Системи лінійних алгебраїчних рівнянь

1.

Лекція №3
Системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
План
1. Розв’язування систем m лінійних рівнянь з n
невідомими.
Теорема Кронекера- Капеллі. Метод Гаусса.
2. Розв’язування систем n лінійних рівнянь з n
невідомими. Формули Крамера.
3. Розв’язування систем n лінійних рівнянь з n
невідомими за допомогою оберненої матриці.

2.

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Систему алгебраїчних рівнянь називають лінійною,
якщо вона може бути записана у вигляді
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1n xn b1 ,
a x a x a x a x b
22 2
23 3
2n n
2,
21 1
a31 x1 a32 x2 a33 x3 a3n xn b3 ,
am1 x1 am 2 x2 a33 x3 amn xn bm
де x1, x2, … , xn, - невідомі; aij - коефіцієнти системи;
bk - вільні члени.

3.

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
A=
- основна матриця С.Л.А.Р
стовпець невідомих;
стовпець вільних членів
- розширена
матриця С.Л.А.Р..

4.

Системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Розв’язком системи називають множину дійсних чисел
с1, с2, …, сn , підстановка яких у систему замість
невідомих перетворює кожне рівняння у тотожність.
Систему лінійних алгебраїчних рівнянь (С. Л.А. Р.)
називають сумісною, якщо вона має хоч би один
розв’язок. Несумісною у протилежному випадку.
системи лінійних рівнянь
сумісні
несумісні
Визначені
Невизначені
мають єдиний мають безліч
розв’язок
розв’язків
не мають жодного
розв’язку

5.

Розв’язування систем m лінійних рівнянь з
n невідомими.
.
Переваги застосування метода Гаусса:
1) дозволяє дослідити систему на сумісність;
2) у випадку сумісності знайти іі розв’язки
( єдиний або нескінченну кількість);
3) дослідження на сумісність і знаходження
розв’язків, якщо вони існують, можна робити
одночасно.
При дослідженні системи на сумісність
використовують елементарні перетворення матриці
та поняття ранга матриці

6.

.
Елементарні перетворення матриці
(Е.П.) матриці називають перетворення слідуючого
вигляду:
• відкидання нульового рядка (стовпця);
• множення всіх елементів рядка (стовпця) на
ненульове число;
• перестановка рядків (стовпців);
• додавання до елементів одного рядка (стовпця)
відповідних елементів іншого рядка (стовпця),
помножених на довільне ненульове число;
• транспонування матриці.

7.

Мінор матриці
Мінором k-го порядку матриці
називають
визначник порядку k, який отримують викресленням
будь-яких рядків і стовпців з матриці А.
Приклад 1
Обчислити всі мінори третього порядку і
довільний мінор другого порядку матриці А
1 7 17 3
A 4 8 18 7 .
0 4 10 1
Розв’язок
7
17
3
8
18
7 126 476 240
4
10
1
216 136 490 0.

8.

Мінор матриці
Приклад 1 (продовження )
1 17 3
4 18 7 18 120 68 70 0,
0 10 1
1
7 17
4
8 18 80 272 280 72 0,
0
4 10
1
7
3
4
8
7 8 48 28 28 0,
0
4 1
1 7
4 8
8 28 20 0.

9.

Ранг матриці
Рангом матриці А називають найвищий порядок її
ненульового мінора.
Позначення: rang(A), r(A)
Властивості rang(A)
• r(A) ≤ min(m;n)
• r(A) = 0, коли А=0
• r(A) не змінюється при Е.П.
• у матриці трапецієвидного вигляду
; де
r(A) =r

10.

Ранг матриці
внаслідок того, що
Приклад 2
Обчислити ранг матриці А за допомогою Е.П.
А=

11.

Ранг матриці
Розв’язок

12.

Теорема Кронекера-Капеллі
Система m лінійних рівнянь з n невідомими
сумісна тоді і тільки тоді, коли r(A) = r(A)
Причому система
- сумісна визначена, якщо r(A) = r(A) = n ;
- сумісна невизначена, якщо r(A) = r(A) n.
- у випадку r n
невідомі називають
базисними,
якщо
минор,
утворений
коефіцієнтів при них, не дорівнює нулю.
- усі інші невідомі називають вільними.
з

13.

метод Гаусса
Суть метода Гаусса полягає в тому , що шляхом
елементарних перетворень С.Л.А.Р. приводять
до еквівалентної системи трикутного або
трапецієвидного вигляду, з якої послідовно,
починаючи з останніх (за номером) змінних,
знаходять усі невідомі.
Перетворення Гаусса зручно проводити,
здійснюючи перетворення не з самими
рівняннями, а з матрицею їх коефіцієнтів яка є
розширеною матрицею С.Л.А.Р.

14.

метод Гаусса
Приклад 3
Дослідити систему рівнянь на сумісність і у випадку
сумісності знайти розв’язки
а) x1 5 x2 3x3 4 x4 3,
3 x 12 x 3 x x 11,
1
2
3
4
2 x1 x2 4 x3 5 x4 8,
2 x1 x2 12 x 3 25 x4 4.
Розв’язок
3
4 3
1 5
3
1 11
3 12
A
2 1
4
5 8
2 1 12 25 4
~
3
4
1 5
0 3 6 11
0 9 2 13
0 9 18 33
3
2 ~
2
10

15.

метод Гаусса
Приклад 3 (продовження )
3
4
1 5
0 3 6 11
~
0 0 16 20
0 0
0
0
3
r(A) = 3 r(A) = 4
2
4
16 0 = -16
Отже, початкова система несумісна.
б)
x1 2 x2 3 x3 12
2 x1 x2 2 x3 9
3 x x 4 x 10
1
2
3

16.

.
метод Гаусса
Приклад 3 (продовження )
Розв’язок
1 2 3 12
2 1 2 9
3 1 4 10
~
~
Відповідь:
1 2 3 12
0 3 4 15
0 1 5 16
~
~
1 2
3 12
0 3 4 15
0 7 13 46
~
3 12
1 2
5 16
0 1
0 3 4 15 ~
r(A) = r(A) = 3
1 2 3 12
Система сумісна визначена
0 1 5 16
0 0 11 33 11x 33
x2 16 5x3 16 15 1
3
1,1,3
x3 3
x1 12 2 x2 3x3 12 2 9 1

17.

метод Гаусса
Приклад 3 (продовження )
в) x1 x2 2 x3 x4 2
3x 2 x x 2 x 3
1
2
3
4
2 x1 3x2 3x3 x4 1
4 x1 x2 x3 x4 5
Розв’язок
1 1 2 1 2
3 2 1 2 3
2 3 3 1 1
4 1 1 1 5
~
1 1 2 1 2
0 5 7 5 3 ~
0 5 1 1 3
0 5 7 5 3

18.

метод Гаусса
.
Приклад 3 (продовження )
1 1 2 1 2
0 5 7 5 3
0 0 6 4 0
0 0
0
0
0
~
1 1 2 1 2
0 5 7 5 3
0 0 6 4 0
r(A) = r(A) = 3
Система сумісна і невизначена.
Вважаємо
x4 a
,
тоді
2
9 a
2a 7
x3 a, x2
, x1
3
15
5
Відповідь:
x1
2a 7
9 a
2
, x2
, x3 a, x 4 a
5
15
3

19.

Системи n лінійних рівнянь з n невідомими
Якщо
то r(A) = r(A) = n
(кількість рівнянь дорівнює кількості
невідомих), згідно з теоремою КронекераКапеллі така система має єдиний розв’язок.

20.

Знаходження єдиного розв’язку.
Метод Крамера.
Розв’язком С.Л.А.Р. за правилом Крамера буде
сукупність значень невідомих обчислених за
формулами: x 1 , x 2 , , x n ,
1
n
2
a11 a12 a1, j 1b1a1, j 1 a1n
j
a21 a22 a2, j 1b2a2, j 1 a2n
, j 1, n
an1 an 2 an, j 1bn a2, j 1 ann
Цей визначник отримано шляхом послідовної
заміни j-го стовпця визначника ∆ стовпцем чисел
b1 , b2 , … , bn .

21.

Приклад 4
Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за
формулами Крамера:
x1 2 x2 x3 1,
2 x1 x2 x3 5,
3 x 2 x 6 .
1
2
Розв’язок
1 2
2
1
3 2
1
1 3 .
0
∆ ≠ 0, можемо застосувати правило Крамера
1 2
1 5
1
6 2
1
1 6 .
0

22.

Приклад 4 (продовження)
1 6
x1
2
3
За формулами Крамера:
1
1
2 2
5
3
6
1
1
1
1
1 3
6
0 0.
6
6
0
3
1 2 1
3 2
1
5 3.
3 2 6
Відповідь:
2
0
x2
0
3
3
3
x3
1
3
2,0, 1

23.

Знаходження єдиного розв’язку.
Метод оберненої матриці.
то С.Л.А. Р., згідно з правилом множення матриць та
умовою рівності матриць, можна записати у матричній
формі
A×X = B
Тоді
A-1∙A×X = A-1∙ B ( A-1∙A =E)
X= A-1∙ B
де A-1 - матриця обернена до A.

24.

Приклад 5
Розв’язати C.Л.А.Р. методом оберненої матриці
Розв’язок
x1 2 x2 x3 1,
2 x1 x2 x3 5,
3 x 2 x 6 .
1
2
Запишемо систему рівнянь у вигляді матричного
рівняння A X B
де
Тоді
1 2 1
A 2 1 1 ,
3 2 0
1
X A
B
x1
1
X x2 , B 5 .
x
6
3

25.

Приклад 5 (продовження )
1 2
2
1
3 2
1
1 3 0
0
Визначник матриці А не дорівнює нулю, тому
існує А-1 і розвязок можна знайти методом
оберненої матриці.
Знаходимо алгебраїчні доповнення:
1 2 2 1
1 1 1 1
A12 1
3;
A11 1
2;
3 0
2 0
A13 1
1 3
2
1
3 2
7;
A21 1
2 1
2 1
2 0
2;

26.

Приклад 5 (продовження)
A22 1
2 2
A31 1
3 1
A33 1
3 3
1 1
3;
3 0
2
1
1
1
1;
1 2
2
1
A23 1
2 3
A32 1
1 2
3 2
3 2
5.
Записуємо обернену матрицю до матриці А
2 2 1
1
1
A 3 3 3
3
7
4
5
1
4;
1
2 1
3;

27.

Приклад 5 (продовження)
2 2 1 1
2 1 2 5 1 6
1
1
1
X A B 3 3 3 5 3 1 3 5 3 6
3
3
7
4
5
6
7
1
4
5
5
6
6 2
1
0 0
3
3 1
Відповідь:
.
2,0, 1

28.

Недоліки застосування формул Крамера та
метода оберненої матриці.
С.Л.Р. не може бути розв’язана за допомогою
формул Крамера та методом оберненої матриці у
випадках коли:
1) кількість рівнянь ≠ кількості невідомих ( m ≠ n)
або
2) ∆ = 0.