Определитель матрицы

1.

Определитель – это число,
характеризующее квадратную
матрицу.
Обозначается:
A
det A

2.

Определителем первого порядка матрицы
A (a11)
называется число
То есть:
A a11 a11
a11

3.

Определителем второго порядка
называется число, которое
определяется по правилу:
a11
a12
a21 a22
a11 a22 a12 a 21

4.

Определителем третьего порядка
называется число, которое
определяется по правилу:
a11 a12 a13
a21 a22 a23 a11 a22 a33 a12 a23 a31 a13 a21 a32
a31 a32 a33
a13 a22 a31 a12 a21 a33 a11 a23 a32

5.

Для вычисления определителей третьего порядка
удобно пользоваться правилом треугольников:

6.

Вычислить определители матриц:
1 2
A
3 5
1 1 1
B 2 1 1
1 1 2

7.

A
1
2
3 5
1 5 ( 3) 2 11
1 1 1
B 2
1
1
1
1
2
1 1 2 ( 1) 1 1 1 2 1 1 1 1 ( 1) 2 2 1 1 1 5

8.

Минором некоторого элемента
определителя называется определитель,
полученный из исходного
вычеркиванием строки и столбца,
на пересечении которых стоит
данный элемент.
Минор элемента определителя
обозначается как
M ij
a ij

9.

Алгебраическим дополнением
некоторого элемента определителя
называется минор этого элемента,
умноженный на (-1)S , где S – сумма
номеров строки и столбца, на
пересечении которых стоит данный
элемент.
Aij ( 1) M ij
S
S i j

10.

В частности, минор элемента
a11
определителя третьего порядка найдется по
правилу:
a11
a12
a13
a21 a22
a23
a31
a33
a32
M 11
Его алгебраическое дополнение:
1 1
A11 ( 1) M11 M11
a22
a23
a32
a33

11.

1
Определитель транспонированной
матрицы равен определителю
исходной матрицы.
A A
T

12.

Например:
1 1 1
B 2
1
1 5
1
1
2
1
2 1
BT 1 1 1 2 2 1 1 4 1 5
1
1 2

13.

2
Перестановка двух строк или
столбцов определителя
эквивалентна умножению его
на (-1).

14.

Например:
1 1 1
B 2
1
1 5
1
1
2
Меняем местами первую и вторую строки:
2
1
1
1 1 1 4 1 1 1 2 2 5
1
1
2

15.

3
Если определитель имеет две
одинаковые строки или столбца,
то он равен нулю.

16.

Например:
1 1 3
2
2
2 4 4 12 12 4 4 0
2
2
2

17.

4
Общий множитель строки или
столбца можно выносить за знак
определителя.

18.

Например:
1 1 1
2
2
2 4 2 2 2 4 2 4
1
1
2
Выносим из второй строки множитель 2:
1 1 1
1 1 1
2
2 2 2 1 1
1 2 (2 1 1 1 2 1) 2 2 4
1
1 2
2
1 1

19.

5
Определитель не изменится, если
к элементам одной строки или столбца
прибавить соответственные элементы
другой строки или столбца,
умноженные на одно и то же число.

20.

Например:
1 1 1
B 2
1
1 5
1
1
2
Первую строку умножаем на 2 и складываем
со второй:
1 1 1
4 1 3 2 3 4 1 8 3 5
1
1
2

21.

6
Определитель равен сумме
произведений элементов какойлибо строки или столбца на их
алгебраические дополнения:
n
A ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ... ain Ain aik Aik
k 1

22.

Вычислить определитель:
1
2
3
4
1
2
3
1
0
1
1
0
2
3
4
1

23.

Раскладываем определитель по третьей
строке:
1 2 3 4
1 2 3 1
0 1 1 0
0 A31 1 A32 1 A33 0 A34 A32 A33
2 3 4 1
Находим алгебраические дополнения:
=

24.

1 3 4
A32 ( 1) 3 2 M 32 1 3 1 (3 6 16 24 3 4) 6
2 4 1
1 2 4
A33 ( 1) 3 3 M 33 1 2 1 2 4 12 16 2 3 3
2 3 1
Подставляем полученный результат:
=
6 ( 3) 3