Системы одновременных уравнений

1.

Оценивание параметров системы одновременных
уравнений
Модель
идентифицируема:
Косвенный метод
наименьших квадратов
(КМНК)
Модель сверхидентифицируема:
Двухшаговый метод
наименьших квадратов (ДМНК)
Трехшаговый метод
наименьших квадратов (ТМНК)
Метод максимального
правдоподобия (ММК)

2.

Косвенный метод наименьших квадратов
1. Строится приведенная форма модели
2. Для каждого уравнения приведенной модели традиционным МНК
оцениваются параметры модели
3. Коэффициенты приведенной модели трансформируются в
параметры структурной модели

3.

Косвенный метод наименьших квадратов
Qtd a0 a1 Pt a2 yt 1
S
Qt b0 b1 Pt b2 I t 2
d
S
Q
Q
t
t
Pt - цена товара
yt - доход на душу
населения
It – инвестиции в
производство
Qtd спрос в момент времени t
QtS предложение в момент времени t
Qt
20
33
28
41
40
36
42
38
51
Pt
3
3
5
4
5
6
6
7
7
yt
34
43
51
49
55
62
70
68
78
It
5
6
6
7
7
6
8
8
12

4.

Косвенный метод наименьших квадратов
Qt A1 1 yt 2 I t u1t
Pt A2 1 yt 1 I t u2t
Qt 6,022 0,234 yt 2,394 I t u1t
Pt 0,692 0,127 yt 0,189 I t u2t
Qtd a0 a1 Pt a2 yt 1
Pt 0,692 0,127 yt
Q0t,d189 2,743 12,667 Pt 1,842 yt 1
S
Pt 0,692 0,127 yt
d
Qt 6,022
0
,
234
y
2
,
394
2,
743 12,667 Pt 1,842 yt
2
,
742
I
Qt 7t ,297 1,843P
t
t
2
0,189
It
d
S
Q
Q
t
t
QtS b0 b1 Pt b2 I t 2
Pt 0,692 0,189 I t
0,127
P 0,692 0,189 I t
QtS 6,022 0,234 t
2,394 I t 7,297 1,843Pt 2,742 I t
0,127
yt

5.

Косвенный метод наименьших квадратов
Оценка значимости
Уравнение приведенной модели
Qt 6,022 0,234 yt 2,394 I t u1t
F 10,54
R 2 0,778
Fтабл 5,14 при 0,05
Уравнение структурной модели
Qtd 2,743 12,667 Pt 1,842 yt 1
F 10,54
R 2 0,778
Qtd QtS
QtS 7,297 1,843Pt 2,742 I t 2
F 10,54
R 2 0,778

6.

Двухшаговый метод наименьших квадратов
1 шаг. Построение приведенной формы модели (ПФМ)
2 шаг. Для каждого уравнения структурной формы модели (СФМ)
• находят эндогенные переменные, являющиеся
факторными признаками;
• для этих переменных определяют их выровненные
значения, используя соответствующие уравнения ПФМ;
• находят параметры рассматриваемого уравнения СФМ
обычным МНК, заменяя исходные значения эндогенных
переменных-факторов их выровненными значениями

7.

КП t a1 b11 ВВПt 1
ВН t a2 b21 ВВПt 4 2
ВВП КП ВН Э
t
t
t
t
Проверка на идентификацию – необходимое условие
Для первого уравнения:
• количество эндогенных переменных, входящих в это уравнение, – 2 (КПt и
ВВПt), Н=2;
• количество предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, - 2
(Эt и ВВПt-4), D=2
H < D+1 уравнение сверхидентифицировано
Для второго уравнения:
• количество эндогенных переменных, входящих в это уравнение, – 1 (ВНt), Н=1;
• количество предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, - 1
(Эt), D=1
H < D+1 уравнение сверхидентифицировано

8.

Проверка на идентификацию – достаточное условие
Для первого уравнения
Для второго уравнения
КП t a1 b11 ВВПt 1
ВН t a2 b21 ВВПt 4 2
ВВП КП ВН Э
t
t
t
t
0 Ранг данной
1 b21
матрицы = 2
0
1
1
1 b11 0 Ранг данной
матрицы = 2
1 1 1
1 шаг. Построим приведенную форму модели
ВВПt А1 В11 ВВПt 4 В12 Эt u1
КПt А2 В21 ВВПt 4 В22 Эt u2
ВН А В ВВП В Э u
t
3
31
t 4
23
t
3
ВВПt 31,53 1,06 ВВПt 4 0,51 Эt u1
КПt 79,06 0,52 ВВПt 4 0,11 Эt u2
ВН 110,59 0,54 ВВП 0,38 Э u
t
t 4
t
3

9.

2 шаг. Рассчитаем выровненные значения ВВПt
Применим метод наименьших квадратов к первому уравнению СФМ
КПt na1 b11 ВВˆ Пt
2
ˆ
ˆ
ˆ
В
В
П
КП
a
В
В
П
b
В
В
П
t
t
1
t
11
t
10762,95 40a1 15646,32b11
4259441 15645,32a1 6241957b11
КПt 110,48 0,4 ВВПt e1
Проверка значимости:
t-критерий = 7,96,
F = 63,3
t табличное = 2,0244 (df=40-2=38, =0,05)
F табличное = 4,1; R2 = 0,62

10.

Применим метод наименьших квадратов ко второму уравнению СФМ
ВН t na2 b21 ВВПt 4
2
ВВП
ВН
a
ВВП
b
ВВП
t 4
t
2
t 4
21
t 4
3120,942 40a2 15129,49b21
1223653 15129б 49a2 5812350b21
ВН t 103,89 0,48 ВВПt 4 e2
Проверка значимости:
t-критерий = 7,05,
t табличное = 2,0244 (df=40-2=38, =0,05)
F = 49,7 F табличное = 4,1; R2 = 0,57
КПt 110,48 0,4 ВВПt e1
ВН t 103,89 0,48 ВВПt 4 e2
ВВП КП ВН Э
t
t
t
t