Перпендикуляр, наклонная, проекция

1.

2.

A ∉ α ⇒ ∃ c, A ∈ c, c ⏊ α
c
A
α

3.

A
α

4.

A
α

5.

A
H
α

6.

Определение
Перпендикуляром, проведённым из точки А
к плоскости α, называется отрезок АН. Точка Н
называется основанием этого перпендикуляра
A
H
α
A⏊α
AH — перпендикуляр
H — основание
перпендикуляра

7.

A
M
H
α

8.

A
M
H
α

9.

A
M
H
α

10.

Определение
Отрезок АМ называется наклонной, проведённой из
точки А к плоскости α. Точка М называется
основанием наклонной
A
M
H
α
AM — наклонная
к плоскости
M — основание
наклонной

11.

A
M
H
α

12.

A
M
H
α

13.

Определение
Отрезок МН называется проекцией
наклонной АМ на плоскость α
A
MH — проекция
наклонной AM
M
H
α

14.

A
M
H
α

15.

A
M
H
α
AH <? AM

16.

A
M
H
α

17.

A
∆AHM:
M
H
α

18.

A
∆AHM:
M
H
α

19.

A
∆AHM:
AH ⏊ α
M
H
α

20.

A
∆AHM:
AH ⏊ α
АН — катет
АM — гипотенуза
M
H
α
AH < AM

21.

A
M
H
K
P
α

22.

A
AH — наименьшее
расстояние
от точки A
до плоскости α
M
H
K
P
α

23.

Определение
Расстоянием от точки А до плоскости α называется
длина перпендикуляра АН, проведённого
к плоскости α
A
H
α

24.

Задача
Дано: AO ⏊ α
AO = 3 ед.
AM = АН = 5 ед.
Найти: MN
Решение:
∆АОМ: ОМ² = АМ² – АО²
ОМ² = 25 – 9 = 16
МН = 2 · ОМ = 2 · 4 = 8 (ед.)
Ответ: МН = 8 ед.
A
5
M
3
O
5
H
α

25.

Замечание 1
Пусть даны две параллельные плоскости α и β. Тогда все
точки плоскости α будут равноудалены от плоскости β
A
M
α
AH ∥ MO
β
H
O

26.

Замечание 1
Пусть даны две параллельные плоскости α и β. Тогда все
точки плоскости α будут равноудалены от плоскости β
A
M
Отрезки параллельных
прямых, заключённые
между параллельными
плоскостями, равны
α
β
H
O

27.

Определение
Расстоянием между параллельными плоскостями называется
расстояние от произвольной точки одной из параллельных
плоскостей до другой
A
M
H
O
α
β

28.

Определение
Расстоянием между параллельными плоскостями называется
расстояние от произвольной точки одной из параллельных
плоскостей до другой
A
M
H
O
α
β

29.

Замечание 2
Если прямая параллельна плоскости, то все точки
прямой равноудалены от этой плоскости
a
A
O
α

30.

Определение
Длина перпендикуляра АО называется расстоянием
между прямой а и параллельной ей плоскостью α
a
A
O
α

31.

Определение
Длина перпендикуляра АО называется расстоянием
между прямой а и параллельной ей плоскостью α
a
A
O
α

32.

Определение
Длина перпендикуляра АО называется расстоянием
между прямой а и параллельной ей плоскостью α
a
A
O
α

33.

Задача
Дано:
МН ∥ ABCD
МН = 6 см
∠МНО = 45°
B
Найти: MO
Решение:
∆MHO — прямоуг.
tg ∠МНО = MO ∶ MH ⇒
⇒ МO = MH · tg ∠МНО
МО = tg 45° · 6 = 1 · 6 = 6 (см)
Ответ: МО = 6 см
H
M
6 см
45°
C
O
D
A

34.

Замечание 3
Пусть прямые а и b скрещивающиеся. Тогда плоскость α,
проходящая через прямую а, параллельна прямой b
b
a
α

35.

Определение
Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется
расстояние между одной из скрещивающихся прямых и
плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой
b
M
a
O
c
α