Динамика. Законы Ньютона: область применимости

1. Динамика

ВоГТУ
Лекция 2
Динамика
Кузина Л.А.,
к.ф.-м.н., доцент
2015 г.
1

2. Содержание

1. Законы Ньютона: область применимости
2. Первый закон Ньютона. Инерциальные и
неинерциальные системы отсчёта
3. Второй закон Ньютона. Импульс тела
4. Третий закон Ньютона. Закон сохранения импульса
5. Центр масс
6. Принцип относительности Галилея.
Преобразования Галилея. Закон сложения скоростей в
классической механике. Второй закон Ньютона для
неинерциальных систем отсчёта
7. Виды сил
8. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Вес тела
9. Сила трения
10. Силы упругости
2

3.

11. Работа
12. Мощность
13. Энергия. Закон сохранения энергии
14. Кинетическая энергия
15. Потенциальная энергия в поле тяготения
16. Потенциальная энергия упругой
деформации
17. Графическое представление энергии
18. Признак потенциальности поля.
Консервативные силы. Диссипативные силы
19. Связь между консервативной силой и
потенциальной энергией
3

4.

Законы Ньютона – постулаты
являются обобщением большого количества
опытных данных
Для случая для малых скоростей (v << c) и макротел
Первый закон Ньютона
Всякому телу свойственно сохранять состояние
равномерного прямолинейного движения или
покоя, пока и поскольку другие тела не вынудят его
изменить это состояние
4

5.

Второй закон Ньютона
m
Масса - количественная мера инертности тела
F
Сила – количественная мера воздействия
одного тела на другое
Fk
k
a
m
Ускорение тела прямо
пропорционально
равнодействующей всех сил,
приложенных к телу, и обратно
пропорционально массе тела
5

6.

Второй закон Ньютона (в импульсной форме)
dv F
a
dt m
m dv F dt
d m v F dt
dp F dt
p F t
F t - импульс силы
p m v
- импульс тела
dp
F
dt
Изменение импульса
тела равно импульсу
действовавшей на тело
силы

7.

Третий закон Ньютона
Всякое действие тел друг на друга носит характер
ВЗАИМОдействия
F12 F21
Силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по
величине и противоположны по направлению
7

8.

F12 F21
Если система двух тел замкнута, по второму
закону Ньютона:
dp1 F12 dt
dp2 F21 dt
d p1 p2 F12 F21 dt 0
p1 p2 const
8

9.

Закон сохранения импульса
В замкнутой системе полный импульс сохраняется
Полный импульс системы сохраняется, даже если
есть внешние силы, но они скомпенсированы
внеш.
Fk 0
pi const
k
i
В проекциях:
k
внеш.
Fkx
0
pix const
i
9

10.

Центр масс
Центр масс системы – это точка, которая движется
так, будто к ней приложены все внешние силы, и в
ней сосредоточена вся масса системы
mi ri
rc i
m
mi m
i
drc 1
dri 1
vc
mi
mi vi
dt m i
dt m i
p m vc mi vi
i

11.

mi ri
rc i
m
p m vc mi vi
i
dvc
d mi vi
m
dt
dt
i
dvc
ac
dt
внеш
d mi vi
dpi
dt dt Fi
i
i
i
внеш.
m ac Fi
i

12.

Принцип относительности Галилея
r r ' v 0 t
dr dr ' dt
v0
dt dt
dt
v v' v0
v абс. vотн. v пер.
d v d v'
0
dt
dt
a a'
Все инерциальные
инерциальные системы
системы отсчёта
отсчёта эквивалентны.
эквивалентны. Или: законы
все
Законы динамики инвариантны относительно преобразований
динамики
Галилея инвариантны относительно преобразований Галилея
12

13.

Принцип относительности Галилея
r r ' v 0 t
x x ' v 0 t
y y'
z z'
t t '
Преобразования
Галилея
Второй закон Ньютона для неинерциальных систем отсчёта:
В системе К:
внеш.
ma Fi
i
В системе К’, движущейся с ускорением
сила инерции
a0 const , вводится
Fи ma0
Уравнение движения:
внеш.
внеш.
ma ' Fi
Fи Fi
ma0
i
i
13

14.

Виды сил
В природе существует 4 вида фундаментальных взаимодействий:
Гравитационное
Электромагнитное
Сильное (ядерные силы)
Слабое (превращения элементарных частиц)
Все виды сил (трения, упругости, вязкости,
поверхностного натяжения и т.д.) – это проявления
фундаментальных взаимодействий
14

15.

m1m2
Fтяг . 2
r
Закон всемирного тяготения
Сила тяжести
Вес тела
Fтяж . mg
M m
R h 2
P N (ma mg ) m( g a )
mg N ma
P m( g a)
a
P m( g a)
a
15

16.

Сила трения
Трение
Сухое
Покоя
0 Fтр .покоя N
Скольжения
Вязкое
Качения
Fтр . N
16

17.

Сила упругости
Деформация
Сжатиярастяжения
Деформация тела называется упругой,
если после снятия нагрузки тело
возвращается к первоначальным размерам
и форме
При неупругой деформации происходит
разрыв некоторых межмолекулярных
связей и образование связей между
другими молекулами, в результате чего
изменённая форма тела сохраняется и
после снятия нагрузки
Сдвига
17

18.

Деформация сжатия-растяжения
F
S
||
dF
dS
Нормальное механическое
напряжение
Н2 Па
м
l Относительная продольная
l деформация
1
18

19.

Закон Гука в локальной форме
E ||
E - модуль Юнга
E
Н
Па
2
м
l
||
l
F
S
F S E || S
l
F E S
l
ES
F
l k l
l
ES
k
l
19

20.

Экспериментальная зависимость механического
напряжения от относительной продольной деформации
Пределы:
Прочности
Текучести
Упругости
Пропорциональности
E ||
20

21.

Деформация сдвига
Тангенциальное
(касательное)
механическое
напряжение
dF
dS
Закон Гука G
для деформации сдвига
Относительный
сдвиг
x
h
G – модуль сдвига
21

22.

Закон Гука для деформации сдвига
G
Закон Гука в локальной форме
E ||
E
Связь между модулем Юнга и модулем сдвига G
2 1 K П
Коэффициент Пуассона K п
||
d
Относительное поперечное сжатие
d
22

23.

Работа
F const
A F S F S cos
A Н м Дж
F const
dA F dS F dS cos FS dS
dA F dS
23

24.

Работа
dA F dS
2
2
1
1
2
2
A12 dA F dS F cos dS FS dS
1
1
2
A12 FS dS
1
24

25.

Мощность – быстрота совершения работы
A
Средняя мощность Pср.
t
P
Дж
Вт
с
Мгновенная мощность
dA P dt
2
t2
1
t1
dA
P
dt
A12 dA P dt
dA F dS dS
P
F
F v
dt
dt
dt
25

26.

Энергия
Энергия – мера взаимодействия и движения всех видов
материи
Энергия – функция состояния,
однозначно определяется состоянием системы
Изменить энергию системы можно, совершив над системой работу
Изменение энергии системы
равно работе внешних сил
W W2 W1 Aвнешн.сил
W A Дж
26

27.

Изменение энергии системы равно работе внешних сил
W W2 W1 Aвнешн.сил
A Aвнешн.сил
W1 W2 A
внеш.
0
Если Fi
Wполная const
i
Полная энергия замкнутой системы
сохраняется
27

28.

Механическая энергия
Кинетическая
(энергия
движения)
Потенциальная
(энергия взаимодействия;
положения, поскольку
величина взаимодействия
зависит от положения тел)
28

29.

Кинетическая энергия
Пусть под действием внешней силы скорость тела изменяется:
изменение энергии равно работе внешних сил
W W2 W1 Aвнешн.сил F dS
2
1
2
dv
W2 W1 ma dS m dS
dt
1
1
2
dS
W2 W1 m dv
dt
1
2
v2
W2 W1 mv dv
v1
m v 22
2
m v 21
2
mv
Wкин.
2
2
29

30.

Потенциальная энергия в однородном поле тяготения
Внешняя сила сила совершает работу, равную
приращению потенциальной энергии:
2
W W2 W1 Aвнешн.сил F dS F dS
2
1
2
h2
1
h1
1
F dS mg dh mg h2 h1
Wпот. mgh
Начало отсчёта энергии можно задавать произвольно
30

31.

Потенциальная энергия упругой деформации
Внешняя сила сила
совершает работу, равную
приращению потенциальной
энергии:
kx 2
Aвнешн.сил Fвнеш.dx kx dx
0 Wпот. Wпот. 0
2
0
0
x
x
kx 2
Wпот.
2
31

32.

Графическое представление энергии
Wполная Wпот. Wкин.
mghmax mgh Wкин.
32

33.

Графическое представление энергии
Wполная Wпот. Wкин.
2
kxmax
2
2
kx
Wкин.
2
33

34.

Работа в центральном поле тяготения
W W2 W1 Aвнешн.сил
2 r
F dS F dr F dr
2
1
2
1
r1
r2
r2
1
1
M m
M m
dr
2
r r
r
r
M m
Wпот.
r
M m
M m
r2
r1
34

35.

Работа в центральном поле тяготения
M m
M m
W W2 W1 Aвнешн.сил Aграв.сил
r2
r1
Выводы:
1. Потенциальная энергия взаимодействия точечных масс
M m (при r W 0 )
Wпот.
r
2. Работа сил гравитационного поля не зависит от
траектории, а только от начального и конечного положения
точки. Такие поля называются потенциальными
3. Потенциал гравитационного поля:
Wпот.
m
Дж
кг
35

36.

Признак потенциальности поля
Консервативные силы
Диссипативные силы
Сила называется консервативной, если её работа не зависит от
траектории, а только от начального и конечного положения
тела
Поле таких сил называется потенциальным
Примеры: гравитационное поле; поле упругих сил
Если работа силы зависит от траектории, то силы называются
диссипативными
Поле таких сил – непотенциальное
Примеры: силы трения; силы вязкости; силы неупругой
деформации
При наличии диссипативных сил механическая энергия необратимо
превращается в другие виды, например, в тепловую
36

37.

Закон сохранения механической энергии
При наличии диссипативных сил закон сохранения
(изменения) механической энергии системы при её переходе
из состояния 1 в состояние 2:
W1мех. W2 мех. A
против
диссипатив ных
сил
A против
внешних
сил
В замкнутой системе механическая энергия
сохраняется, если нет диссипативных сил, а есть
только консервативные
37

38.

Связь между консервативной силой и потенциальной энергией
Система совершает работу за счёт уменьшения своей потенциальной
энергии:
dA dWпот.
Работа силы по определению:
F dr dWпот.
dA F dr
F gradWпот.
38

39.

F gradWпот.
Wпот. Wпот. Wпот.
gradWпот.
i
j
k
x
y
z
Градиент – это вектор, компоненты
которого равны производным по
соответствующим координатам
i j k 1
Wпот.
Fx
x
Градиент показывает быстроту изменения величины в
пространстве, направлен в сторону наибольшего возрастания
величины
39

40.

F gradWпот.
Wпот. Wпот. Wпот.
gradWпот.
i
j
k
x
y
z
Сила направлена в сторону максимального убывания
потенциальной энергии
Пример:
одномерный
случай
dWпот.
Fx
dx
kx 2
Wпот.
2
dWпот.
Fупр.
kx
dx
40

41.

dWпот.
Условие равновесия
Fx
dx
dWпот.
В равновесном положении сила равна нулю F 0
0
dx
Энергия экстремальна
W - max
W - min
W убывает
Fx 0
W возрастает
Fx 0