Длина окружности и площадь круга

1.

МКОУ «Погорельская СОШ»

2.

Цели урока:
Геометрия приближает разум к истине.
Платон.
• Подготовить учащихся к контрольной работе.
• Совершенствовать навыки решения задач.

3.

Проверочный тест 1вариант
1. Четырехугольник является правильным, если:
а) все его углы равны между собой
б) все его стороны равны между собой
в) все его углы равны между собой и все его стороны равны между собой.
2. Длина окружности больше диаметра в ……
а) 2П раз,
б) П раз,
в) 2 раза
3. Длина дуги окружности вычисляется по формуле :
а) L=ПRß/180
б) L=ПRß/360
в) L=ПR2ß/180
4. Сторона правильного треугольника , вписанного в окружность с радиусом R, равна :
а) R√2
б) R√3
в) R
5. Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной около квадрата окружности равно:
а) √2/2
б) 2
в) √2
6. Отношение радиуса описанной к радиусу вписанной в правильный шестиугольник
окружности равно:
а) 2/√3
б) √3
в) √3/2
7. Каждый угол правильного десятиугольника равен :
а) 1400
б)1350
в)1440
8. Внешний угол правильного двенадцатиугольника равен :
а) 360
б) 300
в) 450
9. Из круга , радиус которого равен 20см. вырезан сектор. Дуга сектора равна 900. Чему
равна площадь оставшейся части круга.
а) 100П см2
б) 400П см2
в) 300П см2.
10. Длина дуги окружности с радиусом 12см и градусной мерой 1000 равна:
а) 20П/3 cм
б) 10П/3 см
в) П/15 см

4.

Проверочный тест 2 вариант
1. Если в четырехугольнике все стороны равны, то он:
а) всегда является правильным
б) может быть правильным
в) никогда не является правильным
2. Длина окружности больше радиуса в :
а) 2П раз,
б) П раз
в) 2 раза
3. Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:
а) L=ПR2ß/180
б) L=ПRß/180
в) L=ПR2ß/360
4. Сторона правильного четырехугольника, вписанного в окружность с радиусом R,
равна:
а) R
б) R√2
в) R√3
5. Отношение радиуса описанной к радиусу вписанной в квадрат окружности равно:
а) 2
б) √2/2
в) √2
6. Отношение радиуса вписанной к радиусу описанной около правильного
шестиугольника окружности равно:
а) √3
б) √3/2
в) 2/√3
7. Каждый угол правильного восьмиугольника равен:
а) 1350
б) 1440
в) 1400
8. Внешний угол правильного двадцатиугольника равен:
а) 200
б) 22,50
в) 180
9. Из круга, радиус которого равен 30см, вырезан сектор. Дуга сектора равна 600.
Чему равна площадь оставшейся части круга.
а) 150П см2
б) 750П см2
в) 900П см2
10. Длина дуги окружности с радиусом 6см и градусной мерой 1350 равна:
а) 9П/2 см
б) 9П см
в) 9П/4 см

5.

Тест с последующей самопроверкой.
1.Один из внутренних углов правильного n-угольника равен 1500 .
Найдите число сторон многоугольника.
а) 9
б) 14
в) 12
г) 15
2. Периметр правильного треугольника равен 12 3 см.
Найдите радиус вписанной окружности
а) 2см
б) 4см
в) 4/ √3
г) 2/√ 3
3. Около квадрата описана окружность и в квадрат вписана окружность .
Найдите отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной
окружности .
а) 1/ √2
б) √2
в) 2
г) 1/2
4. Сторона правильного шестиугольника равна 2м . На сколько площадь
описанного круга больше площади вписанного круга.
а) 3√3
б) 3√ 3/ 4
в) 6√3
г) 3√3 / 2
5. Рис. Площадь полуокружности с центром в точке О равна 8П .
Найдите площадь заштрихованной фигуры.
а) 16П
б) 8П
в) 4П
г) 32П
6. В окружности вписаны квадрат и правильный треугольник. Периметр
треугольника равен 30см, периметр квадрата равен .
а) 40√ 6/3
б) 10 √6 /3
в) 40 /3
г) 20 √6 /3
Ответы: 1-(в), 2-(а), 3- (б), 4- (г), 5- (б), 6- (а).

6.

Задача1: Площадь правильного треугольника больше
площади вписанного в него круга на 27√3 – 9П
Вопросы:
Чему равна сторона правильного ∆, описанного около круга радиуса r ?
Выразите площадь треугольника через r ?
Чему равна площадь круга радиуса r?
Чему равна разность площадей ∆ и вписанную в него круга?
Найдите радиус r.
Решение: Пусть радиус вписанного круга равен r. Тогда площадь S=Пr².
Сторона правильного ∆ , описанного около круга.
а3 2 r td
Тогда S∆=½∙а3∙а3∙sin60°= ½∙2√3r∙√3/2=3∙√3∙r²
Тогда S∆ - Sкр=3∙√3∙r²-Пr²=r²(3√3 - П)
По условию задачи S∆ - Sкр=27∙√3 – 9П=9(3√3 - П), тогда
r²(3√3 - П)=9(3√3 – П), r=3
Ответ: r=3
180
2 3 r
3

7.

Задача2: В сектор с центральным углом в 60° и радиусом, равным
6см, вписана в окружность. Найдите площадь заштрихованной
фигуры.
R
R
Вопросы:
Решение:
окружность
вписана
в сектор,
то ОА
и ОВ-касательные
к
Чем
являютсяТ.к.
радиусы
ОА и ОВ,
кругового
сектора
с дугой
АЕВ?
Постройте
∆ОСО
Какие элементы в<СОD,
данномОС┴ОА.
∆ известны?
окружности,
тогда1 .ОО1-биссектриса
В ОСО1, <СОО1=30°,
Как
найтиОО1=2R
S незаштрихованной фигуры?
СО1=R,
ОЕ=ОО1+О1Е=2R+R=3R=6,
3R=2см,
Как
найти S кругового секторатогда
с дугой
АЕВ?ОО1=4см, SОСО1=½∙ОС∙О1С
По т. Пифагора ОС²=ОО1²-СО1²=16-4=12, ОС=2√3см, SОСО1=½∙2∙2√3=2√3(см²)
SОСО1D=2∙SОСО1=2∙2√3=4√3(cм²). Найдем S кругового сектора, ограниченного
дугой АЕВ
ПR2
36 П
0
Sсект . АЕВ
3600
60
6
6П
S фигуры S сектАЕВ SОСО1D S сектСDЕ 6 П 4 3
8 П 10 П
4 3
3
3
Ответ : S фигуры
10 П
4 3
3

8.

Самостоятельная работа
1вариант
1.Найдите площадь круга и длину
ограничивающей его окружности , если
сторона квадрата , правильного ∆,
вписанного в него, равна 5√3 см.
2. Вычислите длину дуги окружности с
радиусом 4см, если ее градусная мера равна
1200. Чему равна площадь соответствующего
данной дуге кругового сектора.
3. Периметр правильного треугольника ,
вписанного в окружность , равен 6√3 дм.
Найдите периметр правильного
шестиугольника , описанного около той же
окружности .
4*Рис. Найдите площадь
заштрихованной на рис. фигуры, если ВС=4,
< ВАС=300, О – центр окружности.
2вариант
1.Найдите площадь круга и длину
ограничивающей его окружности , если
сторона квадрата , описанного около
него ,равна 6см.
2. Вычислите длину дуги окружности с
радиусом 10см, если ее градусная мера
равна 1500. Чему равна площадь
соответствующего данной дуге
кругового сектора.
3. Периметр квадрата , описанного около
окружности , равен 16дм. Найдите
периметр правильного пятиугольника ,
вписанного в эту окружность .
4*Рис. Найдите площадь
заштрихованной на рис. фигуры, если О
- центр окружности с диаметром 10√2.
Ответы: 1. S=25Псм², С=10Псм
2. С=4Псм S=16П/3 cм²
3. 8√3
4. 16П-8√3
Ответы: 1. S=9Псм², С=6Псм
2. С=25П/3см S=125П/3 cм²
3. 20sin36°
4. 50П-50

9.

Самостоятельная работа
1 вариант
1. Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности , если сторона
квадрата , правильного ∆, вписанного в него, равна 5√3 см.
Решение:
Радиус описанной окружности= а∙√3/3= 5 √3 ∙√3/3=5
Площадь круга находится по формуле:
Длина ограничивающей круг окружности
S Пr 2 52 П 25 Псм2
С 2Пr 2 5П 10П
2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 4см, если ее градусная мера равна
1200. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора.
Решение: R=4cм.
C
ПR
180 0
S
ПR
360 0
2
C
4П
П 4 2 8П
0
120
0
180
3
3
42 П
4 2 П 16 П
0
S
120
3600
3
3

10.

1вариант
3. Периметр правильного треугольника , вписанного в окружность , равен 6√3 дм.
Найдите периметр правильного шестиугольника, описанного около той же окружности .
Решение: сторона ∆ 6√3/3=2√3
R=2√3/√3=2
P6 6 a
а6
4
3
24 3
8 3
3
4*Рис. Найдите площадь заштрихованной на рис. фигуры, если ВС=4, < ВАС=300, О
– центр окружности
Решение:
угол В=90, т.к. опирается на диаметр АС, треугольник АВС прямоугольный ,
ВС лежит напротив <30° ВС= 1/2 АВ. АВ = 2 ∙ ВС = 2∙ 4 =8, R= АВ/2=4
АВ²=АС²-ВС²=64-16, АВ=4√3
S∆=½∙АВ∙ВС=½∙4√3∙4=8√3
Sкруга=ПR², S=4²П=16П
искомая S= Sкруга- S треугольника=16П-8√3
Искомая площадь тогда S=16П-8√3

11.

Самостоятельная работа
2вариант
1.Найдите площадь круга и длину ограничивающей его окружности , если сторона
квадрата , описанного около него ,равна 6см.
Решение: Если квадрат описан около круга, значит круг вписан. Найдем радиус
вписанной в квадрат окружности r a 6 3
2
2
Площадь круга находится по формуле:
S Пr 2 32 П 9 Псм2
Длина ограничивающей круг окружности
С 2Пr 2 3П 6П
2. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 10см, если ее градусная мера равна
1500. Чему равна площадь соответствующего данной дуге кругового сектора.
Решение: R=10cм.
C
ПR
180 0
C
10 П
150 П
25 П
0
150
8,3 П
0
180
18
3
100 П
1500 П 125 П
ПR 2
0
2
S
150
41
,
6
Псм
S
360 0
36
6
360 0

12.

2 вариант
3. Периметр квадрата , описанного около окружности , равен 16дм. Найдите периметр
правильного пятиугольника , вписанного в эту окружность .
Решение: сторона квадрата = 4дм т.к 16/4=4
радиус вписанной окружности в кв-т равен 2 так как диаметр равен стороне квадрата..
формула для стороны правильного n-угольника, вписанного в окружность:
a = 2R*sin (180/n)
а5 2 R
sin 180
sin 180
2 2
4 sin 36
5
5
P5 5 a 5 4 sin 36 20 sin 360 20 0,588 11,6
4*Рис. Найдите площадь заштрихованной на рис. фигуры, если О - центр
окружности с диаметром 10√2.
Решение:
треугольник прямоугольный угол В=90 - опирается на диаметр, АВ=ВС
АС² = АВ²+ ВС² 200 = 2 ∙АВ² АВ =ВС=10
S∆=½∙АВ∙ВС=50
Sокружности=ПR², R=D/2=АС/2=5√2,
S=П(5√2)²=50П
Искомая площадь тогда S=50П-50

13.

Рефлексия
Выбери вариант соответствующий твоим
ощущениям после сегодняшнего занятия.
1. Я все знаю, понял и могу объяснить другим!
2. Я все знаю, понял, но не уверен, что смогу
объяснить другим!
3. У меня остались некоторые вопросы.

14.

Домашнее задание
П. 111, 112 в 11-12
№ 1137, №1139, №1142.

15.

Литература и интернет
ресурсы
1).Учебник по геометрии 7-9 класс.
Атанасян Л.С., 2012 год
2) Гаврилова Н.Ф. Поурочные разработки по геометрии 9 класс 2012г