Прямоугольная система координат в пространстве

Правила действий над векторами с заданными координатами

1.77M

Category: $mathematics$ mathematics

Метод координат

1. МЕТОД КООРДИНАТ

2. Прямоугольная система координат в пространстве

3.

Прямоугольная система координат
z
1
0
1
x
1
y

4.

Определение
Прямые с выбранными на них направлениями,
называются осями координат и обозначаются: Ох, Оy, Оz.
z
Ох – ось абсцисс;
Оy – ось ординат;
1
Оz – ось аппликат;
Oxyz
0
1
x
1
y

5.

z
z
1
1
0
1
x
1
0
y
z
Оху
x
1
0
x
1
1
Оzх
y
1
1
Оуz
y

6.

z
положительная полуось
отрицательная полуось
1
0
1
x
1
y

7.

z
М(х;у;z)
M
1
0
1
y
1
x
Запомните! Первой указывают абсциссу (х), второй –
ординату (у), третьей — аппликату (z).

8. Нахождение координат точек

Точка лежит
на оси
в координатной плоскости
Ох (х; 0; 0)
Оху (х; у; 0)
Оу (0; у; 0)
Оz (0; 0; z)
Охz (х; 0; z)
Оуz (0; у; z)

Даны точки:
А (2; -1; 0)
В (0; 0; -7)
С (2; 0; 0)
D (-4; -1; 0)
Е (0; -3; 0)
F (1; 2; 3)
Р (0; 5; -7)
К (2; 0; -4)
Назовите точки, лежащие
в плоскости Оуz
Назовите точки, лежащие
в плоскости Охz
Назовите точки, лежащие
в плоскости Оху

10.

Задача 402.
Дано:
ABCDA1B1C1D1– куб;
A(0; 0; 0);
B(1; 0; 0);
D(0; 1; 0);
A1(0; 0; 1).
Найти:
координаты точек.
Решение:
z
1
A1(0; 0; 1);
D1
C1
B1
A(0; 0; 0);
D(0; 1; 0);
0
1
1
B(1; 0; 0);
x
C
y

11. Координаты вектора

12. Координаты вектора

2. Координаты вектора
На каждом из
положительных
полуосей отложим
от начала
координат
единичный вектор,
т.е. вектор, длина
которого равна
единицы.
z
k
j
O
i
x
y

13. Разложение по координатным векторам

Любой вектор a можно разложить по
координатным векторам, т.е.
представить в виде
а = xi + yj + zk
Причем коэффициенты разложения x, y, z
определяются единственным образом.

14. Запись координат вектора.

Координаты вектора а
будут записываться в
фигурных скобках после
обозначения вектора: а {x;
y; z}.
На рисунке справа
изображен прямоугольный
параллелепипед имеющий
измерения: OA1 =2, OA2 =2, OA3
=4.
Координаты векторов
изображенных на этом
рисунке, таковы:
a {2; 2; 4}, b {2; 2; -1},
A3 A {2; 2;0}, i {1; 0; 0},
j {0;1;0}, k {0; 0; 1}
z
A3
A
a
k
j
i
A2
O
A1
x
b
y

15. Правила действий над векторами с заданными координатами

1. Равные векторы имеют равные координаты
Пусть
а х1 ; у1 ; z1
b х2 ; у2 ; z2
, тогда
a b
х1 = х2; у1 = у2; z1 = z2

16.

2. Каждая
координата суммы двух (и более)
векторов равна сумме соответствующих
координат этих векторов
а х1; у1; z1
b х2 ; у2 ; z 2
с a b
Следовательно с х1 х2 ; у1 у2 ; z1 z 2

17.

3. Каждая координата произведения вектора на
число равна произведению соответствующей
координаты на это число.
а х1 ; у1 ; z1

18.

4. Каждая координата разности двух векторов
равна разности соответствующих координат
на этих векторов.
а х1 ; у1 ; z1
b х2 ; у2 ; z2
с a b
с х1 х2 ; у1 у2 ; z1 z 2

19. Выполнить задание устно:

• Даны векторы:
а 3;5; 7
b 4; 1;3
c 0;1;8
• Найти вектор равный:
а) 2 а 2 а 6;10; 14 б ) 3 b
в) a b
a b 7;4; 4
г) b с
b с 4; 2; 5
д) а b d
d 3;0;0
3 b 12;3; 9
e) 3d 2c
а b d 10;4; 4
3d 2c 9; 2; 8

20. Основные формулы:

1. Координаты вектора
A( x1, y1, z1 )
B( x2 , y2 , z2 )
AB{x2 x1; y2 y1; z2 z1}
2. Длина вектора
AB{x; y; z}
AB x 2 y 2 z 2