Введение в асимптотические методы. Лекция 9
1. Основная идея метода
2. Осциллятор Дюффинга.
3. Осциллятор Дюффинга.
4. Осциллятор Дюффинга.
5. Задача Лайтхилла: внешнее разложение
6. Задача Лайтхилла: метод растянутых координат
7. Задача Лайтхилла: метод растянутых координат
8. Задача Лайтхилла: метод растянутых координат
9. Волны на мелкой воде. Постановка
10. Волны на мелкой воде. Постановка
11. Волны на мелкой воде. Характеристики
12. Волны на мелкой воде. Нахождение xарактеристик
13. Волны на мелкой воде. Нахождение xарактеристик
14. Волны на мелкой воде. Время опрокидывания
15. Упражнение к лекции 9
500.50K
Category: mathematicsmathematics

Метод растянутых координат. (Лекция 9)

1. Введение в асимптотические методы. Лекция 9

Метод растянутых координат

2. 1. Основная идея метода

Метод предполагает, что f ( x; ) имеет тот же вид, что f ( x;0) , но
координата x при этом слабо сдвинута (растянута).
Примеры
Сдвиг
1
f ( x; )
x
1 2
2 3
x x
x
0
He равномерно пригодное разложение. Неприятности при x
Растяжение
f ( x; ) sin(1 ) x
1
sin x x cos x 2 x 2 sin x
2
0
1
He равномерно пригодное разложение. Неприятности при x
АР конструируется в виде f ( x; )
x
для f было равномерным.
f 0 ( s) f1 ( s)
s x1 (s)
так, чтобы разложение
Метод не работает если f ( x; ) существенно отличается от f ( x;0)
(например в задачах с пограничным слоем)

3. 2. Осциллятор Дюффинга.

x x x3 0, x(0) 1, x(0) 0
Регулярное разложение:
x cos t x1 (t )
x1 x1 cos3 t 34 cos t 14 cos3t , x1 (0) 0, x1 (0) 0
резонансные члены
x1 83 t sin t 321 cos t cos3t
He равномерно пригодное разложение. Неприятности при t 1 связаны
с тем, что период осцилляций слабо отличается от 2
x(t ; ) x0 ( s ) x1 ( s ) 2 x2 ( s )
t s t1 ( s ) 2t2 ( s )
2
2
1 d2
d ds d
1 d
d
t d
,
3
2
2
dt dt ds t ( s ) ds dt
t ( s ) ds t ds
1 2 t1 O
2
d2
d
2
t
O
ds
1
ds 2

4. 3. Осциллятор Дюффинга.

x x x3 0, x(0) 1, x(0) 0
0 : x0 x0 0, x0 (0) 1, x0 (0) 0 x0 ( s) cos s
1 : x1 x1 x03 2t1 x0 t1 x0
3
4
2t1 cos s t1 sin s 14 cos 3s
Для равномерной пригодности разложения нужно за счет
выбора t1 удалить из правой части резонансные члены
Удобно выбрать t1 так чтобы t1 (0) 0
t
s 83 s O 2 s
1 x t 0 x s O 2 x s 0 O
0
dx
dx
ds
x(0) s 0
dt t 0 ds t 0 dt t 0
t1 83 s
t 83 t O 2
x (0) x (0) O
O 1 O
2
2
0
1
2
t1 0
t1 83
3
8
2
x0 (0) 1
x1 (0) 0
x0 (0) 0
x1 (0) 0

5. 4. Осциллятор Дюффинга.

x x x3 0, x(0) 1, x(0) 0
Аналогично, для 2
x1 321 cos s cos3s
57
t2 256
s,
Период колебаний
1
x1 1024
23cos s 24cos3s cos5s
57
T 2 1 83 256
2
Обратим внимание, что все tk оказались прямо пропорциональны s .
Поэтому изначально можно было искать решение данной задачи в более
простом виде
x(t; ) x0 ( s) x1 ( s) 2 x2 ( s)
t (t ; )
s 1 t1 t2 2
В такой форме метод растянутых координат называют методом
Линдштедта – Пуанкаре.

6. 5. Задача Лайтхилла: внешнее разложение

x y
dy
(2 x ) y 0,
dx
0 x 1
y y0 ( x ) y1 ( x )
Регулярное разложение:
x
y (1) Ae 1 0
dy0
dy
(2 x )dx
(2 x ) y0 0 0
y0 const x 2e x
dx
y0
x
dy
dy
x 1 (2 x ) y1 y0 0 A2e 2 x x 4 2 x 5 , y1 (1) 0
dx
dx
y0 Ax 2e x
1
Метод вариации произвольной постоянной
1
y1
A2e x x 2 2t 4dt
x
y1 A2e x x 2 e t t 3 2t 4 dt
x
2
A2 x 5
3
x 0
1/ 3
Принятое ФАР непригодно в окрестности нуля, оно разваливается при x

7. 6. Задача Лайтхилла: метод растянутых координат

y ( x; )
y0 ( s) y1 ( s) 2 y2 ( s)
x( s; )
s x1 ( s) 2 x2 ( s)
dy dy ds y0 y1
dx dx ds 1 x1
dy
x y (2 x ) y 0
dx
y0 y1 x1
sy0 (2 s) y0 0
sy1 (2 s) y1 (2 s) y0 x1 y0 y0 x1 y0 y0
x 1 s x1 ( s ) O 2 1 s 1 x1 (1) O 2
Ae 1 y 1 x1 (1)
y(1) x1(1) y (1)
Граничное условие
y0 As 2e s
y0 (1) y1 (1) x1 (1) y (1)
y0 (1) Ae 1 ,
y1 (1) y0 (1) x1 (1)

8. 7. Задача Лайтхилла: метод растянутых координат

sy1 (2 s) y1 (2 s) y0 x1 y0 y0 x1 y0 y0
Метод вариации произвольной постоянной
y0 As 2e s
y1 Fy0
sy1 (2 s) y1 F sy0 (2 s) y0 F sy0
0
d y1 1
2
s
3
2
(2
s
)
x
x
Ae
2
s
s
1
1
ds y0 s
s
Выберем x1 так, чтобы устранить главную особенность в правой части
x
A
A
d y1
2 3
4
s
4
3
x1 1 3 x1 2
A
s
2
s
e
2
s
s
s s
3s
ds y0
3
1
2
1
t
4
3
y1 A e s 3 2 e 2t t dt
s
3s 3s
2 s 2

9. 8. Задача Лайтхилла: метод растянутых координат

y0 As 2e s
y1
1
2
1
y1 A e s 3 2 e t 2t 4 t 3 dt
s
3s 3s
2 s 2
1
2
1
A e s 3 2 2t 4 t 3 dt
s
3s 3s
2 s 2
5 2 4
As
6
По-прежнему для малых s равномерной пригодности разложения нет,
оно разваливается на этот раз при s 1/ 2
Выигрыш состоит в том, что интервал s 1/ 2 лежит вне интересующей нас
области 0<x<1 решения!
1/ 3
A
A
1/ 2
0 x ( s0 ; ) s0
s
0
3s0 2
3
Поэтому уже самое грубое приближение
y Ae s s 2 ,
x s
оказывается равномерно пригодным
A
3s
2
3
y (0) A
A
2/3
O 1/ 3

10. 9. Волны на мелкой воде. Постановка

h
h
u
Сохранение массы
u h
0
t
x
x
(1)
u
u h
u
0
Сохранение импульса
t
x x
1 2 2 Чтобы волна двигалась
t
0
:
u
sin
x
,
h
1
sin
x
sin x в одном направлении
(2)
4
Регулярное разложение h 1 h1 2 h2 , u u1 2u2
h1 u1
h1 u1 h1 u1
0
h1 sin( x t )
0 h1 u1 f ( x t )
t x
t
x
u1 h1
0 h1 u1 h1 u1 0 h1 u1 f ( x t ) 0 u1 sin( x t )
t x
t
x
h 1 sin( x t ) 2 43 t sin 2( x t ) 14 sin 2 ( x t ) He равномерно пригодное
1
2 3
t
разложение.
u 0 sin( x t ) 4 t sin 2( x t )
Из-за того, что характеристики (1) слабо отличаются от x t const

11. 10. Волны на мелкой воде. Постановка

Причина неудачи состоит в том, что линеаризованное уравнение имеет в
качестве характеристик прямые x t const , в то время как характеристики
нелинейного уравнения слабо отличаются от них. Решение типа бегущей
волны в своей основе правильно: наше разложение разваливается, потому,
что положение этой волны на больших временах дается им неверно.
Поэтому рассматриваемая задача может в принципе решаться методом
растянутых координат, но такими координатами должны выступать
характеристики.
Преобразуем систему исходных уравнений к характеристической форме
Q
Q
c
0
t
x
для некоторой величины Q, распространяющейся со скоростью c

12. 11. Волны на мелкой воде. Характеристики

Преобразование исходных уравнений к характеристической форме
h
h
u
u
h
0
ut ht u h ux 1 u hx 0
ut ux h x
u
0
t
x x
Пара характеристических уравнений
1 u h
h 1/ 2 u h1/ 2 u 2h1/ 2 0
1 u
x
t
Введение новых независимых переменных (характеристик) ,
x x ,
t x
t 0: x
(выбор параметризации)
t t ,
t x
x
t
u h1/ 2
u 2h1/ 2 0 u 2h1/ 2 f ( ) 2 2 sin
1/ 2
Из НУ
1/ 2
x
1/ 2 t
u
2
h
f
(
)
2
u
2
h
0
u h

13. 12. Волны на мелкой воде. Нахождение xарактеристик

решение
задачи
u , sin
h , 1 sin 14 2 sin 2
x x ,
t t ,
?
x
t
2
1 32 sin
x
,
;
x
,
x
,
x2 ,
0
1
x
t
t , ; t0 , t1 , 2t2 ,
1 12 sin
x0
t
1
0 x0 t0 f
x
0
2
0
:
1
x0 t0
t
0
2
x0 t0 f
t 0: x
x0 , t0 0

14. 13. Волны на мелкой воде. Нахождение xарактеристик

:
1
t
x1 t1 3
x1 0, t1 0
2 sin 0 34 sin
x1 t1 34 sin f t1 34 sin
t
x1 t1 1
1
sin 0 sin
x1 0, t1 0
2
4
x1 t1 14 cos f t1 14 cos cos
x1 83 sin 81 cos cos
t1 83 sin 81 cos cos
2 :
1
x2 128
21cos 2 22 11sin cos sin cos 12sin cos
1
t2 128
14 15cos 2 13sin cos sin cos 12sin cos

15. 14. Волны на мелкой воде. Время опрокидывания

Неединственность начинается тогда, когда якобиан преобразования
t, x , обращается в нуль
0
x t x t
t t
2h1/ 2
t 1
1
2 18 sin 83 sin 2 128
... 0
h1/ 2 0
t
0
12 83 ( ) cos 14 sin 2 15
( )sin 2 O(1)
64
4
2
1 34 sin O 2
t
1 O 2
3 cos
3 cos
Волна опрокидывается при
t 23 1 O( ) в точках
x 23 1 (2n 1) O( )

16. 15. Упражнение к лекции 9

1.
Найти третий член асимптотического разложения в задаче об
осцилляторе Дюффинга.
2.
Функция y(x) удовлетворяет уравнению
dy
x2 y
y 0, y (1) e 0
dx
Найти y(0)
3.
Рассмотреть задачу
x y y y 0,
y(1) 1
А) Построить прямое разложение . Найти область, в которой оно
разваливается.
Б) Использовать метод растянутых координат для нахождения
равномерно пригодного разложения.
В) Построить точное решение, поменяв местами зависимую и
независимую переменную, и сравнить его с разложением.
English     Русский Rules