Целые уравнения и способы их решения

1. Целые уравнения и способы их решения

Работу выполнила:
Данилова С. Д.- учитель
математики МОУ лицея №86

2. Цель работы:

Познакомиться с целыми
уравнениями и способами их
решения.

3. Целое уравнение

Уравнение вида P x 0
, где P x многочлен стандартного вида,
называют целым алгебраическим
уравнением.
Теорема 1.Если число a является
корнем многочлена
n
n 1
P x a0 x a1 x ... an 1 x an , то этот
многочлен можно представить в виде
P x x a P1 x , где P1 x -многочлен
степень которого на единицу меньше
степени многочлена P x .

4. Теорема Безу

Теорема Безу. Для того чтобы
многочлен делился без остатка на
двучлен x a ,необходимо и
достаточно, чтобы число a было
корнем многочлена.
Теорема 2.Если уравнение
n
n 1
a0 x a1 x ... an 1 x an 0 имеет
целые коэффициенты, причем
свободный член отличен от нуля, то
целыми корнями такого уравнения
могут быть только делители
свободного члена.

5. Пример 1

Решить уравнение x x 5 x 3x 2 0
Делители свободного члена- числа -1,
1, -2, 2. Подставим эти числа в
уравнение, находим что x1 1, x2 2
Представим левую часть уравнение в
виде x 1 x 2 x 2 px q или
2
2
x x 2 x px q ,где p и qнеизвестные нам числа.
4
3
2

6.

Методом неопределенных
коэффициентов находим, что 2q 2
и p 1 1. Отсюда q 1 , p 2.
2
Приравняв нулю трехчлен x 2 x 1 ,
найдем остальные корни уравнения:
2
x 2x 1 0 ,
x4 1 2 , x3 1 2 .
Ответ: x1 1, x2 2, x4
1 2 , x3 1 2.

7. Метод введения новой переменной.

Этот метод заключается в том, что для
решения уравнения f ( x) 0 вводят
новую переменную (подстановку)
y q(x) и выражают f (x) через y,
получая новое уравнение
.
Решая затем уравнение
находят его корни { y1 , y2 ,... yn }.
После этого получают совокупность
уравнений q( x) y1 , q( x) y2 ,..., q( x) yn ,
из которых и находят корни исходного
уравнения.
s( y) 0
s( y) 0

8. Пример 2

Решить уравнение
4
2
3x 2 13 3x 2 36 0
Полагая y 3x 2 , получим
2
уравнение y 13 y 36 0 .
Находим его корни y1 4, y2 9 и
решаем совокупность уравнений
2
3x 2 4,
2
3x 2 9
2

9.

Первое уравнение 3x 2 4
равносильно совокупности уравнений
2
x1 0,
3x 2 2,
находим
корни
3x 2 2
4
x2 .
3
Второе уравнение 3 x 2 9
равносильно совокупности уравнений
2
3x 2 3,
3x 2 3.находим корни
1
x3 ,
3
5
x4
3
4
1
5
Ответ: x1 0; x2 ; x3 ; x4
3
3
3

10. Возвратные уравнения

Уравнение четвёртой степени
ax bx cx dx e 0
4
3
2
называют возвратным, если оно имеет
вид ax 4 bx 3 cx 2 kbx k 2 a 0
где k - не равное нулю число.
При k 1 возвратное уравнение примет
вид ax 4 bx 3 cx 2 bx a 0
Такое уравнение называется
симметрическим.
Возвратные уравнения можно упрощать
введением новой переменной
k
y x
x

11. Пример 3

Решить уравнение
3x 4 5x3 30 x 2 10 x 12 0
Это уравнение возвратное, так как оно имеет
вид
3x 5x 30 x 2 5 x 2 3 0,2k 2
4
3
2
2
Разделим обе части уравнения на x .
Равносильность уравнения не нарушится,
так как x 0 не является корнем уравнения.
Получим:
10 12
2
3x 5 x 30 2 0
x x
Сгруппируем члены уравнения
2
2 4
3 x 2 5 x 30 0.
x
x

12.

2
Введем новую переменную y x .
2
x
2
4
2
Тогда 2
y x x 2 4
x
4 x
2
2
Отсюда x 2 y 4 .
x
Получим уравнение 3 y 2 4 5 y 30 0
или 3 y 2 5 y 42 0 .
14
Найдём его корни: y1 3, y2 .
3
Получим совокупность
2
2 14
уравнений x 3 или x .
x
x 3
Приведя их к целому виду, получим:
x 2 3x 2 0,
3x 2 14 x 6 0.
Найдем корни x1 1, x2 2, x3 7 31 , x4 7 31
3
3