Методы непараметрического спектрального анализа. Метод периодограмм

1. «Методы и алгоритмы цифровой обработки сигналов на базе MATLAB»

Методы
непараметрического
спектрального анализа.
Метод периодограмм
Клионский Д.М. – к.т.н., доцент кафедры
математического обеспечения и применения ЭВМ (МОЭВМ)

2. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА (СА) СИГНАЛОВ (1)

Спектральный анализ предназначен для оценки частотного состава
случайного дискретного сигнала. Методы СА ориентированы на
работу в частотной области и обработку и анализ случайных
последовательностей.
Непараметрические методы СА основаны на вычислении оценок
спектральной плотности мощности (СПМ) непосредственно по
отсчетам исходной последовательности.
Достоинства
1) Применимость к широкому классу стационарных сигналов и
шумов.
2) Высокая вычислительная эффективность за счет алгоритмов
быстрого преобразования Фурье (БПФ).
2

3. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА (СА) СИГНАЛОВ (2)

3
Непараметрические методы СА основаны на вычислении оценок
СПМ на основе дискретного преобразования Фурье (ДПФ).
Применение прямой формулы ДПФ приводит к техническим
сложностям при вычислениях, поэтому были разработаны
формулы БПФ для существенного ускорения вычислений.
СА может применяться к сигналам и шумам различной природы.
Рассматриваются эргодические случайные процессы, для которых
усреднение по ансамблю реализаций эквивалентно усреднению по
времени одной реализации теоретически бесконечной длины.

4. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА

Классификация методов оценивания СПМ
1) метод периодограмм (метод Фурье-периодограмм);
2) методы модифицированых периодограмм;
Метод периодограмм Даньелла;
Метод периодограмм Бартлетта;
Метод периодограмм Уэлча;
3) метод Блэкмана-Тьюки.
Непараметрические методы не используют дополнительные
математические модели сигналов, в отличие от
параметрических методов, где применяются различного рода
математические модели сигналов (авторегрессии и пр.).
4

5. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (1)

5
Определение спектральной плотности мощности
(СПМ)
1
N 2 N 1
S (ω) lim
X ( e j ωT )
2
fд
Определение спектральной плотности
(СП)
X (e
j T
)
N
x(n)e j Tn
n N
Понятие спектральной плотности мощности базируется на
понятии спектральной плотности, при этом сама спектральная
плотность не используется для случайных сигналов.

6. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (2)

6
Альтернативное теоретическое определение
спектральной плотности мощности (СПМ) для
бесконечной выборки
1
S (ω)
fд
m
Rx (m)e jωmT
Альтернативное определение спектральной
плотности мощности (СПМ) для конечной выборки
1
ˆ
S (ω)
fд
N 1
m ( N 1)
Rˆ x (m)e jωmT

7. МЕТОД ПЕРИОДОГРАММ (1)

Метод назван в соответствии с Фурье-периодограммой,
применяемой для получения оценки СПМ.
Аналитическое соотношение для периодограммы
Sˆ (ω)
X (e
jωT
)
2
Nf д
Аналитическое соотношение для спектральной
плотности
X (e
j T
)
N
n N
x(n)e j Tn
7

8. МЕТОД ПЕРИОДОГРАММ (2)

Периодограмма является неотрицательной,
вещественной, четной функцией частоты с периодом
ωд 2πfд 2π T
Для вещественных последовательностей имеем
симметрию относительно половины частоты
дискретизации (частоты Найквиста)
ωд 2
Периодограмма вычисляется в основной полосе частот
[0; ωд ]
8

9. МЕТОД ПЕРИОДОГРАММ (3)

9
При вычислении периодограммы может возникать эффект
растекания спектра ˗ появление в спектре сигнала (в его
ДПФ) дополнительных (побочных, ложных) спектральных
составляющих.
Принципиально данный эффект неустраним, но он может
быть ослаблен за счет применения оконных функций (окон).
Окна широко используются в спектральном анализе и теории
цифровой фильтрации.
Эффект растекания спектра возникает, когда на длительности
сигнала укладывается нецелое число периодов.

10. МЕТОД ПЕРИОДОГРАММ (3)

10
МЕТОД ПЕРИОДОГРАММ (3)
0
50
100
0
50
xe3(n)
50
0
100
50
150
0.4
0.2
0
STD = 4
100
n
0.4
0.2
0
STD = 2
S4(f)
xe4(n)
150
S3(f)
0
n
Realization 4
20
0
-20
150
0.4
0.2
0
STD = 1
100
n
Realization 3
10
0
-10
Periodogram 1 (1/Hz)
S2(f)
xe2(n)
n
Realization 2
5
0
-5
STD = 0
S1(f)
xe1(n)
Realization 1
5
0
-5
150
0.4
0.2
0
0
50
0
50
0
50
0
50
STD = 0
100
150
200
f (Hz)
Periodogram 2 (1/Hz) STD = 1
100
150
200
f (Hz)
Periodogram 3 (1/Hz) STD = 2
100
150
200
f (Hz)
Periodogram 4 (1/Hz) STD = 4
100
f (Hz)
150
200

11. «Методы и алгоритмы цифровой обработки сигналов на базе MATLAB»

Методы
непараметрического
спектрального анализа.
Метод периодограмм
Клионский Д.М. – к.т.н., доцент кафедры
математического обеспечения и применения ЭВМ (МОЭВМ)