Модуль действительного числа. Решение уравнений с модулем

1. Модуль действительного числа. Решение уравнений с модулем

2. Понятие модуля

Абсолютной величиной (модулем)
действительного числа а называется само
число а, если оно неотрицательное, и число,
противоположное а, если а –отрицательное.
a , если а 0;
a
а , если а 0.
Пример:
2x 3, если x 1,5;
2x 3
2x 3, если x 1,5.

3. Свойства модуля

1 a а
2 a b а b
а
a
3
, где b 0
b
b
4 a b а b , если a 0, b 0
5 a b a b, если a 0, b 0

4. Свойства модуля

6 a b а b , если ab 0
7 a
2
a
2
8 a b 0, если a b 0
2
9
2
a а
2
10 a1 a2 ... an а1 а2 ... аn

5. Геометрическая интерпретация модуля

а
-а
-а
0
а
Это расстояние от начала отсчета до
точки, изображающей число.
х

6. Примеры Раскрыть модули:

1) p 3 ;
2)
3 5;
3)
5 2;
4) 1 2 ;
5) x 2 ;
6) x 1 ;
4
7) ( a 3 ) , a 3 ;
2
8) ( b 4 ) , b 4 ;
2
9) m 2m 1,
2
m 1.

7. Решение уравнений вида f(x)= a

Решение уравнений вида
f(x) = a
f (x ) a ,
f (x ) a.
Пример: x – 8 = 5
x 8 5,
x 13,
x 8 5; ⇔
x 3.
Ответ: 3; 13.

8. Решение уравнений вида |f(x)|= a

1) |2x – 3|= 4
2) |5x + 6|= 7
3) |9 – 3x |= 6
4) |4x + 2|= – 1
5) |8 – 2x|= 0
6) |10x + 3|= 16
7) |24 – 3x|= 12
8) |2x + 30|= 48
x1 = 3,5; x2 = – 0,5
x1 = 0,2; x2 = – 2,6
x1 = 1;
x2 = 5
x Ø
x=4
x1 = 1,3; x2 = – 1,9
x1 = 12; x2 = 4
x1 = 9; x2 = – 39

9.

Решение уравнений вида
f(x) = g(x)
f (x ) g (x ),
g
(
x
)
0
;
f (x ) g (x ), или
f (x ) g (x ),
g (x ) 0.
f (x ) g (x ),
g (x ) 0;

10. Пример: 3х –10 = х – 2

Пример: 3х –10 = х – 2
3x 10 x 2,
2x 8,
x
2
0
;
x
2
;
3x 10 (x 2), ⇔ 4x 12, ⇔
x 2 0;
x 2;
x 4,
⇔ x 3.
Ответ: 3; 4.

11.

Решение уравнений вида
f(x) = g(x)
f (x ) g (x ),
f (x ) g (x ).
Пример: x – 2 = 3 – x
x 2,5,
x 2 3 x ,
2x 5,
x 2 3 x ; ⇔ 2 3; ⇔ x Ø ;
Ответ: 2,5.

12. Решить уравнение 2|x – 2| – 3|х + 4| = 1

Решить уравнение
x+4
2|x
2| – 3|х
4| = 1
x–2
–4 ≤ x ≤ 2
x < –4
-4
x>2
2
–
–
+
–
+
+
х

13. Решить уравнение 2x – 2 – 3х + 4 = 1

Решить уравнение
2 x – 2 – 3 х + 4 = 1
x 4,
2( x 2) 3( x 4) 1;
4 x 2,
2( x 2) 3(x 4) 1;
x 2,
2(x 2) 3(x 4) 1;
⇔
x 4,
x 15;
4 x 2,
x 1,8;
x 2,
x 17.
Ответ: –15; –1,8.

14. Примеры (решить самостоятельно)

1) x2 + 3x = 2(x + 1)
2) x – 6 = x2 – 5x + 9
3) 2x + 8 – x – 5 = 12
1) Ответ: 1; (–5 + √17)/2.
2) Ответ: 1; 3.
3) Ответ: [2; + )

15. Домашняя работа §5 читать, №5.1, 5.11, 5.13-5.15