
равным нулю, если x=y=0.

7.

Всякое
комплексное
число можно
изобразить точкой на плоскости, т.к.
каждому z соответствует упорядоченная
пара вещественных чисел (x;y).

8.

Число z=0 ставится в соответствие
началу координатной плоскости. Такую
плоскость мы в дальнейшем будем
называть комплексной плоскостью, ось
абсцисс–действительной, а ось ординат–
мнимой осью комплексной плоскости.

9.

у
M(x,y)
r
O
Y
X
х

10. Модуль комплексного числа

Число x 2 y 2 называется модулем
комплексного числа z x iy
и
обозначается z .

11. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Для определения положения точки на
плоскости можно пользоваться
полярными координатами , где r–
расстояние точки от начала координат,
а φ–угол, который составляет радиус–
вектор этой точки с положительным
направлением оси Ox.

12.

,
Положительным направлением
изменения угла φ считается
направление против часовой стрелки.
Воспользовавшись связью декартовых
и полярных координат:
x r cos , y r sin ,
получим тригонометрическую форму
записи комплексного числа

13.

z r cos i sin
r x , y
2
,
2
φ – аргумент комплексного числа,
который находят из формул
x
cos
r
y
sin
r
или в силу того, что ,
y
tg
x
y
arctg
x

14. Пример

Записать в тригонометрической форме
комплексное число z 1 i 3
z 1 3 2
.
1
3
cos
, sin
2
2
Очевидно точка z 1 i 3
находится во 2-й четверти и поэтому
.
120o 2 3 .

15.

2
2
Имеем z 2 cos i sin .
3
3

16. Показательная форма комплексного числа

Используя формулу Эйлера
e
i
cos i sin ,
получаем показательную форму записи
комплексного числа
z r cos i sin re
i

17. Действия над комплексными числами

z1 z 2 x1 x2 y1 y 2 i
z1 z2 x1 x2 y1 y2 i

18. Действия над комплексными числами

z1 z 2 x1 iy1 x2 iy 2
x1 x2 iy1 x2 ix1 y2 i y1 y2
2
x1 x2 y1 y2 x1 y2 x2 y1 i

19. Действия над комплексными числами

z1 x1 iy1 x1 iy1 x2 iy2
z 2 x2 iy2 x2 iy2 x2 iy2
x1 x2 iy1 x2 ix1 y2 i y1 y2
2
x2 y 2
2
2
x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1
x2 y 2
2
2

20. Действия над комплексными числами

i 1
z1 z2 r1 e r2 e
i 2
r1r2 e
i ( 1 2 )
z1 r1 e
r1 i
e
i
z 2 r2 e
r2
i 1
2
1 2

21.

z1 z 2 r1 cos 1 i sin 1 r2 cos 2 i sin 2
r1r2 cos 1 2 i sin 1 2
z1 r1 cos 1 i sin 1
z 2 r2 cos 2 i sin 2
r1
cos 1 2 i sin 1 2
r2

22. Формула Муавра

z r cos n i sin n
n
n

23. Извлечение корня

В тригонометрической форме корень n–
й степени вычисляют по формуле:
n
2k
2k
z r cos
i sin
n
n
n
k 0, 1, ..., n 1
а в показательной – по формуле
2 kπ
n
z re
n
i
n
.

24.

Пример . Возвести число z 3 i
в пятую степень.
3
1
r 3 1 2, cos
, sin
2
2
π
6
π
π
z 2 cos i sin .
6
6

25.

Тогда по формуле Муавра получим
5
5
z 2 cos i sin
6
6
5
5
2 cos i sin
6
6
5

26.

π
π
3
1
2 cos i sin 2
i
6
6
2
2
3
1
2
i
2
2
3 i z.

27.

Найти
3
3
1 cos
1. 1 cos i sin .
2k
3
i sin
2k
3
,
k 0,1, 2.
1
3
k 0 : z1 cos i sin
i.
3
3 2 2
2
2
k 1: z1 cos
3
cos i sin 1.
.
i sin
3

28.

k 2 : z1 cos
4
3
i sin
4
5
5
cos
i sin
3
3
cos(2
)
3
1
3
cos i sin
i.
3
3 2 2
.
3
) i sin(2
3