Методы непараметрического спектрального анализа. Метод периодограмм Уэлча

1. «Методы и алгоритмы цифровой обработки сигналов на базе MATLAB»

Методы непараметрического
спектрального анализа.
Метод периодограмм Уэлча
Клионский Д.М. – к.т.н., доцент кафедры
математического обеспечения и применения ЭВМ (МОЭВМ)

2. ПЕРИОДОГРАММА УЭЛЧА (1)

1) Сглаживание достигается за счет разбиения исходной
последовательности длины N на перекрывающиеся
фрагменты длины L со сглаживающим окном w(n) и
величиной перекрытия Q, при этом Q < L.
x( p ) (n) w(n) x(n pQ) w(n), n 0,... , L 1;
2) Определение количества фрагментов:
P
N длина сигнала
L длина сглаживающего окна
Q величина перекрытия
N L
1
Q
p 0,..., P 1
2

3. ПЕРИОДОГРАММА УЭЛЧА (2)

1) Метод Уэлча – обобщение метода Бартлетта (метод
Бартлетта – частный случай метода Уэлча).
фрагменты являются перекрывающимися;
используется сглаживающее окно.
2) В методе Уэлча появляются дополнительные
параметры:
длина фрагмента L;
величина перекрытия Q;
оконная функция w(n).
3

4. ПЕРИОДОГРАММА УЭЛЧА (3)

3) Вычисление периодограмм перекрывающихся
фрагментов
( p)
SˆWELCH
(ω) Sˆw( p) (ω), p 0,..., P 1.
P 1
1
( p)
SˆWELCH (ω) SˆWELCH
(ω).
P p 0
4) Оценка СПМ по методу Уэлча – асимптотически
несмещенная.
5) Оценка СПМ по методу Уэлча – состоятельная.
6) Асимптотическая несмещенность и состоятельность
обеспечиваются за счет деления на фрагменты и
усреднения периодограмм фрагментов.
4

5. ПЕРИОДОГРАММА УЭЛЧА (4)

5
7) Качество оценки СПМ по методу Уэлча повышается за
счет увеличения числа фрагментов при перекрытии.
8) Периодограмма Уэлча будет менее осциллирующей
(изрезанной), чем периодограмма Бартлетта.
9) Сравнение периодограмм Бартлетта и Уэлча
осуществляется на основе задания одинаковой длины
ДПФ при вычислении периодограммы.
10) В MATLAB используется встроенная функция pwelch
(пакет Signal Processing Toolbox).

6. ПЕРИОДОГРАММА УЭЛЧА (5)

6
11) Введение параметра Q необходимо для увеличения
общего числа фрагментов P.
12) Применение окна позволяет:
уменьшить растекание спектра;
уменьшить статистическую связь между соседними
фрагментами.
13) Уменьшение статистической связи между соседними
фрагментами является важным для дальнейшего
теоретического анализа свойств оценки СПМ по методу
Уэлча.

7. ГРАФИЧЕСКИЙ ПРИМЕР (1)

7
ГРАФИЧЕСКИЙ ПРИМЕР (1)
S(f)
-4
5
0
0
-4
S(f)
x 10
1
0.5
0
0
-4
S(f)
x 10
1
0.5
0
0
-4
x 10
S(f)
Original non-modified periodogram (1/Hz)
x 10
1
0.5
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
f (Hz)
Welch Periodogram Fragment length L=10 Overlapping Q=5
200
20
40
60
80
200
20
40
60
80
200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
f (Hz)
Welch Periodogram Fragment length L=10 Overlapping Q=3
100
120
140
160
180
f (Hz)
Welch Periodogram Fragment length L=10 Overlapping Q=2
100
f (Hz)
120
140
160
180
200

8. ГРАФИЧЕСКИЙ ПРИМЕР (2)

8
ГРАФИЧЕСКИЙ ПРИМЕР (2)
S(f)
-4
5
0
-4
S(f)
1
0.5
0
0
-4
S(f)
200
180
160
140
120
100
f (Hz)
Welch Periodogram Fragment length L=20 Overlapping Q=5
200
180
160
140
120
100
f (Hz)
Welch Periodogram Fragment length L=20 Overlapping Q=3
200
180
200
20
x 10
1
0.5
0
0
-4
x 10
1
0.5
0
0
180
160
140
120
100
f (Hz)
Welch Periodogram Fragment length L=20 Overlapping Q=10
20
0
x 10
S(f)
Original non-modified periodogram (1/Hz)
x 10
40
40
60
60
80
80
20
40
60
80
20
40
60
80
100
f (Hz)
120
140
160

9. ГРАФИЧЕСКИЙ ПРИМЕР (3)

9
ГРАФИЧЕСКИЙ ПРИМЕР (3)
S(f)
-4
5
0
0
-4
S(f)
x 10
2
1
0
0
-4
x 10
S(f)
1
0.5
0
0
-4
x 10
S(f)
Original non-modified periodogram (1/Hz)
x 10
2
1
0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
f (Hz)
Welch Periodogram Fragment length L=40 Overlapping Q=20
200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
f (Hz)
Welch Periodogram Fragment length L=40 Overlapping Q=10
200
20
40
60
80
200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
f (Hz)
Welch Periodogram Fragment length L=40 Overlapping Q=5
100
f (Hz)
120
140
160
180
200

10. ВЫВОДЫ

10
1) Метод периодограмм Уэлча – наиболее гибкий
метод непараметрического спектрального анализа
(среди методов модифицированных периодограмм).
2) Гибкость достигается за счет введения
дополнительных параметров:
длина фрагмента;
перекрытие;
оконная функция.

11. «Методы и алгоритмы цифровой обработки сигналов на базе MATLAB»

Методы непараметрического
спектрального анализа.
Метод периодограмм Уэлча
Клионский Д.М. – к.т.н., доцент кафедры
математического обеспечения и применения ЭВМ (МОЭВМ)