Similar presentations:
Решение квадратных уравнений
1. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
"Решение квадратных уравнений", алгебра 8 класс.Презентация может быть использована при организации
обобщающего повторения по названной теме, а также
для подготовки обучающихся к итоговой аттестации. В
презентации дана классификация квадратных уравнений,
способы решения квадратных уравнений, решение
биквадратных уравнений.
Атабиева Мадина Ибрагимовна,
учитель математики
МБОУ Лицей№7
2. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ВЫХОДКЛАССИФИКАЦИЯ
СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ
БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
3. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи,
связанные нахождением площадей земельныхучастков и с земляными работами военного
характера, а также с развитием астрономии и
самой математики. Квадратные уравнения
умели решать около 2000 лет до н.э.
вавилоняне. Применяя современную
алгебраическую запись, можно сказать, что в
их клинописных текстах встречаются, кроме
неполных, и такие, например, полные
квадратные уравнения.
4. КЛАССИФИКАЦИЯ
ПОЛНЫЕКВАДРАТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ВЫХОД
НЕПОЛНЫЕ
КВАДРАТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ПРИВЕДЕННЫЕ
КВАДРАТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
5. ПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение вида ax 2 bx c o , где хпеременная, a, b и с – некоторые числа, причемнa 0 называют квадратным.
а – первый коэффициент
b – второй коэффициент
с – свободный член уравнения
Например:
4x2 6x 3 0
ВЫХОД
6. НЕПОЛНЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Если в уравнении ax 2 bx c o хотябы один из коэффициентов b или с
равен нулю, то такое уравнение
называют неполным квадратным
уравнением.
2
Если b =0 , то ax c 0
Если с=0 , то ax 2 bx 0
Например: 1.
2.
ВЫХОД
5 x 2 18 0
3x 2 x 0
7. ПРИВЕДЕННЫЕ КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Квадратное уравнение, в котором первыйкоэффициент равен 1, называют
приведенным квадратным уравнением.
Например:
ВЫХОД
x2 7x 9 0
8. СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ
ПОЛНЫЕКВАДРАТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ВЫХОД
НЕПОЛНЫЕ
КВАДРАТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ПРИВЕДЕННЫЕ
КВАДРАТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
9. СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ ПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
ax bx c 02
ax 2kx c 0
2
ВЫХОД
10. СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ НЕПОЛНЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЯХ
ax bx 02
ВЫХОД
ax c 0
2
11. СПОСОБЫ РЕШЕНИЙ ПРИВЕДЕННЫХ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ ФОРМУЛ КОРНЕЙКВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
ИСПОЛЬЗУЯ ТЕОРЕМУ ВИЕТА
ВЫХОД
12.
13.
ax bx c 02
Выражение D b 2 4ac называют дискриминантом
квадратного уравнения
ax bx c 0
2
1. Если D>0, уравнение имеет два корня:
b D
x2
2a
2. Если D=0, то уравнение имеет один корень:ПРИМЕР 1
b D
x1
2a
b
x
2a
3. Если D<0, то уравнение корней не имеет.
ВЫХОД
ПРИМЕР 2
ПРИМЕР 3
14.
ax 2kx c 02
D1 k ac
2
Если D>0, то уравнение имеет два корня:
k D1
x1
a
k D1
x2
a
Если D=0, то уравнение имеет один корень:
k
x
a
Если D<0, то уравнение корней не имеет.
ВЫХОД
ПРИМЕР 4
ПРИМЕР 5
ПРИМЕР 6
15. ПРИМЕР 1
55xx22 99 xx22 00, ,
DD bb22
4acac 9922
4 55 (( 22) ) 121
121
4
, ,
DD 00,,
9 121
121 9
9 11
11 1 1
, ,
xx1 1
2 55
1010
5 5
99
121
9 9 11
121
11 2
x
x 1 2
10
2
2
5
2 5
10
11
Ответ :: xx1 , ;x2x 2 . 2 .
Ответ
1
2
5
5
ВЫХОД
16. ПРИМЕР 2
5 x 7 x 2,45 0,2
D b 4ac ( 7) 4 5 2,45 0,
2
D 0,
7
x
0,7
2 5
Ответ : x 0,7.
ВЫХОД
2
17. ПРИМЕР 3
x 3 x 4 0,2
D b 4ac ( 3) 4 1 4 7,
2
2
D 0,
корней нет
Ответ : корней нет.
ВЫХОД
18. ПРИМЕР 4
x 2 x 48 0,2
D1 k 2 ac 12 ( 48) 49,
D1 0,
1 49
x1
6,
1
1 49
x2
8
1
Ответ : x1 6; x2 8.
ВЫХОД
19. ПРИМЕР 5
0,25 x 2 2 x 4 0,D1 k 2 ac 12 ( 0,25) ( 4) 0,
D1 0,
1
4
x
0,25
Ответ : x 4.
ВЫХОД
20. ПРИМЕР 6
2 x 2 x 14 0,2
D1 k 2 ac ( 1) 2 2 14 27,
D1 0, корней нет
Ответ : корней нет.
ВЫХОД
21. ЕСЛИ С=0
Такие уравнения решают разложениемлевой его части на множители:
x 0
или
ax b 0,
ax b,
b
x
a
ВЫХОД
ПРИМЕР 8
22. ЕСЛИ b=0
ax 2 c 0,ax
x
2
2
c,
c
,
a
Если c 0 , то уравнение имеет два корня:
a
c
c
x2
x1
a
a
c
Если 0 , то уравнение корней не имеет.
a
ВЫХОД
ПРИМЕР 7
23. ПРИМЕР 7
0.5 x 2 18 0,0,5 x 18,
2
x 36,
2
x1
36 ;
x1 6;
x2 36 ,
x2 6
Ответ : x1 6; x2 6.
ВЫХОД
24. ПРИМЕР 8
8 x 2 7 x 0,x (8 x 7) 0,
x 0
или
8 x 7 0,
8 x 7,
7
x
8
7
Ответ : x1 0; x2 .
8
ВЫХОД
25. ТЕОРЕМА ВИЕТА
Теорема Виета: сумма корней квадратногоуравнения равна второму коэффициенту, взятому с
противоположным знаком, а произведение корней
равно свободному члену.
2
Если x1 и x-корни
уравнения
,
то
x
px
q
0
2
x1 x2 p
x1 x2 q
Из теоремы Виета следует, что если x1 и x2- корни
уравненияx 2 bx c 0 , то
ВЫХОД
b
x1 x2
a
c
x1 x2
a
26. БИКВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнение вида ax bx c 0 (a 0)где х-переменная, а, b и с – некоторые
числа, называют биквадратным
уравнением.
4
2
Например: 3x 4 5 x 2 8 0
ВЫХОД
ПРИМЕР9
27. ПРИМЕР 9
9 x 4 10 x 2 1 0Введем новую переменную
x2 y
Получим квадратное уравнение
с переменной у : 9 y 2 10 y 1 0
Решив его, найдем, что
Значит, x 2
1
9
или
y1
1
; y2 1
9
x2 1
1
1
1
находим, что x1 ; x2
3
3
9
Из уравнения x 2 1 находим, что x3 1; x4 1
Из уравнения x 2
1
1
Ответ : x1 ; x2 ; x3 1; x4 1.
3
3
ВЫХОД