Дисперсионный анализ
Однофакторный дисперсионный анализ
Обозначения:
Математическая модель
Математическая модель
Расчетные формулы
Расчетные формулы
Расчетные формулы
Дисперсии
Пример
Решение задачи с помощью Пакета анализа MS Excel
Решение задачи с помощью Пакета анализа MS Excel
Решение задачи с помощью Пакета анализа MS Excel
Сравнение групповых средних дисперсионного комплекса
Сравнение групповых средних дисперсионного комплекса
Двухфакторный дисперсионный анализ
Двухфакторный дисперсионный анализ
Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений. Математическая модель
Оценки средних
Суммы квадратов отклонений
Формулы для расчёта дисперсий
Правило проверки гипотез
Пример 1
Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями. Математическая модель
Суммы квадратов отклонений
Оценка средних
Схема анализа и порядок вычисления сумм
Пример 2
Решение задачи с помощью Пакета анализа MS Excel
Решение задачи с помощью Пакета анализа MS Excel
Пример
3.21M
Category: mathematicsmathematics

Дисперсионный анализ

1. Дисперсионный анализ

Задача дисперсионного анализа:
сравнить две или более выборочные дисперсии и оценить
существенность различий между средними значениями
результативного признака в группах.
Используемые критерии:
2 группы – критерий Стьюдента (t-критерий)
Более 2 групп – критерий Фишера (F-критерий)
1

2. Однофакторный дисперсионный анализ

Пусть на некоторый признак Y воздействует фактор X,
который имеет m постоянных уровней (градаций). Число
наблюдений на каждом уровне n1, n2,…nm. Требуется
выяснить, оказывает ли существенное влияние фактор X на
изучаемую величину Y.

3. Обозначения:

yij – значение результативного признака j-го
элемента в i-й группе
i – номер группы
j – номер элемента, j=1, 2, …, ni
ni – численность i-й группы
yi – средняя величина результативного признака в i-й
группе
y – общая средняя результативного признака

4. Математическая модель

Наблюдаемое значение
yij i ij i ij
где yij – значение результативного признака в j-м испытании
при i-м уровне фактора
i – среднее значение результативного признака при i-м
уровне фактора
– общее среднее значение всей совокупности опытных
данных
i= i-
- величина, характеризующая влияние i-го уровня
фактора на общее среднее значение
ij=yij- i – ошибка
4

5. Математическая модель

Нулевая гипотеза H0: различия между уровнями фактора не
превосходят случайные различия (исследуемый фактор не
влияет на результативный признак), т.е. уровни фактора не
влияют на общее среднее значение результата
эксперимента
H 0 : 1 2 ... m
Альтернативная гипотеза H1: различия между уровнями
фактора достоверно превосходят случайные различия
(исследуемый фактор влияет на результативный признак).
5

6. Расчетные формулы

ni
yij
1) Групповая средняя
yi
j 1
ni
mi
2) Общая средняя
результативного признака
yi
y i 1
m
6

7. Расчетные формулы

3) Общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений
от общей средней
m n
2
SSобщ yij y
i 1 j 1
4) Факторная сумма квадратов отклонений групповых средних
от общей средней (межгрупповая сумма квадратов)
m
SSфакт y i y ni
2
i 1
5) Остаточная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений
от своей групповой средней (внутригрупповая сумма квадратов)
m
ni
SS ост yij yi
2
i 1 j 1
7

8. Расчетные формулы

SS общ SSфакт SS ост
SSфакт
SSост
характеризует влияние фактора
характеризует воздействие случайных причин
Число степеней свободы:
m
f общ N 1, где N n i общее число наблюдений
i 1
fфакт m 1,где m число уровней ( градаций ) фактора
f ост N m
8

9. Дисперсии

7) Факторная
6) Общая
y
m
S
2
общ
n
i 1 j 1
ij
y
2
S 2факт
N 1
S
2
ост
y
ni
i 1 j 1
i 1
2
i
y ni
m 1
9) Критерий Фишера
8) Остаточная
m
y
m
ij
yi
N m
2
Fнабл
Если
2
S факт
2
S ост
Fнабл>Fкрит, то H0 отвергается.
9

10. Пример

Методом дисперсионного анализа определить
достоверность генетического влияния отцов на массу телят
при рождении. Принять уровень значимости =0,05.
Уровень
фактора
Результативный
признак yij - масса
телёнка, кг
Численность
группы,
ni
А
Б
40; 38; 43; 42
4
38; 32; 40; 34; 35
5
В
37; 30; 31; 32; 35
5
Выдвигаются гипотезы:
H0: телята от разных отцов не отличаются по массе при рождении.
H1: телята от разных отцов отличаются по массе при рождении
10

11. Решение задачи с помощью Пакета анализа MS Excel

1. Загрузить Пакет анализа MS Excel , выполнив действия:
Данные → Анализ → Анализ данных.
2. Ввести данные в ячейки A1:F4, как показано на рис. 1.
Рис. 1.
3. Выбрать инструмент «Однофакторный
дисперсионный анализ». Нажать кнопку ОК.
11

12. Решение задачи с помощью Пакета анализа MS Excel

4. Ввести в окне диалога в разделе Входные данные: в поле
Входной интервал: $A$2:$F$4; в поле Группирование
выбрать: по строкам. Отметить: Метки в первом столбце.
Задать Альфа: 0,05.
5. В разделе Параметры вывода в поле Выходной интервал
указать, например, I2. Нажать кнопку ОК. Появятся
результаты, представленные на рис. 3.
Рис. 2.
12

13. Решение задачи с помощью Пакета анализа MS Excel

Рис. 3.
13

14. Сравнение групповых средних дисперсионного комплекса

1) Метод Дж. Тьюки (1949 г.)
Область применения: проверка нулевой
гипотезы при сравнении групповых
средних x1 и x 2 равновеликих групп.
Критерий оценки:
tQ
x1 x 2
2
s ост
n
Если tQ Qкр ( , k=N-a), то нулевую гипотезу
отвергают (a – число градаций фактора).
14

15. Сравнение групповых средних дисперсионного комплекса

2) Метод Г. Шеффе (1953 г.)
Область применения: проверка нулевой гипотезы при
сравнении групповых средних и равновеликих и
неравновеликих групп.
Критерий оценки:
x x
F
F
1
2
2
sост
x1 x 2
2
sост
n
при n1 n 2
2
n1n 2
при n1 n 2
n1 n 2
Нулевую гипотезу отвергают, если
F
a 1 Fкр
,
где a – число градаций фактора, Fкр определяют по таблице
для принятого , k1=a-1, k2=N-a.
15

16. Двухфакторный дисперсионный анализ

Сочетание
факторов
AB
Фактор
A
Результативный
признак
x
Фактор
B
Прочие
факторы
e
16

17. Двухфакторный дисперсионный анализ

17

18. Двухфакторный дисперсионный анализ без повторений. Математическая модель

19. Оценки средних

20. Суммы квадратов отклонений

21. Формулы для расчёта дисперсий

22. Правило проверки гипотез

23. Пример 1

24. Двухфакторный дисперсионный анализ с повторениями. Математическая модель

25. Суммы квадратов отклонений

26. Оценка средних

27. Схема анализа и порядок вычисления сумм

28. Пример 2

29

29. Решение задачи с помощью Пакета анализа MS Excel

Рис. 1
Рис. 2
B – качество
кормления
A – метод
содержания
Взаимодействие
AиB
Рис. 3
30

30. Решение задачи с помощью Пакета анализа MS Excel

Исследовать влияние качественного раствора A, который
варьируется на четырёх уровнях, на накопление
микроорганизмов.
Уровень
фактора
Результативный
признак
a1
a2
1,30; 1,50; 1,70; 1,90
a3
2,20; 2,00; 2,00; 2,10
a4
2,10; 1,70; 1,40; 1,80
2,70; 2,00; 2,20; 2,40
Численность группы n1=n2=n3=n4=4
31

31. Пример

Групповые средние:
1,60; 2,33; 2,08; 1,75
Общая средняя
1,94
Отклонения групповых средних от общей средней
-0,34; 0,39; 0,14; -0,19
Сумма
квадратов
Степень
свободы
Дисперсии
Fнабл
Fкр
Фактор A
1,272
3
0,424
6,83
3,48
Ошибка
0,745
12
0,062
Так как Fнабл>Fкрит, то влияние фактора признаётся
значимым.
32
English     Русский Rules