Модуль и его приложения

1.

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный
Модуль и его 
приложения
Автор:  
учитель 
L/O/G/O
математики
www.themegallery.com
Е.Ю. Семёнова

2. Содержание:

Понятие модуля
Свойства модуля  1°– 5°
Свойства модуля  6°– 10°
Геометрическая интерпретация модуля
Примеры
Решение уравнений вида |f(x)|= a
Решение уравнений вида |f(x)|= g(x)
Решение уравнений вида |f(x)| = |g(x)|

3. Понятие модуля

Понятие модуля
Абсолютной величиной (модулем) 
действительного числа а называется само 
число а, если оно неотрицательное, и число, 
противоположное а, если а – отрицательное.
a , если а 0;
a
а , если а 0.
Пример:
2x 3, если x 1,5;
2x 3
2x 3, если x 1,5.

4. Свойства модуля

Свойства модуля
1 a а
2 a b а b
а
a
3
, где b 0
b
b
4 a b а b , если a 0, b 0
5 a b a b , если a 0, b 0

5. Свойства модуля

Свойства модуля
6 a b а b , если ab 0
2
7 a a
2
8 a b 0, если a b 0
2
9
2
a а
2
10 a1 a 2 ... an а1 а 2 ... аn

6. Геометрическая интерпретация модуля

Геометрическая 
интерпретация модуля
а
­а
­а
0
а
Это расстояние от начала отсчета до 
точки, изображающей число.
х

7. Примеры Раскрыть модули:

Примеры 
Раскрыть модули:
1) p 3 ;
2)
3 5;
3)
5 2;
4) 1 2 ;
5)
2
x ;
6) x 4 1 ;
2
7) ( a 3 ) , a 3 ;
2
8) ( b 4 ) , b 4 ;
2
9) m 2m 1,
m 1.

8. Решение уравнений вида f(x)= a

Решение уравнений вида
  f(x) = a
f (x ) a ,
f (x ) a.
Пример:   x – 8 = 5
 
 
x 8 5,
x 13,
x 8 5; ⇔
x 3.
Ответ: 3; 13.

9. Решение уравнений вида |f(x)|= a

Решение уравнений вида
 |f(x)|= a
|2x – 3|= 4
|5x + 6|= 7
|9 – 3x |= 6
|4x + 2|= – 1
|8 – 2x|= 0
|10x + 3|= 16
|24 – 3x|= 12
|2x + 30|= 48
x1 = 3,5;  x2 = – 0,5
x1 = 0,2;  x2 = – 2,6
x1 = 1;     x2 = 5
x   Ø
x = 4
x1 = 1,3;  x2 = – 1,9
x1 = 12;   x2 = 4
x1 = 9;     x2 = – 39

10.

Решение уравнений вида 
f(x)  = g(x)
f (x ) g (x ),
g
(
x
)
0
;
f (x ) g (x ),
g (x ) 0.
или
f (x ) g (x ),
f (x ) g (x ),
g (x ) 0;

11. Пример: 3х –10 = х – 2

Пример:   3х –10  = х – 
2 
3x 10 x 2,
x
2
0
;
3x 10 (x 2),
x 2 0;
⇔
⇔
2x 8,
x
2
;
4x 12, ⇔
x 2;
x 4,
x 3.
Ответ: 3; 4.

12.

Решение уравнений вида
  f(x)  =  g(x)
f (x ) g (x ),
f (x ) g (x ).
Пример:   x – 2 = 3 – x
 
x 2 3 x ,
x 2 3 x ;
⇔
   
 
2x 5,
2 3;
Ответ:  2,5.
⇔
x 2,5,
x Ø ;

13. Решить самостоятельно: 4x –1 = 2х + 3

Решить самостоятельно: 
4x –1  =  2х + 3
 
 
x 2,
4x 1 2x 3,
2x 4,
⇔
1
4x 1 2x 3; ⇔ 6х 2;
x .
3
1.
  Ответ: 2; – ­­­
3

14. Решить уравнение 2|x – 2| – 3|х + 4| = 1

Решить уравнение
2|x – 2
 – 2| – 3|x
х + 4
 + 4| = 1
–4 ≤ x ≤ 2
x < –4
­4
x > 2
2
–
–
+
–
+
+
х

15. Решить уравнение 2x – 2 – 3х + 4 = 1

Решить уравнение
2 x – 2  – 3 х + 4  = 1
x 4,
2( x 2) 3( x 4) 1;
4 x 2,
2( x 2) 3(x 4) 1;
x 2,
2(x 2) 3(x 4) 1;
⇔
x 4,
x 15;
4 x 2,
x 1,8;
x 2,
x 17.
Ответ:  –15; –1,8.

16. Примеры (решить самостоятельно)

Примеры 
(решить самостоятельно)
1)  x2 + 3x  = 2(x + 1)
2)  x – 6  =  x2 – 5x + 9  
3)  2x + 8  –  x – 5  = 12
 
1) Ответ: 1; (–5 + √17)/2.
2) Ответ: 1; 3.
3) Ответ:  ­25; 3.

17. Решение неравенства вида x   а

Решение неравенства вида
  x     а
­а
х2 х4 0
х3 х1 а
a x a
или
x a ,
x a.
Ответ: x [– а; a].
х

18. Решение неравенства вида f(x)   а

Решение неравенства вида 
f(x)    а
 
a f (x ) a
Пример:    x – 5  ≤ 7
– 7 ≤ x – 5 ≤ 7 + 5
– 7 + 5 ≤ x – 5 + 5 ≤ 7 + 5
– 2 ≤ x ≤ 12
Ответ:  [ – 2; 12]
 

19.

Решите самостоятельно: 
5x + 8  < 12
– 12 < 5x + 8 < 12
– 8
– 12 – 8 < 5x + 8 – 8 < 12 – 8
– 20 < 5x < 4
– 20 : 5 < 5x : 5 < 4 : 5
– 4 < x < 0,8
Ответ: (– 4; 0,8).

20. Решение неравенства вида x   а

Решение неравенства вида
  x     а
х2 х4 ­а
а х3
0
x a ,
x a.
Ответ: (– ∞; – a]∪[ a; + ∞)
 
 
 
 
 
 
х1
х

21. Решение неравенства вида f(x)   а

Решение неравенства вида 
f(x)    а
 
f (x ) a ,
f (x ) a.
Пример:    x + 4  ≥ 6
x + 4 ≥ 6
x + 4 ≤ – 6 ⇔
x ≥ 2
x ≤ – 10
Ответ:  (– ∞; –10]∪[2; + ∞)
 
 
 
 

22.

Решите самостоятельно:
  10x – 7  > 19
 
10x 7 19,
10x 26,
10x 7 19; ⇔ 10x 12; ⇔
⇔
x 2,6,
x 1,2;
Ответ: (– ∞; –1,2)∪(2,6; + ∞)
 
 
 
 

23. Решение неравенства вида f(x)  > g(x)

Решение неравенства вида 
f(x)  > g(x)
 
f (x ) g (x ),
f (x ) g (x ).
Пример:    2x + 5  > 4x – 2
2x + 5 > 4x – 2
2x + 5 < – 4x + 2  ⇔
x < 3,5
x < –0,5
Ответ:  (– ∞;  3,5)
 
 

24. Решение неравенства вида f(x)   g(x)

Решение неравенства вида 
f(x)    g(x)
 
g (x ) f (x ) g (x )
f (x ) g (x ),
f (x ) g (x ).

25. Решить неравенство 3x – 2 + х – 6  8

Решить неравенство
3 x – 2  +  х – 6    8
2 ≤ x ≤ 6
x < 2
2
x > 6
6
x – 2
–
+
+
х – 6
–
–
+
х

26. Решить неравенство 3x – 2 + х – 6  8

Решить неравенство
3 x – 2  +  х – 6    8
x 2,
3( x 2) ( x 6) 8;
2 x 6,
3(x 2) ( x 6) 8;
x 6,
3(x 2) (x 6) 8;
⇔
x 2,
4x 4;
2 x 6,
2x 8;
x 6,
4x 20;
⇔

27. Решить неравенство 3x – 2 + х – 6  8

Решить неравенство
3 x – 2  +  х – 6    8
⇔
x 2,
x 1;
2 x 6,
x 4;
x 6,
x 5.
⇔
1 x 2,
2 x 4,
x .
Ответ: [1; 4].

28. Построение графика функции y = x

Построение графика функции 
y =  x
   Это отображение нижней части графика функции 
   y =  x  в верхнюю  полуплоскость  относительно  оси 
абсцисс с сохранением верхней части графика
 
y 
= 
x
y
y 
= 
x
0
x

29. Построение графика функции y = x – 3

Построение графика функции y =  x – 3
y
6
3
­6
­3
0
y 
= 
x 
– 
3
­9
y =  x – 3
 
3
­3
­6
6
9
x

30. Построение графика функции y = 2x +1

Построение графика функции y =  2x +1
y
x+
  2
y =
3
2
 
 
1
 
1
­3
­2
­1 0
y  =
 2 x
 + 1
­5 ­4
1
­1
­2
­3
2
3
4
5
x

31.

Построение графика функции y =    
х
y
3
3
3
y =   х 
3
y = х
2
 
1
­5 ­4
­3
­2
­1 0
1
­1
­2
­3
2
3
4
5 x

32.

Построение графика функции  
y =  x + 2  –  x – 3
x < ­2
­2 ≤ x ≤ 
3
­­2
x > 3
3
x + 2
–
+
+
x – 3
–
–
+
x

33.

Построение графика функции  
y =  x + 2  –  x – 3
x 2,
y x 2 x 3;
2 x 3,
y x 2 x 3;
x 3,
y x 2 x 3;
⇔
x 2,
y 5;
2 x 3,
y 2x 1;
x 3,
y 5.

34.

y =  x + 2  –  x – 3
y
6
­10 ­8
­6
­4
2х
 –  1
 
2
у =
4
­2 0
2
­2
у = – 5 
у = 5
­4
­6
4
6
8
10 x

35.

Построение графика функции  
y =  x + 1  +  x – 2
x < –1
–1 ≤ x ≤ 2
­­1
x > 2
2
x + 1
–
+
+
x – 2
–
–
+
x

36.

Построение графика функции  
y =  x + 1  +  x – 2
x 1,
y x 1 x 2;
1 x 2,
y x 1 x 2;
x 2,
y x 1 x 2;
⇔
x 1,
y 2x 1;
1 x 2,
y 3;
x 2,
y 2x 1.

37.

y =  x + 1  +  x – 2
5
 
4
у =
1
х +
– 2
 
у =
2х
 –  1
y
3 у = 3
2
1
­5
­4
­3
­2
­1 0
1
­1
2
3
4
5 x