Решение систем линейных уравнений способом подстановки

1.

Решение систем линейных
уравнений
способом подстановки

2.

Алгоритм
решения систем уравнений способом подстановки
1.
Из одного уравнения системы выразить одну из переменных
через другую переменную и известные величины.
2.
Найденное значение подставить во второе уравнение системы,
получить уравнение относительно другой переменной.
3.
Решить полученное уравнение и найти значение этой переменной.
4.
Подставляя найденное значение в выражение первой переменной,
найти соответствующее ее значение.
5.
Записать ответ.

3.

Примеры
Пример 1. Система уравнений имеет одно решение.
Пример 2. Система уравнений имеет множество решений.
Пример 3. Система уравнений не имеет решений.

4.

Пример 1
5 х 3 у 7,
2 х у 5.
1. Из одного уравнения системы выразить одну из переменных
через другую переменную и известные величины.
1) Из второго уравнения системы выразим переменную у через
переменную х:
2 х у 5,
у 2 х 5.

5.

Пример 1
5 х 3 у 7,
2 х у 5.
1) Из второго уравнения системы выразим переменную у через
переменную х:
2 х у 5,
у 2 х 5.
2. Найденное значение подставить во второе уравнение системы,
получить уравнение относительно другой переменной.
2) Полученное выражение у = - 2х – 5 подставим в первое уравнение
системы:
5 х 3( 2 х 5) 7.

6.

Пример 1
5 х 3 у 7,
2 х у 5.
1) Из второго уравнения системы выразим переменную у через
переменную х:
2 х у 5,
у 2 х 5.
2) Полученное выражение у = - 2х – 5 подставим в первое уравнение
системы:
5 х 3( 2 х 5) 7.
3. Решить полученное уравнение и найти значение этой
переменной.
3) Решаем полученное уравнение и находим значение переменной х:
5 х 6 х 15 7.
11х 22,
х 2.

7.

Пример 1
5 х 3 у 7,
2 х у 5.
1) Из второго уравнения системы выразим переменную у через
переменную х:
2 х у 5,
у 2 х 5.
2) Полученное выражение у = - 2х – 5 подставим в первое уравнение
системы:
5 х 3( 2 х 5) 7.
3) Решаем полученное уравнение и находим значение переменной х:
5 х 6 х 15 7,
11х 22,
х 2.
4. Подставляя найденное значение в выражение первой
переменной, найти соответствующее ее значение.
4) Полученное значение х = - 2 подставим в выражение у = - 2х – 5 и
найдем значение у:
у 2 ( 2) 5 1.

8.

Пример 1
5 х 3 у 7,
2 х у 5.
1) Из второго уравнения системы выразим переменную у через
переменную х:
2 х у 5,
у 2 х 5.
2) Полученное выражение у = - 2х – 5 подставим в первое уравнение
системы:
5 х 3( 2 х 5) 7.
3) Решаем полученное уравнение и находим значение переменной х:
5 х 6 х 15 7,
11х 22,
х 2.
4) Полученное значение х = - 2 подставим в выражение у = - 2х – 5 и
найдем значение у:
у 2 ( 2) 5 1.
5. Записать ответ.
Ответ : х 2, у 1.

9.

Пример 2
7 х 14 у 21,
х 2 у 3.
1. Из одного уравнения системы выразить одну из переменных
через другую переменную и известные величины.
1) Из второго уравнения системы выразим переменную х через
переменную у:
х 2 у 3,
х 2 у 3.

10.

Пример 2
7 х 14 у 21,
х 2 у 3.
1) Из второго уравнения системы выразим переменную х через
переменную у:
х 2 у 3,
х 2 у 3.
2. Найденное значение подставить во второе уравнение системы,
получить уравнение относительно другой переменной.
2) Полученное выражение х = 2у + 3 подставим в первое уравнение
системы:
7(2 у 3) 14 у 21.

11.

Пример 2
7 х 14 у 21,
х 2 у 3.
1) Из второго уравнения системы выразим переменную х через
переменную у:
х 2 у 3,
х 2 у 3.
2) Полученное выражение х = 2у + 3 подставим в первое уравнение
системы:
7(2 у 3) 14 у 21.
3. Решить полученное уравнение и найти значение этой
переменной.
3) Решаем полученное уравнение и находим значение переменной у:
14 у 21 14 у 21.
0 у 0,
у любое действительное число.

12.

Пример 2
7 х 14 у 21,
х 2 у 3.
1) Из второго уравнения системы выразим переменную х через
переменную у:
х 2 у 3,
х 2 у 3.
2) Полученное выражение х = 2у + 3 подставим в первое уравнение
системы:
7(2 у 3) 14 у 21.
3) Решаем полученное уравнение и находим значение переменной у:
14 у 21 14 у 21.
0 у 0,
у любое действительное число.
4. Подставляя найденное значение в выражение первой
переменной, найти соответствующее ее значение.
4) у = t, где t R, подставим в выражение х = 2у + 3 и найдем
значение х:
х 2t 3.

13.

Пример 2
7 х 14 у 21,
х 2 у 3.
1) Из второго уравнения системы выразим переменную х через
переменную у:
х 2 у 3,
х 2 у 3.
2) Полученное выражение х = 2у + 3 подставим в первое уравнение
системы:
7(2 у 3) 14 у 21.
3) Решаем полученное уравнение и находим значение переменной у:
14 у 21 14 у 21.
0 у 0,
у любое действительное число.
4) у = t, , где t R, подставим в выражение х = 2у + 3 и найдем
значение х:
х 2t 3.
5. Записать ответ.
Ответ : множество решений вида (2t 3; t ), t R.

14.

Пример 3
х 5 у 3,
3х 15 у 1.
1. Из одного уравнения системы выразить одну из переменных
через другую переменную и известные величины.
1) Из первого уравнения системы выразим переменную х через
переменную у:
х 5 у 3,
х 5 у 3.

15.

Пример 3
х 5 у 3,
3х 15 у 1.
1) Из первого уравнения системы выразим переменную х через
переменную у:
х 5 у 3,
х 5 у 3.
2. Найденное значение подставить во второе уравнение системы,
получить уравнение относительно другой переменной.
2) Полученное выражение х = 5у - 3 подставим во второе уравнение
системы:
3(5 у 3) 15 у 1.

16.

Пример 3
х 5 у 3,
3х 15 у 1.
1) Из первого уравнения системы выразим переменную х через
переменную у:
х 5 у 3,
х 5 у 3.
2) Полученное выражение х = 5у - 3 подставим во второе уравнение
системы:
3(5 у 3) 15 у 1.
3. Решить полученное уравнение и найти значение этой
переменной.
3) Решаем полученное уравнение и находим значение переменной у:
15 у 9 15 у 1.
0 у 8.
При любом значении у уравнение не имеет решений.

17.

Пример 3
х 5 у 3,
3х 15 у 1.
1) Из первого уравнения системы выразим переменную х через
переменную у:
х 5 у 3,
х 5 у 3.
2) Полученное выражение х = 5у - 3 подставим во второе уравнение
системы:
3(5 у 3) 15 у 1.
3) Решаем полученное уравнение и находим значение переменной у:
15 у 9 15 у 1.
0 у 8.
При любом значении у уравнение не имеет решений.
4. Подставляя найденное значение в выражение первой
переменной, найти соответствующее ее значение.
4) Нет значений у, обращающих второе уравнение системы в верное
равенство. Найти переменную х нельзя.

18.

Пример 3
х 5 у 3,
3х 15 у 1.
1) Из первого уравнения системы выразим переменную х через
переменную у:
х 5 у 3,
х 5 у 3.
2) Полученное выражение х = 5у - 3 подставим во второе уравнение
системы:
3(5 у 3) 15 у 1.
3) Решаем полученное уравнение и находим значение переменной у:
15 у 9 15 у 1.
0 у 8.
При любом значении у уравнение не имеет решений.
4) Нет значений у, обращающих второе уравнение системы в верное
равенство. Найти переменную х нельзя.
5. Записать ответ.
Ответ : система уравнений не имеет решений.