Линейные дискретные системы. Описание ЛДС в z-области

1. «Методы и алгоритмы цифровой обработки сигналов на базе MATLAB»

Линейные дискретные
системы. Описание ЛДС в
z-области
Клионский Д.М. – к.т.н., доцент кафедры
математического обеспечения и применения ЭВМ (МОЭВМ)

2. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ (1)

1) Основная характеристика – передаточная функция H(z) – zизображение импульсной характеристики
H ( z)
N 1
h( n) z n
n 0
2) Передаточная функция – отношение z-изображения реакции к
z-изображению воздействия
Y ( z)
H ( z)
передаточная функция
X ( z)
Y ( z ) z -изображение реакции
X ( z ) z -изображение воздействия
2

3. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ (2)

1) Передаточная функция H(z) с использованием разностного
уравнения (РУ)
N 1
bi z i
x ( n) X ( z )
H ( z)
x(n k ) X ( z ) z k
i 0
M 1
1
ak z k
k 1
z i соответствует задержкам воздействия
z k соответствует задержкам реакции
2) Передаточная функция нерекурсивной ЛДС
H ( z)
N 1
bi z
i 0
i
N 1
h( n) z n
n 0
3

4. ПОРЯДОК ЛДС. КАРТА НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ

1) Порядок рекурсивной ЛДС равен порядку знаменателя
передаточной функции (M-1) при условии (N-1) ≤ (M-1).
2) Порядок нерекурсивной ЛДС равен N-1.
3) Нули ПФ – значения z, при которых она равна нулю (корни
числителя).
4) Полюса (особые точки) ПФ – значения z, при которых ее
знаменатель равен нулю.
5) Карта нулей и полюсов – z-плоскость с нанесенной единичной
окружностью и символически изображенными нулями и полюсами.
6) Карта нулей и полюсов используется для проверки ЛДС на
устойчивость: полюса устойчивой ЛДС расположены внутри
единичного круга.
4

5. ПОРЯДОК ЛДС. КАРТА НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ

5
ЛДС называется устойчивой, если ее реакция на любое ограниченное
воздействие является ограниченной.
Критерии устойчивости
1) Критерий во временной области.
2) Критерий в z-области.
Критерий во временной области
• ЛДС устойчива, если ряд из отсчетов импульсной характеристики
является абсолютно сходящимся.
• КИХ-фильтры устойчивы по определению.
• БИХ-фильтры требуют проверки на устойчивость.

6. ПОРЯДОК ЛДС. КАРТА НУЛЕЙ И ПОЛЮСОВ

6
Критерий в z-области
ЛДС устойчива, если все ее полюса располагаются внутри круга
единичного радиуса.
Если хотя бы один полюс выходит за единичный круг, то система
неустойчива.
Если полюс попадает на границу единичного круга (единичную
окружность), то это соответствует границе устойчивости.
Чем дальше полюс от границы единичного круга (единичной
окружности), тем больше запас устойчивости.
В неустойчивой системе возможны самовозбуждения. Переходный
процесс – незатухающий.

7. ПОЛЮСА ЛДС. РАЗНОВИДНОСТИ ПФ (1)

Представление полюсов в показательной форме
z*k 1,2 r*k e j k
r*k модули (радиус-векторы)
k углы (фазы)
Разновидности ПФ
1) Произведение простейших множителей
H ( z ) b0
M 1 (1
k 1
z k z 1 )
(1 z k z 1 )
z k k -й нуль ПФ; z k k -й полюс ПФ
b0 постоянный коэффициент
7

8. РАЗНОВИДНОСТИ ПФ (2)

2) Произведение множителей второго порядка с вещественными
коэффициентами
L
H ( z)
k 1
b0 k b1k z 1 b 2 k z 2
1 a1k z 1 a2 k z 2
b0 k , b1k , b 2 k , a1k , a2 k вещественныекоэффициенты
рекурсивных звеньев 2-го порядка (биквадратных звеньев)
L количество звеньев
L ( M 1) / 2 при нечетном M
L int( M 1) / 2 при четном M
8

9. РАЗНОВИДНОСТИ ПФ (3)

3) Сумма простых дробей
H ( z)
M 1
k 1
M 1
Ak
H k ( z)
k 1 1 z k z
1
z k простой (некратный) полюс
Ak коэффициент разложения при k -м полюсе
Одинаковые порядки числителя и знаменателя
H ( z)
M 1
Ak
k 1 1 z k z
1
C
9

10. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПФ В MATLAB (1)

10
1) Представление в виде суммы простейших множителей
Функция [q,p,K] = tf2zpk(b,a)
b, a — векторы коэффициентов числителя и знаменателя
передаточной функции; q, p — векторы-столбцы нулей и полюсов
передаточной функции, представленные в алгебраической форме;
K — коэффициент усиления.
2) Представление в виде произведения множителей 2-го порядка
Функция [s,G] = tf2sos(b,a)
b — вектор коэффициентов числителя передаточной функции, a — вектор
коэффициентов знаменателя передаточной функции; G —коэффициент
усиления; s — матрица коэффициентов числителей и знаменателей звеньев
в передаточной функции.

11. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПФ В MATLAB (2)

3) Представление в виде суммы простых дробей
Функция [r,p,c] = residuez(b,a)
r, p — векторы-столбцы коэффициентов разложения и полюсов,
представленные в алгебраической форме; c — целая часть; при ее
отсутствии выводится пустая матрица c=[].
4) Вывод карты нулей и полюсов
Функция zplane(b,a)
11

12. «Методы и алгоритмы цифровой обработки сигналов на базе MATLAB»

Линейные дискретные
системы. Описание ЛДС в
z-области
Клионский Д.М. – к.т.н., доцент кафедры
математического обеспечения и применения ЭВМ (МОЭВМ)