Потенциал и напряженность электрического поля на оси тонкого равномерно заряженного кольца

1. Задача 1. Потенциал и напряженность электрического поля на оси тонкого равномерно заряженного кольца

Получить выражение для потенциала и напряженности электрического
поля на оси тонкого равномерно заряженного кольца радиуса R .
Линейная плотность заряда
.
const , показать, что при z R
Считая, что
потенциал поля кольца совпадает в пределе с потенциалом поля точечного
заряда.
Результирующая сумма
компонент вектора
напряженности по радиусу по
всему кольцу равна нулю,
а сумма компонент по оси Oz
даст значение вектора
напряженности и он направлен
по оси Oz
1

2. Ведем цилиндрическую систему координат. Пусть ось совпадает с осью кольца и начало координат с центром кольца, – расстояние от

Ведем цилиндрическую систему координат. Пусть ось
с осью кольца и начало координат с центром кольца,
от центра кольца до точки наблюдения на оси.
dl
q
2 R
совпадает
– расстояние
Oz
z
dq dl Rd
– элемент длины тонкого кольца
Потенциал для точечного заряда
d
dq
4 0
( z)
2
0
Rd
R 2 z 2 4 0
R
4 0
1
1
R2 z 2
Напряженность поля кольца
d
1
R2 z 2
R
2 0
Ez ( z)
1
R2 z 2
d
R
dz 2 0
E z ( z ) E z ( z )
R
( z ) ( z )
z
2
z
2
3
2

3. Предельный случай

R
( z)
2 0
R
0
z
R
2 0
Использовали
R
z
1
2
2
2 0
R z
1
2
R
1
z
z
2
R 1 R
1
2 0 z 2 z
1 1 R
1
z 2 z
(1 )
1
2
2
R
1
o
4 0 z
z
1
0
q
2
R
q
2
z R
Вывод. В предельном случае при
потенциал поля кольца совпадает с потенциалом поля точечного заряда
3

4. Задача 2. Получить выражение для напряженности электрического поля, создаваемое тонкой равномерно заряженной дугой окружности

радиуса R в, центре О ее кривизны .
Линейная плотность заряда
.
4

5. Задача 3. Найти силу взаимодействия отрезка длиной , равномерно заряженного с линейной плотностью заряда с точечным зарядом ,

Задача 3. Найти силу взаимодействия отрезка длиной l ,
равномерно заряженного с линейной плотностью заряда
с
точечным зарядом q 0
, находящимся на продолжении отрезка
на расстоянии a от ближайшего его конца.
Пусть ось Ox проходит через отрезок и точечный заряд. Начало
координат совпадает с началом отрезка. Тогда координата точечного
заряда равна
a l
dq dx
.
dq q0
1
dF q0dE
4 0 (l a x)2
5

6. Задача 4. Ось равномерно заряженного диска радиуса совпадает с осью . Центр диска находится в начала координат. Диск заряжен

Задача 4. Ось равномерно заряженного диска радиуса R совпадает
с осью Oz . Центр диска находится в начала координат. Диск
заряжен равномерно с поверхностной плотностью заряда .
Найти потенциал электрического поля, создаваемого диском в точках
оси . Рассмотреть предельный случай:
z R
6

7. Введем цилиндрическую систему координат

• Рассмотрим точечный заряд
dq dS rdrd
Запишем потенциал ЭС поля, создаваемого этим точечным зарядом, в
точке на оси диска
d
dq
4 0
rdrd
1
2
2
2
2
4
0
r z
r z
1
2 R rdrd
R rdr
( z)
4 0 0 0 r 2 z 2 2 0 0 r 2 z 2
4 0
R2 z2
z2
dt
1/ 2
2 0
t
R z
2
2
z
7

8. Предельный случай

lim ( z ) lim
z
z 2
0
2
z
R
1 1
R 2 z 2 z lim
z
z 2
z
0
z 1 R 2 R 2
R 2 1
q 1
o 2
2
z 4 0 z 16 0 z
z 2 2 z
z
0
• Вывод. При z потенциал электрического поля заряженного
диска совпадает с точностью до константы с потенциалом поля
точечного заряда величиной Q=q/4.
8

9. Задача 5. Найти потенциал ограниченной цилиндрической поверхности радиуса и длиной с зарядом , равномерно распределенным по

Задача 5. Найти потенциал ограниченной цилиндрической
поверхности радиуса R
и длиной 2a с зарядом q
равномерно распределенным по поверхности.
,
• Способ 1. Нахождение потенциала электрического поля, создаваемого
заряженной цилиндрической поверхностью через потенциал поля
заряженной окружности (тонкого кольца).
qкольца
кольца R
1
1
кольца( z )
, qкольца 2 R кольца
2
2
2
2
4 0 R z
2 0 R z
Рассматриваемая цилиндрическая поверхность – это совокупность
q
заряженных колец с зарядом dq
dz
2a
dq
q
2 R 2a
– заряд цилиндра
2a
dz 2 R dz
z – координата кольца
9

10. Потенциала поля заряженной цилиндрической поверхности

a
q / 2a
( z)
a 4 0
1
R ( z z )
2
2
dz
Способ 2. Нахождение потенциала заряженной цилиндрической
поверхности через потенциал поля точечного заряда.
Цилиндрическая поверхность – это совокупность элементарных площадок
поверхности с зарядом
q
q
dq dS
2 R 2a
Rd dz
4 a
d dz
q 2 a
d dz
( z)
4 0 4 a 0 a R 2 ( z z ) 2
1
10

11. Ограниченный цилиндр

11