Скалярное произведение векторов

1. Скалярное произведение векторов

Угол между векторами
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ВЕКТОРОВ

2. Угол между векторами

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ
а и b не являются
сонаправленными
О –произвольная точка
а
b
А
ОА а ,
ОВ b
АОВ =
а b =
О
В

3. Угол между векторами

УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ
Если векторы а и b
сонаправлены, в
частности один из них
или оба нулевые, то
угол между векторами
равен 0°.
Два вектора
называются
перпендикулярными,
если угол между ними
равен 90°
а
b
а
а b = 0°
b а b
= 0°
а b = 90°
а
b
а b

4. Найдите угол между векторами

НАЙДИТЕ УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ

5. Скалярное произведение векторов

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Опр-ние: Скалярным произведением двух векторов наз-ся
произведение их длин на косинус угла между ними.
Пример:
a b a b cos a b
a 2 , b 3,
угол между векторами а и b
1350
a b a b cos
2
a b 2 3 cos 135 6 cos 45 6
3 2
2
0
0

6. Необходимое и достаточное условие равенства нулю скалярного произведения

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ
РАВЕНСТВА НУЛЮ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Скалярное произведение ненулевых векторов
равно нулю тогда и только тогда, когда эти
векторы перпендикулярны.
1
a 0
b 0 a b 0
a b
2
a 0
b 0 a b
a b 0

7.

1
a 0
b 0 a b 0
a b
a b a b cos a b
a b a b cos 90
cos 90 0
0
a b 0
0
2
a 0
b 0 a b
a b 0
a b 0
a b cos a b 0
a 0 a 0; b 0 b 0
0
cos a b 0 a b 90
a b

8.

Отдых для глаз
Не отрывая глаз, смотрите на
двигающийся круг

9. Скалярный квадрат

СКАЛЯРНЫЙ КВАДРАТ
Скалярное произведение
a a
называется скалярным квадратом вектора
a a a a cos a a
cos a a соs 00 1
a a a a а
2
a
a
Свойство.
Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

10. Домашнее задание

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
Пп. 101-102
№1039(в,е)
№1040(б)
№ 1042(б)
№ 1043

11. Применение скалярного произведения в физике

ПРИМЕНЕНИЕ СКАЛЯРНОГО
ПРОИЗВЕДЕНИЯ В ФИЗИКЕ
Работа А постоянной силы
F при перемещении тела
из точки М в точку N,
равна произведению длин
векторов силы и
перемещения на косинус
угла между ними.
Т.е. работа силы F равна
скалярному произведению
векторов силы и
перемещения
A F MN cos
A F MN

12. Самое главное

САМОЕ ГЛАВНОЕ
Скалярным произведением векторов
называется произведение их на косинус угла
между ними.
Скалярное произведение ненулевых
векторов тогда и только тогда когда эти
векторы перпендикулярны.
Скалярное произведение вектора самого на
себя называется скалярным квадратом
вектора.
Скалярный квадрат вектора равен квадрату
его длины.