ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
Основные задачи дисперсионного анализа
Классификация моделей дисперсионного анализа
Параметрический однофакторный дисперсионный анализ
Однофакторная модель дисперсионного анализа
Формулировка гипотезы об отсутствии влияния фактора А на результативный признак
Основные характеристики однофакторного дисперсионного анализа
Несмещенные оценки общей, факторной и остаточной дисперсий
Проверка гипотезы об отсутствии влияния фактора А на результативный признак
Проверка гипотезы о равенстве двух средних выбранных уровней
Проверка гипотезы о значении уровня фактора
Точечная и интервальная оценка дисперсий
Двухфакторный дисперсионный анализ
Модель двухфакторного дисперсионного анализа (случай I)
Формулировка гипотез об отсутствии влияния факторов на результативный признак
Разложение дисперсии
Проверка гипотезы об отсутствии влияния факторов на результативный признак
Модель двухфакторного дисперсионного анализа (случай II)
Формулировка гипотез об отсутствии влияния факторов на результативный признак
Разложение дисперсии
Проверка гипотезы об отсутствии влияния факторов на результативный признак
490.50K
Category: mathematicsmathematics

Дисперсионный анализ. Основные задачи дисперсионного анализа

1. ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

2. Основные задачи дисперсионного анализа

Слайд № 1
Основные задачи дисперсионного анализа
Дисперсионный анализ предназначен для проверки наличия
зависимости
нормально
распределенной
результативной
случайной величины Y от нескольких факторов (факторных
величин), а именно для выявления причинно-следственной связи
между вариацией факторов и вариацией результативных
признаков.
Суть дисперсионного анализа состоит в разложении
дисперсии признака на составляющие, обусловленные влиянием
конкретных факторов и проверке гипотез о значимости их влияния.

3. Классификация моделей дисперсионного анализа

Слайд № 2
Классификация моделей дисперсионного анализа
Модели
дисперсионного
следующим образом:
анализа
классифицируются
1) в зависимости от числа факторов на однофакторные,
двухфакторные и т.д.;
2) по природе факторов на детерминированные ( М1 ),
случайные ( М 2 ) и смешанные, в зависимости от того
какими являются уровни факторов.

4. Параметрический однофакторный дисперсионный анализ

Слайд № 3
Постановка задачи
Пусть требуется проверить наличие влияния на результативный
признак одного контролируемого фактора А, имеющего m уровней A j ,
j 1,2,...m . Наблюдаемые значения результативного признака Y на каждом из
фиксированных уровней A j обозначим yij , i 1, n j , где n j - число объектов
наблюдения.
Для изучения случайных величин
рассматриваем априорные
выборки
Реализации априорных выборок представлены в таблице :
Таблица -Реализация априорных выборок









5. Однофакторная модель дисперсионного анализа

Слайд № 4
Однофакторная модель дисперсионного анализа

6.

Априорная модель:
– уровни фактора А фиксированы
– уровни фактора А случайны
Требования к :
(один для всех уровней)

7. Формулировка гипотезы об отсутствии влияния фактора А на результативный признак

Слайд № 5
Формулировка гипотезы об отсутствии влияния
фактора А на результативный признак
В зависимости от изучаемой модели относительно j
предполагается:
модель М 1 – j - фиксированные величины, такие что
j n j 0
H0: j 0 j 1, m , то есть нет влияния фактора А на Y;
модель
М2

j
-
случайные
величины,
удовлетворяющие условиям - M j 0 ; M j j ' 0
j j ' ; M j ij 0
дисперсия
i, j ;
M 2j 2
- факторная
H0: 2 0 , то есть нет влияния фактора А на Y.

8. Основные характеристики однофакторного дисперсионного анализа

Слайд № 6
Основные характеристики
однофакторного дисперсионного анализа

9.

10.

Qобщ Qфакт Qост

11. Несмещенные оценки общей, факторной и остаточной дисперсий

12. Проверка гипотезы об отсутствии влияния фактора А на результативный признак

Слайд № 7
Проверка гипотезы об отсутствии влияния фактора
А на результативный признак
2
2
Н0: факт
= ост
.

13. Проверка гипотезы о равенстве двух средних выбранных уровней

Слайд № 8
Проверка гипотезы о равенстве двух средних
выбранных уровней
Если влияние фактора доказано, то можно проверить гипотезы:
H 0 : a j a j
H1 : a j a j
Для проверки нулевой гипотезы строится статистика:
( y* j y* j ' ) 2
F
1
Qост
N m
n jn j'
n j n j'
,
распределенная по закону Фишера-Снедекора
2 N m степенями свободы.
с
1 1
и

14. Проверка гипотезы о значении уровня фактора

Слайд № 9
Проверка гипотезы о значении уровня фактора
При проверке гипотезы H 0 : a a0 используется:
N ( y** a0 ) 2
1
в случае модели M1 статистика: F
, имеющая F
Qост
N m
– распределение с 1 1 и 2 N m степенями свободы;
в случае модели M 2
N ( y** a0 ) 2
1
и n j n статистика: F
,
Qфакт
m 1
имеющая F – распределение с 1 1 и 2 m 1 степенями
свободы.

15. Точечная и интервальная оценка дисперсий

Слайд № 10
Точечная и интервальная оценка дисперсий
Несмещенную точечную оценку для факторной дисперсии
можно уточнить:
N (m 1)
2
2
2
Sˆфакт
( Sˆ факт
Sˆост
) 2
.
2
N nj
уточ
Интервальная оценка для D( ij ) 2 с надежностью
имеет вид:
Qост
Qост
2
.
1
1
x2 (
, N m)
x2 (
, N m)
2
2

16.

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ОДНОФАКТОРНЫЙ
ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
Критерий
Краскела-Уоллиса
проверяет
однородность
распределения k случайных величин при альтернативной гипотезе
сдвига. Критерий Краскела–Уоллиса
12 k Ri2
H
3(n 1) ,
n(n 1) i 1 ni
k
где n ni , Ri – сумма рангов i-ой выборки, i 1,..., k , при
i 1
справедливости нулевой гипотезы и ni 5 и k 4 имеет
приблизительно распределение «Хи-квадрат» с числом степеней
свободы k 1.
Медианный тест обладает меньшей мощностью и основан на
подсчете числа наблюдений каждой выборки, которые попадают выше
или ниже общей медианы выборок, и вычисляет затем значение
статистики «Хи-квадрат» для таблицы сопряженности 2 k , где k –
число рассматриваемых случайных величин.

17. Двухфакторный дисперсионный анализ

Слайд № 11
Двухфакторный дисперсионный анализ
Постановка задачи
Необходимо исследовать влияние двух факторов А и В на
результативный нормально распределенный признак Y.
Ai , i 1, m ; B j , j 1, l - уровни факторов.
При этом возможны два случая:
1. каждой паре уровней факторов Ai и B j соответствует
одно наблюдаемое значение результативного признака
yij .
2. для каждой пары уровней Ai и B j имеется n(n>1)
наблюдений yijk .

18. Модель двухфакторного дисперсионного анализа (случай I)

виде:
Слайд № 12
Модель двухфакторного дисперсионного анализа
(случай I)
Пусть каждой паре уровней факторов Ai и B j соответствует одно
наблюдаемое значение результативного признака yij , то есть наблюденные
значение можно представить в виде таблицы с двумя входами:
Bj
B1
B2

Bl
A1
y11
y12

y1l
A2
y21
y22

y2l

Am

ym1

ym 2



yml
Ai
Апостериорная модель дисперсионного анализа будем рассматривать в
В этом случае модель дисперсионного анализа будем иметь вид:
yij a i j ij ,
где а – общая генеральная средняя;
ij - независимые нормально распределенные остатки, с M ij 0 и D ij 2 ,
i 1, m ; j 1, l ;
i , j - отклонения от а, обусловленные влиянием соответствующих уровней

19.

Априорная модель:
,
где а – общая генеральная средняя;
ij - независимые нормально распределенные остатки, с M ij 0 и
D ij 2 , i 1, m ; j 1, l ;
i , j - отклонения от а, обусловленные влиянием соответствующих
уровней факторов А и В.
Если уровни факторов Ai и B j фиксированные (модель М1), то i и j
есть неслучайные величины, удовлетворяющие очевидным условиям
m
l
i 1
j 1
i 0 ; j 0 .

20. Формулировка гипотез об отсутствии влияния факторов на результативный признак

Слайд № 13
Формулировка гипотез об отсутствии влияния
факторов на результативный признак
Если уровни факторов Ai и B j фиксированные (модель М 1 ), то i и
j есть неслучайные величины, удовлетворяющие очевидным условиям
m
l
i 1
j 1
i 0 ; j 0 .
Отсутствие
влияния
уровней
факторов
на
изменения
результативного признака - нулевые гипотезы - формулируются в виде:
Н0: i 0 , i 1, m ;
Н0: j 0 , j 1, l .

21.

Продолжение слайда № 13
Если уровни факторов Ai и B j случайные (модель М 2 ), то i и j
считают независимыми между собой и с ij случайными величинами
распределенными нормально с M j M j 0 и D i 2 ; D j 2 .
Н0: 2 0 ;
Н0: 2 0 .
Если уровни фактора А – случайные, а В – фиксированные
(смешанная модель), то i независимые между собой и с ij случайные
величины с
M j 0 ,
удовлетворяющие условию
D i 2 ;
j 0.
j
- неслучайные величины,
Н0: 2 0 ;
Н0: j 0 , j 1, l .
Аналогично строиться смешанная модель, в которой фактор А имеет
фиксированные уровни, а фактор В – случайные.

22. Разложение дисперсии

Слайд № 14
Разложение дисперсии
Qобщ QA QB Qост ,
где
m
QA l ( yi* y** )2 ;
i 1
l
QB m ( y* j y** )2 ;
j 1
m
l
Qост ( yij y* j yi* y** )2
i 1 j 1

23. Проверка гипотезы об отсутствии влияния факторов на результативный признак

Слайд № 15
Проверка гипотезы об отсутствии влияния
факторов на результативный признак
Для проверки нулевой гипотезы об отсутствии влияния
одного из факторов D A; B рассматривается статистика:
QD
m, D A
nD 1
, где n D
F
Qост
l , D B
N nD
распределенная по закону Фишера-Снедекора с 1 n D 1
и 2 N n D степенями свободы.

24. Модель двухфакторного дисперсионного анализа (случай II)

Слайд № 16
Модель двухфакторного дисперсионного анализа
(случай II)
В общем случае, когда для каждой пары уровней Ai и
B j имеется n(n>1) наблюдений, модель дисперсионного
анализа представляется в виде:
yijk a i j ( ) ij ijk ,
i 1, m , j 1, l , k 1, n ,
где yijk - к-ое наблюдение результативного признака для iго уровня фактора А и j-го уровня фактора В;
а – общая генеральная средняя;
i , j - отклонения от а, обусловленные влиянием
соответствующих уровней Аi и Вj;
( ) ij - отклонения от а, обусловленные совместным
влиянием уровней факторов А и В;
ijk (0, ) и независимы между собой.

25. Формулировка гипотез об отсутствии влияния факторов на результативный признак

Слайд № 17
Формулировка гипотез об отсутствии влияния
факторов на результативный признак
Если уровни факторов Аi и Вj фиксированные (модель
М 1 ), то отклонения i , j и ( ) ij - неслучайные
величины,
удовлетворяющие
условиям:
m
l
m
l
i 1
j 1
i 1
j 1
i 0 ; j 0 ; ( )ij 0 ; ( )ij 0 .
Нулевые гипотезы об отсутствии влияния:
фактора А – Н0: i 0 ; i 1, m ;
фактора В – Н0: j 0 ; j 1, l ;
совместного
влияния
факторов
А
и
Н0: ( ) ij 0 ; i 1, m ; j 1, l .
В

26.

Продолжение слайда № 17
В случае модели М 2 i , j и ( ) ij есть независимые
между собой и с ijk случайные величины, распределенные
нормально с нулевым математическим ожиданием и с
2
дисперсиями 2 , 2 и
.
Нулевые гипотезы от отсутствии влияния:
фактора А – Н0: 2 0 ;
фактора В – Н0: 2 0 ;
2
совместного влияния факторов А и В – Н0:
0.

27.

Продолжение слайда № 17
Для смешанной модели, когда, к примеру, уровни фактора А
случайные, а фактора В – фиксированные, отклонения i и ( ) ij
независимые между собой и с ijk нормально распределены случайные
величины с нулевыми математическими ожиданиями, с дисперсиями
2
2
и , при этом
m
l
l
i 1
j 1
j 1
( )ij 0 , а ( )ij 0 ; j 0 .
Нулевые гипотезы об отсутствии влияния факторов имеют вид:
фактора А – Н0: 2 0 ;
фактора В – Н0: j 0 ; j 1, l ;
2
совместного влияния факторов А и В – Н0:
0 .`
Аналогично строится другая смешанная модель.

28. Разложение дисперсии

Слайд № 18
Разложение дисперсии
Qобщ Q A Q B Q AB Qост ,
где
Qобщ ( y ijk y ***) ;
m
l
n
2
i 1 j 1 k 1
m
QA l n ( y
i 1
i** y ***)
2
;
QB m n ( y * j* y***) ;
l
2
j 1
m
l
QAB n ( y
i 1 j 1
ij*
y
i**
y* j* y***)
Qост ( y ijk y ij*) .
m
l
n
i 1 j 1 k 1
2
2
;

29. Проверка гипотезы об отсутствии влияния факторов на результативный признак

Слайд № 19
Проверка гипотезы об отсутствии влияния
факторов на результативный признак

30.

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ДВУХФАКТОРНЫЙ
ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ
Для проверки однородности распределения
k 2 зависимых совокупностей следует использовать
непараметрические альтернативы двухфакторного
дисперсионного
анализа,
например,
критерий
Фридмана:
2
12
Rij 3k (n 1) ,
F
kn(n 1) i 1 j 1
n
k
где Rij – ранг i-го объекта по j-му признаку.
Критерий Фридмана при справедливости нулевой
гипотезы аппроксимируется распределением «Хиквадрат» с числом степеней свободы n-1.
English     Русский Rules