Подготовка к ЕГЭ. Логарифмы

1. Подготовка к ЕГЭ

ЛОГАРИФМЫ
РАЗРАБОТКА
УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ
ГОУ СОШ №618
Макаровой Татьяны Павловны
© Материал подготовила: Макарова Т.П., учитель школы №618

2. Свойства функции у = logaх , a > 1:

Свойства функции
у = logaх , a > 1:
D(f) = (0; +∞ );
не является ни четной, ни нечетной;
возрастает на (0; + ∞ );
не ограничена сверху, не ограничена
снизу;
не имеет ни наибольшего, ни
наименьшего значений;
непрерывна;
E(f) = (- ∞ ;+ ∞ );
выпукла вверх;
дифференцируема.

3.

У=log0,5х
У=log2х
х 1/2
1 2 4 8
х 1/2
1 2 4 8
у -1
0
у
0 -1
1 2
3
1
у
-2
-3
у
y=log2x
0
1 2 3 4 5 6 7
х
0
1 2 3 4 5 6 7
y=log0,5x
х

4. Определите, какие из перечисленных ниже функций являются возрастающими, а какие убывающими?

y = log2x
y = log0,5(2x + 5)
y = lg (x)1/2
y = ln(x + 2)
2>1
0 < 0,5 < 1
10 > 1
e>1
возрастающая
убывающая
возрастающая
возрастающая

5. Свойства логарифмов (a > 0, a ≠ 1)

Свойства логарифмов
(a > 0, a ≠ 1)

6. «ХИТРОСТИ» свойств логарифмов:

2
log a b 2 log a b
при a 0, a 1, b 0;
log a bc log a ( b) log a ( c)
при a 0, a 1, b 0, c 0;
b
log a log a ( b) log a ( c )
c
при a 0, a 1, b 0, c 0;
log b c
log ba
a
c
при a 0, b 0, b 0, c 0

7. Преобразование логарифмических выражений

Сравнить числа log13150 и log17290.
Решение.
Так как log13150 < log13169
log13169 = log13132=2, т.е. log13150<2.
log17290> log17289= log17172=2, т.е.
log17290>2,
то
log13150 < log17290.

8. Преобразование логарифмических выражений

Сравнить числа log 1
1
3 80
Решение.
Так как log1 1 log1 1
3
80
И 15+
3
81
1 .
2 15 2
и log1
4
2 16, а
1
1
log1
log 1 4, то
16
2 15 2
2
log1 1 log1 1 .
3 80
2 15 2

9. Преобразование логарифмических выражений

Доказать, что
log 10 lg11 .
9
Рассмотрим А lg11 , A 0.
log 10
9
Докажем , что А 1.
lg11 lg11 lg9
A
log 10
9
lg11 lg 9 lg99 lg100 1.
2
2
2
То
А 1, и log 10 lg11 .
9

10.

Повышенный уровень
Найти значение выражения (1 5).
1.
3
36
1
log 9 6
7
log 49 289
1
2. log 6
lg10 0,1.
216
3. log 2 sin log 2 cos 1
12
12
4 3
4. log 1 log 27
3.
6
5. 7
4 log 7 0,5

11. Логарифмические уравнения – это уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма.

Простейшим логарифмическим
уравнением является уравнение вида
loga f(x) = b,
где а > 0, а ≠ 1, равносильное
уравнению
f(x) = ab .

12. Уравнение вида logxA=B,A>0

Уравнение вида logxA=B,A>0
при
А≠1 и В≠0 имеют
единственный корень х=А1/В;
при А=1 и В=0 имеют
решением любое
положительное, отличное от
единицы, число;
при А=1 и В≠0 корней нет;
при А≠1 и В=0 корней нет.

13.

Тренировоч ные упражнения
1
0,2 log x
0,5. Ответ : 4.
32
log x 13 2. Ответ : 1 3.
3
log log x 2. Ответ : 3 .
3

14. Уравнение вида logaf(x)=logag(x), a>0, a≠1

Уравнение вида
logaf(x)=logag(x), a>0, a≠1
1
способ.
2
способ.
loga f ( x) loga g ( x) g ( x) 0,
f ( x) g ( x).
f
(
x
)
0
,
loga f ( x) loga g ( x)
f ( x) g ( x).

15. Тренинг

2
1) log 7 ( x 12) log 7 x
2
2) log11 ( x 5 x 6) log11 ( x 2)
4
2
3) log15 x log15 (15 x)
2 x
2
4) log 1
log 1
5 10
5 x 1
2
x 1
5) log 4 ( x 3x 4) log 4
x 4
2
1
6) log 7 ( x 2
) log 7 (2 x 3x ).
x 2

16. Уравнения вида logg(x)f(x)=b

Логарифмы с переменным основанием
Уравнения вида logg(x)f(x)=b
равносильны смешанной системе
g(x) 0,
log
f (x) b g(x) 1,
g (x)
f (x) g (x)b.

17. Тренинг

1) log x 1 (5 x) 1. Ответ : 2
2) log 2
(3x 5) 1. Ответ : 3
x 2 x 1
2
3) log x ( x 2) 1. Ответ : 2
1
4
4) log 4 x x 0. Ответ : 1; ;16
2

18. Уравнения вида logf(x)g(x)=logf(x)h(x)

g ( x) 0,
f
(
x
)
0
,
log
g ( x) log
h( x)
f ( x)
f ( x)
f ( x) 1,
g ( x) h( x).
или
h( x) 0,
log
g ( x) log
h( x) f ( x) 0,
f ( x)
f ( x)
f ( x) 1,
g ( x) h( x).

19. Тренировочные упражнения

log
2
x 1
x
3
6 log
2
x 1
4x
2
x;
x
4
;
17
17
x x 1
x x 1
4
4
log x x 2 log x 2 x 6 2.
log
2
2
2
4 x log
2
2
2

20. Уравнения вида logg(x)f(x)=logp(x)f(x)

f ( x) 0,
log
f ( x) log
f ( x) g ( x) 0,
g ( x)
p( x)
g ( x) 1,
g ( x) p( x).
или
f ( x) 0,
p
(
x
)
0
,
log
f ( x) log
f ( x)
g ( x)
p( x)
p( x) 1,
g ( x) p( x).

21. Тренинг

log
x
log
3
x
x
4x x
2
2
2
4 log
x 4;
4 x 6
x log 12 3 x x;
2

22. Уравнения вида a>0, a≠1, n€N

Уравнения вида
a>0, a≠1, n€N
2nloga f ( x) loga g ( x)
f
(
x
)
0
,
2nloga f ( x) loga g ( x) 2n
f ( x) g ( x).
Пример.
4x 15 0,
lg 2 x 2lg(4x 15)
2
lg 2x lg(4x 15)
15
x
,
4 x 15 0,
4
2
2 x (4 x 15)
16 x 9 x 25 0
2
8
x 9.
2

23. Методы решения логарифмических уравнений

24. 1. Решение уравнений, основанных на определении логарифма

log2(5 – x) = 3.
По определению логарифма
5 – х = 2 3,
откуда х = –3.
х = –3 – корень уравнения.
Ответ: х = –3.

25. 2. Решение уравнений с помощью потенцирования

log3(x + 1) + log3(x + 3) = 1.
Потенцируя, имеем: log3(x + 1)(x + 3) = 1.
Учитывая область определения получаем
систему:
или
Откуда х1= 0, х2= – 4. Так как х > –1, то
корень х2= – 4 – посторонний.
Ответ: х = 0

26. 3.Применение основного логарифмического тождества

log2(9 – 2x) =10lg(3 – x)
Область определения уравнения
откуда х < 3. Применив в правой части
уравнения основное логарифмическое
тождество, получим:
log2(9 – 2x) = 3 – x или 9 – 2x = 23 – x или
,
22х – 9 · 2х + 8 = 0, откуда 2х = 1, х1= 0; 2х = 8, х2 = 3.
Так как x < 3, то х2 = 3 – посторонний корень.
Ответ: х = 0.

27. 4. Логарифмирование

Область определения уравнения задается
условиями х > 0, х ≠ 1. Прологарифмируем
обе части уравнения по основанию 10,
предварительно упростив его:
(10lgx)lgx + xlgx = 20, xlgx + xlgx = 20, xlgx = 10
или lgxlgx = lg10, lg2x = 1, lgx = ±1, значит lgx
= 1, x1 = 10; lgx = –1, x2 = 0,1.Оба корня
удовлетворяют ограничениям x > 0,x ≠ 1.
Ответ: x1 = 10, x2 = 0,1.

28. Замена переменных в уравнениях

Две основные идеи решения
логарифмических уравнений:
приведение уравнения к виду
log a f ( x) log a g ( x)
с последующим потенцированием;
замена неизвестных вида y log a f ( x )
с предшествующим преобразованием
уравнения к удобному для этой замены
виду.

29. 5. Замена переменной

Так как – х > 0, т.е. х < 0 и
, то
данное уравнение можно записать в виде
.
Пусть
тогда получаем t = t2,
t (t – 1) = 0, откуда t1 = 0, t2 =1.
Значит lg(–x) = 0, x1 = – 1;
lg( –x) =1, x2 = –10.
Ответ: x1 = – 1, x2 = –10.

30. Тренировочные упражнения

log x 5 log 2 x 4 0
2
2
log 3 x 1 log x 9
4 log 2 x log x 64
2
log 3 x log 1 3 x 1
2
3
2
Ответ: 2;16
Ответ: 9;1/3
Ответ:0,125; 2
Ответ: 1/3; 3
3
5
x
2
4 log 4 x log 2
16
Ответ: 2; 16

31. 6. Переход к другому основанию

Запишем уравнение в виде
Далее имеем
Прологарифмировав обе части уравнения по
основанию 3, получим:
откуда
Ответ:

32. ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЗАДАЧ И СХЕМЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ

33. Сведение к рациональным неравенствам

Тренинг
log x 5 3 log 2 x 1 3 0
x 1
2 x 5
5
Ответ : ; 5 ;4 .
2
1
1
log ( 2 5 x ) 3
log 2 2 5 x log 6 6 x 2 6 x 1
1
3
Ответ : ;0 0,5;0,5
3
6
log 2 x 3 5 log x 1 5 0
2
5
Ответ : 0,75;1 ;
4

34. Метод интервалов и систем

Тренинг
( x 5)( x 5)
0.
log 2 ( x 4) 1
Ответ : 5 4 2; .
2
( 3 17 x 6 x 2) log 8 x 7 0.
1 1
Ответ : ;
8 6
2
log 1 ( x x 2 ) log 1 ( x 1) log 1 ( x 1) 6 0
5
5
5

35. Неравенства вида logh(x)f(x)<b

Неравенства вида logh(x)f(x)<b
log
h( x)
f
b
f ( x) h ( x)
0,
h( x) 1
( x) b f ( x) 0,
h( x) 0.

36. Частный случай при

b=0
logh( x)
b=1
logh( x)
b=2
logh( x)
b 0;1;2
f ( x) 1
h( x) 1 0,
f ( x) b f ( x) 0,
h ( x ) 0.
f ( x) h( x)
h( x) 1 0,
f ( x) b f ( x) 0,
h( x) 0.
2 ( x)
f
(
x
)
h
0,
h( x ) 1
f ( x) b f ( x) 0,
h( x) 0.

37. Решите неравенство

log2 х 5 (5x 2) 1
log2 (5 x 2)
log2 х 5 (5 x 2) 1
1 0
log2 (2 x 5)
log2 (5 x 2) log2 (2 x 5)
0
log2 (2 x 5) log2 1
(5 x 2) (2 x 5)
0,
(
2
x
5
)
1
x 1
5 x 2 0,
x 3 0, x 3.
x 2,5
2 x 5 0
Ответ : (3, ).

38. Тренинг

2
1. log x 2 (4 7 x 2 x ) 2.
Ответ : ( 0,5;0] 1;4 .
2. log 2 x ( x 2) log x 3 (3 x) 0.
Ответ : ( 2; 1] 1;2 .
2
2
3. log 3x 1 (2 x x 1) log 3x 1 (11x 6 3x ).
x 2
x 2
Ответ : 1 1,5;3 .

39. Неравенство log h(x) f(x) > logh(x) g(x)

Неравенство
log h(x) f(x) > logh(x) g(x)
равносильно совокупности систем
неравенств
h( x) 1,
f ( x) g ( x) 0,
0 h( x) 1,
0 f ( x) g ( x).

40. Решить неравенства

log3(x2 - x) ≥ log3(x + 8);
2
log 0,2 (5 x) log 0,2
;
x 2
log2 (log1 (log 8 x)) 0;
3
log x 2 (5 x) log x 2 (4 x).
x 3
x 3

41. Смешанные задачи с логарифмами

Модули
и возведение в квадрат
1) log 2 x 5 x 6 log 2 x 2 1
2
2) log 4 x x 6 log 4 x 3 1
2
2
3) log 3 3 x 13x 11 1 log 3 x 2 1
2
4) log 4 x 4 log 4 x 1
2
Логарифмы
2
и корни
x
1 log 2 x log 2 x
1
2
log 3 9 x log 3 81x