Условная вероятность

1.

Условная вероятность.
Теорема. Пусть вероятностное пространство U представлено в виде
объединения попарно несовместных событий X1,…,Хn:
U=X1 … Xn,
где Xi Xj= при i=j. Тогда для любого события А верно равенство
P(A)=P(X1)P(A|X1)+…+P(Xn)P(A|Xn)
.

2.

Условная вероятность. Формула Байеса.
Одной из форм формулы полной вероятности является равенство
P(Xk|A)=(P(Xk)P(A|Xk))/(P(X1)P(A|X1)+…+P(Xn)P(A|Xn)).
Это равенство называют формулой Байеса. Она истолковывается следующим
образом: если существуют попарно исключающие друг друга гипотезы X1,…,Xn,
охватывающие всевозможные случаи, и если известны вероятности события А
при каждой из этих гипотез, то по формуле Байеса можно найти вероятность
справедливости гипотезы Xk при условии, что произошло событие А.
Пример1. Партия электрических лампочек на 20% изготовлена заводом1,
на 30% - заводом2 и на 50% - заводом3. Для завода1 вероятность выпуска
бракованной лампочки равна 0,01, для завода2 - 0,005 и для завода3 - 0,006.
Какова вероятность того, что взятая наудачу из партии лампочка оказалась
бракованной?
Нас интересует событие А - «взятая из партии бракованная лампочка».
Рассмотрим три события: Х1 - «взятая лампочка изготовлена заводом1», Х2 «взятая лампочка изготовлена заводом2» и Х3 - «взятая лампочка изготовлена
заводом3». Эти события попарно несовместимы и Х1 Х2 Х3=U. Кроме того,
в условии примера сказано, что P(X1)=0,2, P(X2)=0,3, P(X3)=0,5, P(A|X1)=0,01,
P(A|X2)=0,005, P(A|X3)=0,006.

3.

Подставляя эти значения в формулу полной вероятности, получаем:
P(A)=0,01*0,2+0,005*0,3+0,006*0,5=0,0065.
Ответ: 0,65%.
Пример2. В цеху стоят a-ящиков с исправными деталями и b-ящиков с
бракованными деталями. Среди исправных деталей p% отникелированы, а из
числа бракованных никелированы лишь q% деталей (в каждом ящике). Вынутая
наугад деталь оказалась никелированной. Какова вероятность, что она исправна?
Решение. Имеем события Х1 - «деталь исправна» и Х2 - «деталь бракованная», а
также событие А - «деталь отникелирована». Нам надо найти значение P(X1|A).
По условию имеем: P(X1)=a/(a+b), P(X2)=b/(a+b), P(A|X1)=p/100, P(A|X2)=q/100.
Подставляя эти данные в формулу Байеса, получаем:
P(X1|A)=((a/(a+b))*(p/100))/(((a/(a+b))*(p/100))+(b/(a+b))*(q/100).
Значит, искомая вероятность равна (ap)/(ap+bq). Например,
если a=50, b=3, p=90, q=5, то
P(X1|A)=(50*90)/(50*90+3*5)=0,9967.
Если же a=b=50, p=75, q=15, то
P(X1|A)=(50*75)/(50*75+50*15)=0,833.
Ответ: (ap)/(ap+bq).
b
a

4.

Условная вероятность. Формула Бернулли.
Теорема. Пусть вероятность события А равна р, и пусть Рmn вероятность того, что в серии из n независимых испытаний это
событие произойдёт m раз. Тогда справедлива формула Бернулли
Pmn=Cnmpmqn-m
где q=1-p.
Пример3. Какова вероятность того, что при десяти бросаниях
игральной кости 3 очка выпадут ровно 2 раза?
Решение. Вероятность выпадения 3 очков при одном броске равна
1/6. Поэтому р=1/6, q=5/6. Так как, кроме того, n=10 и m=2, то по
формуле Бернулли имеем:
P2, 10=C210(1/6)2(5/6)8=(10*9*58)/(1*2*610 ).
Ответ: (10*9*58)/(1*2*610).

5.

Условная вероятность. Закон больших чисел.
Теорема. Пусть вероятность события А в испытании s равна p, и пусть
проводятся серии, состоящие из n независимых повторений этого
испытания. Через m обозначим число испытаний, в которых
происходило событие А. Тогда для любого положительного числа а
выполняется неравенство
P(|m/n-p|>a)<pq/(a2n).
В условиях теоремы при любом значении a>0 имеем:
lim P(|m/n-p|>a)=0
n
Пример4. Сколько достаточно провести опытов, чтобы из них получить
вероятность события с точностью до 0,1 и чтобы р=m/n с этой
точностью и с вероятностью 0,9?
Решение. Для решения достаточно найти такое n, чтобы было
выполнено неравенство pq/(0,12n)<0,1. А так как q=1-p, то
pq=p(1-p)<1/4 и потому достаточно указать n, удовлетворяющее
неравенству 1/(4*0,12n)<0,1, отсюда n>250.
Ответ: n>250.