Геометрические характеристики плоских сечений

Осевыми моментами инерции сечения называются интегралы вида:

451.28K

Category:

mechanics

Расчет на прочность. (Лекция 6)

1. Лекция № 6

2. Расчет на прочность.

Расчёт
ведётся
по
величине
фактических
максимальных напряжений, возникающих в опасной
точке нагруженной конструкции (опасном сечении)
Максимальное расчетное напряжение сравнивают с
допускаемым напряжением, при котором материал
конструкции может работать длительное время без риска
разрушения.
Допускаемое напряжение должно быть меньше предельного
Условие
прочности:
где:
L
n
L
max
n
некое предельное напряжение,
допускаемое напряжение,
коэффициент запаса прочности, n>1

3. Пластичные материалы

L T
nT - коэффициент
запаса по пределу
текучести
Допускаемое
напряжение:
Т
nТ
Хрупкие
материалы
L B
nB - коэффициент
запаса по пределу
прочности
Допускаемое
рапряжение:
B
nB

4.

При центральном растяжении-сжатии условие
прочности, в зависимости от исходных
данных, можно записать так:
max
N max
А
- при постоянной площади
поперечного сечения
Аналогично расчетам на прочность по нормальным
напряжениям, проводятся расчеты на прочность по
касательным напряжениям.
Условие прочности :
max

5. Метод разрушающих нагрузок

Пластичные
материалы
Разрушающей считается
нагрузка, при которой в
конструкции возникают
значительные
пластические
деформации и она не
способна воспринимать
дальнейшее увеличение
нагрузки.
Хрупкие
материалы
Разрушающей считается
нагрузка, при которой
хотя бы в одном из
элементов конструкции
возникают напряжения,
равные в .

6.

Расчеты на прочность бывают двух видов:
проверочный
проектировочный
При этом решается одна из трех задач:
• проверка выполнения условия прочности
Производится проверка величины максимальных напряжений при
заданных размерах и форме сечений элементов, нагрузке и
свойствах материалов: σт; σв;nт;nв
• определение размеров (площади) сечения
Производится для сечения заданной формы при известной
нагрузке и свойствах материалов;
• определение допускаемой нагрузки
определяется грузоподъемность конструкции при заданных форме
и размерах ее элементов и свойствах материалов.

7. Геометрические характеристики плоских сечений

y
А
dА
y
yc
Рассмотрим в плоскости координат Х,У
произвольное
сечение
(замкнутую
область) площадью А.
C – центр тяжести сечения.
C
Выделим элементарную площадку dА.
x
0
xc
- полярный радиус.
x
Статическими моментами сечения относительно осей у и х
называются интегралы вида:
S x ydА
А
S y xdА
А
Статические
моменты
сложного
сечения
могут
принимать
положительные (+), отрицательные (-) значения и быть равными нулю.
Размерность см3.

8. Осевыми моментами инерции сечения называются интегралы вида:

J x y 2 dА
J y x dА
2
А
А
Полярным моментом инерции сечения относительно
начала координат называется интеграл вида:
J dА
2
где:
- полярный радиус.
А
Осевые и полярный моменты инерции могут
принимать положительные и равные нулю значения.
Размерность:
[ см4 ].

9.

J x 2 y 2 dА
А
2
x
dА
А
2
y
dА J y J x
А
Полярный момент инерции равен сумме осевых моментов инерции.
Следствие:
Для симметричных сечений (круг, квадрат):
J 2J x
Центробежным моментом инерции сечения
называется интеграл вида:
J xу хydА
А
Центробежный момент инерции может принимать
положительные, отрицательные или равные нулю значения.
Размерность:
[ см4 ].

10.

y1
Теорема Штейнера о параллельном
переносе осей.
y
b
А
у
Рассмотрим сечение произвольной
формы площадью А.
dА
С
у1 = y + a
Через его центр тяжести С
проведем оси х и у.
x
a
Введем
новую
систему
x1
координат
X1O1Y1,
оси,
которой параллельны осям
О1
x1= x + b
системы XСY.
Обозначим расстояние между осями х и х1 как а ;
а расстояние между осями у и у1 как b.
По чертежу видно, что:
х
x1 x b , y1 y a;
Тогда:
S x1 y1dА y а dА ydА аdА S x аА
А
А
А
А
S у1 х1dА x b dА xdА bdА S y bА
А
А
А
А

11.

S x S x1 аА
Можно записать:
если
Следствие:
если
S x1 аА,
S y1 bА,
то
то
S y S y1 bА
S x 0;
S y 0;
Оси, относительно которых статические моменты равны
нулю, называются центральными.
Точка пересечения центральных осей х и у (точка С с
координатами b=хc и a=yc) называется центром
тяжести сечения.
xc
Sy
А
xdА
А
А
Sx
yc
А
ydА
А
А

12.

Итак, получены формулы
при параллельном переносе осей:
S x1 аА
J x1 J x a А
2
J x1 y1 J xy abА
S y1 bА
J y1 J y b 2 А

13.

Осевые моменты инерции простых сечений
Прямоугольник.
Пример.
Рассмотрим прямоугольник с вертикальным ребром h
и горизонтальным ребром b.
Через его центр тяжести С проведем оси х и у.
y
C
h
dy
y
x
Определим моменты инерции относительно осей
х и у:
На расстоянии у от оси х выделим элемент высотой dу.
Площадь элемента dA=bdу
b
3
3
h
h
h
h
3 2
2
y
2 2 bh3
2
2
J x y dА b y dy b
= b
3
3
3 h
12
h
А
2
2
b
b
b 3 b 3
2
3 2
x
3
2
2
2
hb
J y x 2 dА h x dx h
= b
3
b
b
А
3
3
12
2
2
bh 3
Jx
12
hb 3
Jy
12

14.

Круг.
Пример.
у
Рассмотрим круг диаметром D = 2R.
R
Через центр тяжести О проведем оси
координат х и у.
О
x
dA=2 r dr
4
D
4 R
R
4
r
R
2
J 2 dА 2 r 3dr 2
4 0
2
2
А
0
Т.к. для круга
D
x y R
2
и
J Jx J y
D 4
0 ,1D 4
32
то:
R 4 D 4
Jx Jy
2
4
64
J
Итак, получено для круга:
D 4
Jx
64
D 4
Jy
64
D 4
Jp
32

15.

Моменты сопротивления сечений
Осевым моментом сопротивления сечения изгибу
называется отношение осевого момента инерции к
наибольшему расстоянию от центра тяжести сечения
до наиболее удаленной точки по соответствующей
оси.
Jx
Wx
ymax
Wy
Jy
xmax
Осевой момент сопротивления сечения изгибу может
принимать положительные или равные нулю значения.
Размерность:
[ см3 ].

16.

Полярным моментом сопротивления сечения
кручению
называется
отношение
полярного
момента инерции сечения к максимальному
полярному радиусу этого сечения.
J
W
max
Полярный момент сопротивления сечения может
принимать положительные или равные нулю значения.
Размерность:
[ см3 ].

17.

Рассмотрим моменты сопротивления некоторых простых сечений.
Прямоугольное сечение.
Итак, получено:
y
О
h
x
3
2
Jx
bh
2
bh
Wx
ymax
12 h
6
Wy
b
Jy
xmax
hb 3 2 hb 2
12 b
6
Круглое сечение.
у
О
d
Jx
d 4 2 d 3
Wx
ymax
64 d
32
d3
Wx W y
32
x
4
J
d 2 d 3
W
max
32 d
16
bh 2
Wx
6
hb 2
Wy
6
Итак, получено:
d 3
Wx Wy
32
d 3
W
16