Комплексные числа

1. Комплексные числа

2.

Комплексным числом называется
число вида
z x y i,
где x и y – вещественные числа.

3.

z x yi
называется алгебраической формой
записи комплексного числа.

4.

Число x называется действительной частью,
y–мнимой частью комплексного числа z.
Это записывают следующим образом:
x Rez,
y Im z.

5.

• Если x 0 , то число
чисто мнимым.
z называют
• Если y 0 , то получается z x 0 i
вещественное число.
• Два комплексных числа z x
и z x yi
называются
сопряженными.
yi

6.

Два комплексных числа
z2 x2 y2i
z1 x1 y1i
равны друг другу, если x1 x2 и y1 y2 ;
комплексное число z считается
равным нулю, если x=y=0.
и

7.

Всякое комплексное число можно
изобразить точкой на плоскости, т.к.
каждому z соответствует
упорядоченная пара вещественных
чисел (x;y).

8. Модуль комплексного числа

Число x 2 y 2 называется модулем
комплексного числа z x yi и
обозначается z .

9. Тригонометрическая форма комплексного числа.

z r cos i sin
r x y
2
2
y
arctg
x

10. Показательная форма комплексного числа

z r e
i
r x y
2
2
y
arctg
x

11. Действия над комплексными числами

z1 z2 x1 x2 y1 y2 i
z1 z2 x1 x2 y1 y2 i

12. Действия над комплексными числами

z1 z 2 x1 iy1 x2 iy 2
x1 x2 iy1 x2 ix1 y 2 i y1 y 2
2
x1 x2 y1 y 2 x1 y 2 x2 y1 i

13.

z z x yi x yi
x yi x y
2
2 2
2
2

14. Действия над комплексными числами

z1 x1 y1i x1 y1i x2 y2i
z2 x2 y2i x2 y2i x2 y2i

15.

x1 x2 y1 x2i x1 y2i y1 y2i
2
2
x2 y2
2
xx
1 2
y1 y2 x2 y1 x1 y2 i
2
2
x2 y2

16. Действия над комплексными числами

i 1
z1 z2 r1 e r2 e
i 2
r1r2 e
i ( 1 2 )
z1 r1 e
r1 i
e
i
z 2 r2 e
r2
i 1
1
2
2

17.

z1 z 2 r1 cos 1 i sin 1 r2 cos 2 i sin 2
r1r2 cos 1 2 i sin 1 2
z1 r1 cos 1 i sin 1
z 2 r2 cos 2 i sin 2
r1
cos 1 2 i sin 1 2
r2

18. Формулы Муавра

z r cos n i sin n
n
n

19.

n
2kπ
2kπ
z r cos
i sin
n
n
n
k 0, 1, 2,...,n 1