Планирование эксперимента. Анализ результатов. Планирование 2-го порядка.
Пример проведения планирования 1-го порядка. Постановка задачи
Пример. Построение модели
Пример. Проверка адекватности
Пример. Проверка линейности
Пример. Проверка линейности
Пример. Проверка значимости коэффициентов
Принятие решений после построения линейной модели
Планы второго порядка
Планы второго порядка
Центральный композиционный план (ЦКП) для двух факторов
ЦКП для двух факторов
Количество опытов ЦКП
Выбор «звездного» плеча (для ортогонального планирования)
Расчет коэффициентов
Дисперсии оценивания
Проверка значимости коэффициентов
Задача оценки точности
Оценивание среднего значения совокупности (задача 2)
Оценивание среднего значения совокупности (задача 1)
Пример. Оценка точности
Оценивание дисперсии совокупности
Сравнение двух распределений
Стратегическое и тактическое планирование
Некоторые проблемы стратегического планирования
Этапы стратегического планирования
Структурная модель
Функциональная модель
Примеры критериев оптимальности
Выбор критерия оптимальности
Подбор компонентов функциональной модели
Пример. Стратегия поездки из пункта А в пункт Б
702.00K
Category: mathematicsmathematics

Планирование эксперимента. Анализ результатов. Планирование 2-го порядка

1. Планирование эксперимента. Анализ результатов. Планирование 2-го порядка.

2. Пример проведения планирования 1-го порядка. Постановка задачи

Покупатели приходят в магазин с одним продавцом.
Время между приходом покупателей и время обслуживания
подчиняются экспоненциальному закону.
Необходимо определить функциональную зависимость между
временем прихода, временем обслуживания и средним
временем нахождения покупателя в очереди:
Тср.оч.= f(Тприх, Тобсл)
-?
Предполагаем линейную зависимость.
Пусть время прихода – в пределах от 5.0 до 6.0 мин.
время обслуж. – в пределах от 3.5 до 3.8 мин.
Тогда:
-1
+1
Тприх: 5
6
Тобсл: 3.5
3.8

3. Пример. Построение модели

Расчет
коэффициентов:
N x0 x1 x2 y1
y2 y3 y4 y5
yср
1
+
-
-
9.2 8.2 7.2 7.6 7.3 7.956
b0 6.948
2
+
-
+
10
b1 1.681
3
+
+
-
4.7 4.9 4.6 4.6 4.5 4.676
b2 0.632
4
+
+
+
4.7 5.7
Модель:
9.3
9
6
8.9 9.3
9.3
6.5 6.4 5.857
y 6.948 1.681 x1 0.632 x2

4. Пример. Проверка адекватности

Выборочная дисперсия:
Дисперсия адекватности:
S 2 0.382
S ад2 0.034
S ад2
Критерий Фишера: F
1
2
S
Модель
адекватна

5. Пример. Проверка линейности

Опыт в центре эксперимента:
N x0 x1 x2
-1
Тприх: 5
Тобсл: 3.5
1
+1
6
3.8
0
+

-
-
yср
7.956


4
+
+
+
5
+
0
0
5.857

6. Пример. Проверка линейности

Опыт в центре эксперимента:
N x0 x1 x2
-1
Тприх: 5
Тобсл: 3.5
1
+1
6
3.8
Критерий Стьюдента:
t
b0 y0 N
S
2
0
5.5
3.65
+

-
-
yср
7.956


4
+
+
+
5.857
5
+
0
0
7.791
2.73 tтабл 2.131
Модель НЕ
линейна

7. Пример. Проверка значимости коэффициентов

Модель:
y 69.48 16.81 x1 6.32 x2
Критерий Стьюдента:
Коэффициенты:
t
bi N
S
2
t табл
t1 5.44
Значим
t 2 2.04
НЕ Значим

8. Принятие решений после построения линейной модели

Модель:
адекватна
неадекватна
(увеличение точности)
линейна
нелинейна
(планы 2-го порядка)
Коэф-ты:
значимы
незначимы
1) узкие интервалы варьирования
2) большая ошибка эксперимента

9. Планы второго порядка

Уравнение второго порядка
k
y b 0 bi xi
i 1
ПФЭ
N ?k
k
2
b
x
x
b
x
ij i j ii i
1 i j k
i 1

10. Планы второго порядка

Уравнение второго порядка
k
y b 0 bi xi
i 1
ПФЭ
N 3k
k
2
b
x
x
b
x
ij i j ii i
1 i j k
i 1
Центральный композиционный план
N N 0 2k n0
N0 2
k l
Опыты из планир-я
1-го порядка

11. Центральный композиционный план (ЦКП) для двух факторов

y b0 b1 x1 b2 x2 b12 x1 x2 b11 x12 b22 x22
x2
5 уровней:
α
+1
-α -1
0
+1 +α
-1
+1
-1
x1

12. ЦКП для двух факторов

Составная
часть ЦКП
Ядро плана
«Звездный»
план
2
2
Центр. Точка

x1
x0
x2
x12
x1 x2
x22
1
+


+
+
+
2
+
+


+
+
3
+

+

+
+
4
+
+
+
+
+
+
5
+
0
0
2
0
6
+
0
0
2
0
7
+
0
0
0
2
8
+
0
0
0
2
9
+
0
0
0
0
0

13. Количество опытов ЦКП

k
Ядро плана
3k
N=2k-d +2k+1
2
22
9
9
3
23
27
15
4
24
81
25
5
25-1
243
27

14. Выбор «звездного» плеча (для ортогонального планирования)

( N0 N N0 ) 2
N N 0 2k 1
k
Ядро плана
(N0)
α
2
22
1,000
3
23
1,215
4
24
1,414
5
25
1,596
6
26-1
1,547

15. Расчет коэффициентов

Пусть b0 b1 b2 b3 b12=b4 b13=b5 b23=b6 b11=b7 …
N
bi
x
l 1
N
il
yl
2
x
il
l 1
N
b0
y
l 1
N
l

16. Дисперсии оценивания

S 2 {bi }
S
2
N
x
l 1
2
il
2
S
2
S {b0 }
N
2
S
где
– выборочная дисперсия

17. Проверка значимости коэффициентов

Критерий Стьюдента:
t расч
bi
S 2 {bi }
Коэффициент значим, если
t расч t табл ( ; f N (n 1))

18. Задача оценки точности

Задача 1: оценка точности и достоверности при заданном
методе реализации модели, при заданном объеме
выборки;
Задача 2: оценка необходимого числа реализаций при
заданных точности и достоверности результатов.
Желаемую степень точности можно задавать:
а) в виде доли стандартного отклонения;
б) в процентах от величины среднего значения;
в) в абсолютных величинах.

19. Оценивание среднего значения совокупности (задача 2)

Задача: необходимо построить такую оценку истинного
среднего значения совокупности, что
P d X d 1
где
X — выборочное среднее,
1 — вероятность того, что интервал
содержит
d
X
Необходимый для этого условия объем выборки:
n Z / 2 d 2
2
где
Z 2— двусторонняя стандартная нормальная статистика (допустимая
величина риска);
d — допустимая разность между оценкой и истинным значением
параметра;
— величина изменчивости совокупности,

20. Оценивание среднего значения совокупности (задача 1)

Задача: какой точности d мы достигнем при заданном
объеме выборки n?
P d X d 1
Достигаемая точность:
d
где
S 2 t
n
S 2 — выборочная дисперсия, полученная на выборке n;
t
— критерий Стьюдента

21. Пример. Оценка точности

- неизвестна.
Точность в долях стандартного отклонения:
d
4
Необходимый для этого условия объем выборки:
при 0.05
Z / 2
n
2
d2
Z 2 1.96
2 Z 2 2 4 2
2
16
1
.
96
61.46 62
2

22. Оценивание дисперсии совокупности

Задача: построение доверительных интервалов
P (1 d ) 2 S 2 (1 d ) 2 1
где
0 d 1 — число, характеризующее степень близости оценки S 2
к истинной дисперсии
2
.
Необходимый для этого условия объем выборки:
n 1
2 Z
d2
2
2

23. Сравнение двух распределений

Задача: проверка близости распределения отклика
модели к некоторому другому распределению.
Под желаемой точностью (d ) будем понимать максимальную
разность сравниваемых распределений во всех точках
Необходимый для этого условия объем выборки:
n
d
2
где — табличное значение функции Колмогорова.

24. Стратегическое и тактическое планирование

Стратегическое планирование (первая
составляющая планирования экспериментов с
моделями систем) ставит целью решение задачи
получения необходимой информации о системе с
помощью модели, с учетом ограничения на ресурсы.
Тактическое планирование (вторая составляющая) —
это определение способа проведения каждой серии
испытаний модели, предусмотренных планом
эксперимента.

25. Некоторые проблемы стратегического планирования

сложность построения плана
эксперимента;
наличие большого количества
факторов;
многокомпонентность функции
отклика;
ограниченность ресурсов проведения
эксперимента.

26. Этапы стратегического планирования

построение структурной модели
осуществляется исходя из того, что
должно быть сделано;
построение функциональной модели
производится исходя из того, что может
быть сделано.

27. Структурная модель

Структурная модель плана эксперимента
характеризуется числом факторов и числом уровней
для каждого фактора.
Число элементов эксперимента
где
N c q1q2 ...qk
,
k — число факторов эксперимента;
qi — число уровней i-го фактора.
Число уровней зависит от предполагаемой функциональной
зависимости между откликом и факторами.
qi q j
Если уровни равноотстоят друг от друга и если
для всех факторов, то получаем ПФЭ q-го порядка.
Nc qk

28. Функциональная модель

Функциональная модель определяет
количество необходимых элементов
структурной модели .
Модель полная, если
N ф N(ПФЭ),
c
Модель неполная, если
N ф N c (ДФЭ).

29. Примеры критериев оптимальности

Оптимальное
решение задачи
Быстро ---------------------------- Медленно
Дешево ---------------------------- Дорого
Примерно --------------------------- Точно
Предложенное
решение задачи
Не существует «универсального» критерия оптимальности.
Исследователь задает его в процессе планирования работы.

30. Выбор критерия оптимальности

Если для каждого из экспериментов,
приводящих к желаемому результату, можно
оценить величину «затрат», то задача
заключается в выборе такого эксперимента,
при котором «затраты» минимальны.
«Стоимостный» подход возможен только в
том случае, когда все эксперименты приводят
к одинаковой точности результата.

31. Подбор компонентов функциональной модели

Можно варьировать: количество факторов
k,
q ,
число уровней
количество повторений эксперимента p .
Учитываются: затраты времени на 1 опыт ,
c .
стоимость опыта
Полное число опытов при симметрично повторяемом
эксперименте:
k
N pq
Общее время, требуемое для проведение эксперимента:
T N
Общие затраты:
С с T

32. Пример. Стратегия поездки из пункта А в пункт Б

Из пункта А в пункт Б можно попасть разными путями, за
разное время, затратив разное количество денег (горючее,
амортизация а/м, штрафы, заработок за счет попутных
пассажиров). Каждый водитель формирует свой критерий
оптимальности, например:
Экономия денег (аккуратная езда, выбор оптимальной
скорости, соблюдение правил, подбор попутчиков) за счет
времени;
Экономия времени (быстрая езда) за счет денег (штрафы,
без попутчиков, повышенный износ автомашины),
безопасности, душевного спокойствия и комфорта (тряска,
рывки).
Повышение безопасности за счет времени;
Сохранение душевного спокойствия (избегание улиц с
интенсивным движением, строгое выполнение правил) за
счет времени и денег (более длинный путь).
English     Русский Rules