Функция её свойства и графики

1.

Логинова Н.В.
учитель математики
МБОУ «СОШ № 16»
г. Ижевска
16.07.2019

2.

Повторение по теме:
1. Что такое функция?
Определение. Зависимость переменной y от переменной x, при
которой каждому значению переменной х соответствует
единственное значение переменной у, называют функцией.
Определение. Соответствие f между
двумя множествами X и Y, при котором
каждому
элементу
множества
X
ставится в соответствие единственный
элемент множества Y, называется
функцией.
11
0
11
y f(x)
16.07.2019
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
2

3.

Переменную х называют независимой переменной или
аргументом. Переменную у называют зависимой переменной.
Говорят также, что переменная у является функцией от
переменной х.
y f(x)
Значения зависимой
функции.
переменной
называют
значениями
2. Как можно задать функцию?
Способы задания функций: табличный, графический,
аналитический(с помощью формулы), словесный.
16.07.2019
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
3

4. Напомним, что графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям

3. Что такое график?
Напомним, что графиком функции называется
множество всех точек координатной плоскости,
абсциссы которых равны значениям аргумента, а
ординаты - соответствующим значениям функции.
4. Что такое область определения
и область значения функции?
Все значения независимой переменной образуют
область определения функции.
Все значения, которые принимает зависимая
переменная, образуют область значений функции.
16.07.2019
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
4

5.

Найдите область определения функции
y 0,8x 12
2
1.
( ;
4.
у
)
х 2
x 2
16.07.2019
2.
y 12 x 0,8
2
( ;
5.
3.
)
у 2 х
x 2
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
y 12 0,8 x
( ;
6.
)
у х 2
х 2
5
2

6. Назовите функции с одинаковой областью определения

1.
4.
7.
2
у
7 x
7 х
у
2
у
х 7
2
2.
5.
8.
у
х 7
2
у
х 7
2
6.
у
х 7
2
2
у
7 х
7 х
у
2
Задайте формулой функцию с
областью определения х 7
16.07.2019
3.
у
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
2
х 7
у
2
х 7
6

7. На рисунке изображён график зависимости температуры Т ( ºС) от времени суток t (час)

Т
ºc
4
2
t
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
-2
-4
16.07.2019
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
7
ч

8.

Ограниченность функции
Функция у = f (x) называют ограниченной
снизу на множестве Х D (f),
если все значения функции на множестве Х
больше некоторого числа.
y
если существует число m
такое, что для любого
значения х Х выполняется
неравенство f (x) > m.
16.07.2019
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
1
0
1
x
8

9.

Непрерывность функции
у
у
0
16.07.2019
х
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
0
х
9

10.

Четные и нечетные
функции
1. Область определения функции D (f) – симметричное
множество;
2. Для любого х Х выполняется равенство:
f ( – x) = – f (x)
f ( – x) = f (x)
у
у
х
16.07.2019
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
х
10

11.

Выпуклость функции
у
у
0
16.07.2019
х
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
0
х
11

12. Периодичность функции

Периодической называется функция,
удовлетворяющая условию: f(x+T)=f(x)
для любого х.
y
Наименьшее значение Т
называется периодом
функции
16.07.2019
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
1
0
x
12

13.

Общая схема исследования функции
1. Область определения функции.
2. Исследование области значений функции.
3. Определение точек пересечения графика функции с
осями координат (нули функции).
4. Исследование функции на монотонность (возрастание,
убывание функции)
5. Определение промежутков знакопостоянства.
6. Исследование функции на непрерывность.
7. Исследование функции на четность.
8. Наибольшее и наименьшее значения функции.
9. Ограниченность функции.
10. Выпуклость функции.
11. Периодичность функции.
12. Построение графика функции.
16.07.2019
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
13

14.

Свойства линейной функции у = kx + в
1. D (f) = (- ;+ )
у
у
2. E (f) = (- ;+ )
в
0
х
3. у = 0 при х = - в/к
в
4. Монотонность
0
k>0
возрастающая
х
k<0
убывающая
6. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
5. Не ограничена ни сверху, ни снизу.
7. Функция непрерывна.
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
14

15.

k
Свойства функции у
x
1. D (f) = (- ;0) (0;+ )
у
2. Е (f) = (- ;0) (0;+ )
у
3. Монотонность
0
0
х
k>0
х
k<0
Функция убывает на
промежутках (- ;0) и (0;+ )
Функция возрастает на
промежутках (- ;0) и (0;+ )
4. Функция непрерывна на луче (- ;0) и луче (0;+ ).
5. Нет ни наименьшего, ни наибольшего значений.
6.Не ограничена ни сверху, ни снизу.
7. Функция нечетная
16.07.2019
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
15

16.

Свойства функции у = kx2
1. D (f) = (- ;+ )
y
k>0
y
k<0
0
x
2. Е (f) = [0;+ )
0
x
2. Е (f) = (- ;0]
3. у = 0 при х = 0
4.Промежутки монотонности
убывает на луче (- ;0], возрастает
на луче [0;+ )
убывает на луче [0;+ ),
возрастает на луче (- ;0]
5. унаим = 0; унаиб – не существует.
5. унаим – не существует; унаиб = 0.
6. Ограничена снизу.
6. Ограничена сверху.
7. Непрерывная, четная.
8. Выпукла вниз.
16.07.2019
8. Выпукла вверх.
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
16

17.

График постоянной функции
у
С
0
16.07.2019
у=С
х
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
17

18.

y
1
0
x
1
y
y
y
1
1
1
0
0 1
Рис. 1
x
Рис. 2
y
1
x
x
0 1
Рис. 3
Рис. 4
y
y
1
1
y
1
2
0
Рис. 5
16.07.2019
2
x
0
0 1 x
x
Рис. 6
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
Рис. 7
0 1
Рис. 8
18
x

19.

Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
19

20.

1 вариант
Укажите область
определения функции
2 вариант
Укажите множество
значений функции
y
1
2
3
4
3; 4
3; 7
1
0 1
x
3; 1 1; 7
3; 1 1; 4
16.07.2019
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
20

21.

1 вариант
2 вариант
Укажите номер четной функции
Укажите номер нечетной функции
y
y
1
1
0
0
1
x
1
1
x
2
y
y
1
0 1
3
16.07.2019
x
0 1
x
4
21
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

22. На каком из следующих множеств функция, график которой изображен на рисунке 1 вариант 2 вариант возрастает убывает

На каком из следующих множеств функция, график которой
изображен на рисунке
1 вариант
возрастает
1
2
3
4
16.07.2019
2;1 1; 5
4; 2
2; 0
3;
2 вариант
убывает
1
2
3
4
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
5; 3 2;1
1; 0
1; 5
; 4
22

23.

1 вариант
2 вариант
Найдите все значения , для
которых выполняется
неравенство .
Найдите все значения , для
которых выполняется
неравенство .
f x g x
f ( x) g ( x)
y
1
4; 1 4; 6
2
1;4
3
1;4
4
4; 1 4; 6
)
x
(
g
=
y
0 1
x
y = f (x)
23
16.07.2019
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»

24. График какой функции изображен на рисунке?

1 вариант
2 вариант
y
y
1
1
0 1
1
2
16.07.2019
у = х +1
у = -1+х
0
x
1
x
2
3
4
у=-x+4
у
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
х
24

25.

1 вариант
16.07.2019
2 вариант
1.
3
1.
1
2.
4
2.
3
3.
3
3.
2
4.
1
4.
3
5.
3
5.
2
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
25

26. Всем за работу

16.07.2019
Логинова Н.В. МБОУ «СОШ №16»
26