Контрольная работа № 1. Вариант 0

1. Консультации по 1 семестру дисциплины «Математика» КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1 Вариант 0.

дисциплины
«Математика»
КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА № 1
Вариант 0.

2. Пример 9. Решить систему уравнений, используя формулы Крамера:

2s t v 1
3t 2v 2
sРешение:
t v 0
Найдем определитель основной матрицы системы:
2 1
1
0
3
2 6 2 0 3 4 3,
1
1
1

3. , , следовательно, система имеет единственное решение.Найдем его по формулам Крамера:

0
,
, следовательно, система имеет единственное
решение.Найдем его по формулам Крамера:
1
3
2
s ;
t
;
v .
где
1 1
1
1 2
3
2 3 2 2 2 1
0
1
1
2 1
1
2 0 2 2 4 2 2 8
1 0
1
2 1 1
3 0
3
2 2 3 4 9;
1
1
0

4. Итак,

;
Итак,
8
2
T 2 ;
3
3
1
S
3
Пример
9
V 3.
3
10. Исследовать на совместность и решить
систему методом Гаусса:
2 x1
x2
x3
x4
3 x2
2 x4
x1
2 x2
x4
3 x1
x2
x3
2 x4
1
0
1
2

5. Решение.Найдем ранг расширенной матрицы системы, выполнив элементарные преобразования строк:

2 ~ 1 1 1 1
0
2
0
~ 0 3
A
1 2 0 1 1
3 1 1 2
2
1 2 0
1
0 2/3
0 1
~ 0 3
1 3
0 7 1 1
~
1 2 0
1
0
2
0 3
2 1 1 1
3 1 1 2
1
0
1
2
1 2 0
1
0
2
0 3
~
0 3
1 3
0 7 1 1
1
1 2 0
1
0
0
2/3
0 1
~
0 0
3
1
5
0 0 1 17 / 3
5
1
0 ~
3
5
1 2
0 1
0 0
0 0
1
0
3
5
~
1
0
2/3
0
1
5
3
0 32 / 3 8
0
1

6.

Очевидно, что r(А) = r( )=4, следовательно, система совместна
Очевидно, что r(А) = r( )=4, следовательно, система совместна, причем
имеет единственное решение. Запишем систему, соответствующую
последней матрице:
Находим значения неизвестных:
x1 2 x2
4 x4 1
2
x2
x4
0
3
x3 5 x4
3
32
x4 8
3

7.

3
15
3
x 4 ; x3 3 4 4 ;
Находим4
значения неизвестных:
15
3
3
x3 3
;
x 4 Итак,
;решение системы:
4
4
4
3
x1 ;
4
1
x2 ;
2
x2
1
;
2
1
x2 ;
2
3
x3 x 4 ;
4
3
x1 ;
4
x1
3
;
4

8.

Пример
11. Исследовать систему линейных
уравнений
х1 2 х 2 7 х3 3 х 4 2,
2 х1 х 2 16 х3 4 х 4 26,
3 х 2 х 27 х 7 х 42
1
2
3
4
и в случае совместности решить ее методом Гаусса.
Решение
При исследовании системы линейных уравнений используем теорему
Кронекера–Капелли: система линейных уравнений совместна, тогда и
только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной
матрицы.

9.

Составим расширенную матрицу системы
7 3 2
1 2
А 2 1 16 4 26
3 2 27 7 42
Чтобы определить ранг матрицы,
приведем ее к ступенчатому виду с
помощью элементарных преобразований строк. Матрицы, получаемые
после преобразований, являются эквивалентными. Будем обозначать
это знаком .
Прибавим сначала ко второй строке первую, умноженную на , а затем к
третьей – первую, умноженную на 3:

10.

1 2
7 3 2 1 2
7 3 2 1 2
7 3 2
2
1
16
4
26
0
5
30
10
30
0
5
30
10
30
.
3 2 27 7 42 3 2 27 7 42 0 8 48 16 48
матрицы на , третью
строку умножим на ,
Умножим вторую строку
получим матрицу
Прибавим к третьей строке вторую,
1
8
умноженную
1 2 7 3 2
0
1
6
2
6
.
0 1 6 2 6
1 2 7 3 2
0 1 6 2 6 .
0 0 0 0 0
1
5
на -1 , и получим

11.

Ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы системы и равен 2,
следовательно, система имеет решение. Так как ранг матрицы
меньше, чем количество переменных в системе, то система имеет
бесконечно много решений. Чтобы найти решения, прибавим к первой
строке вторую строку, умноженную на -2 :
1 2 7 3 2
1 0 5
1 10
0
1
6
2
6
.
0
1
6
2
6
0 0
0
0 0
0 0 0 0 0

12.

После проведенных преобразований расширенной матрицы система
уравнений примет вид:
Выбираем в качестве свободных переменные
x,1 5 x3 x 4 10,
Тогда
,
x
6
x
2
x
6.
2
3
4
и
. Полагаем
.
Итак, система уравнений имеет решения
(
;
;
;
– действительные числа.
), где
х4
х3
х1 10 5с1 с2
10 5с1 с2
х3 с1
х2 6 6с1 2с2
6 6с1 2с 2
с1 с 2
с1 , с2
х4 с2
,