Дифференциальное исчисление функций одной переменной

1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

2. Основные вопросы:

• Понятие производной.
Геометрический и физический
смысл.
• Понятие сложной функции.
Производная сложной функции.
• Производные высших порядков.
• Исследование функций с помощью
производной
2

3.

Предел отношения приращения
функции у к приращению аргумента х
при условии, что - называется
производной данной функции и имеет
вид:
y
f ' ( x) lim
x 0 x
3

4.

4

5.

5

6.

BC y
tg
AC x
y
B
y
y
y0
Итак,
y
х
A
С
0
х0
Секущая
х
х
y
tg k
x
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
х
y kx b
6

7. Геометрический смысл отношения при

y
x
y f (x)
y
х 0
y
tg k
x
y
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
y
y kx b
х0
х
х
х
0х
При
х стремится
0 угловойзанять
коэффициен
секущей Токесть,
угловому
Секущая
положениеткасательной.
касательная есть предельное положение секущей.
коэффициен ту касательной.
0
7
Автоматический показ. Щелкните 1 раз.

8.

f ( x) tg k
y f (x)
y
k – угловой коэффициент
прямой(касательной)
y kx b
y
0
х0
х
0
х
х
Геометрический смысл производной
Производная от функции в данной точке равна
угловому коэффициенту касательной, проведенной к
графику функции в этой точке.
8

9. Физический смысл производной функции в данной точке

• Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата
изменяется по закону
, то скорость ее движения
в момент
времени
равна производной
т.е.
x (t ),
(v(t ) x (t )).
a v (t ).
Ускорение движения
есть скорость изменения скорости, поэтому
ускорение движения в момент времени t равно производной v (t ).
a(t ) v (t ) x (t ).
9

10.

Точка движется прямолинейно по закону
Вычислите скорость движения точки:
а) в момент времени t;
б) в момент времени t=2с.
Решение.
S (t ) 2t 3t.
3
а)
V (t ) S (t ) (2t 3t ) 6t 3
б)
V (2) 6 * 2 3 21( м / с)
3
2
2

11.

Найдите скорость и ускорение для точки, движущейся по
закону
S (t ) t 2 2t 3 :
а) в момент времени t;
б) в момент времени t=3с.
Решение.
2
а )V (t ) S (t ) (t 2t 3) 2t 2
a (t ) V (t ) S (t ) 2
б )V (3) 2 * 3 2 8( м / с)
a (3) 2( м / с )
2

12. 1. Производная от числа (константы) равна нулю.

С
0
12

13. 3. Производная алгебраической суммы (разности) функций равна алгебраической сумме производных этих функций:

f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
13

14. 4. Производная произведения 2-х функций равна сумме произведений каждой из этих функций на производную другой:

f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
14

15. 5. Производная частного 2-х функций равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя на производную

f ( x)
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
2
g ( x)
g ( x)
15

16. 6. Постоянный множитель C можно выносить из-под знака производной:

cf x
cf ( x )
16

17. Производная показательной функции

f ( x) e
Функция
дифференцируема в
каждой точке области
определения, и
x
(e ) e .
x
x
Показательная функция
y a
x
дифференцируема в
каждой точке области
определения, и
(a ) a ln a
x
x
17

18. Производные некоторых элементарных функций.