Основы теории движения космического аппарата

1.

Основы теории движения
космических аппаратов
Роман Викторович Ельников
Москва, 2015
1

2.

Основы теории движения космических аппаратов
План лекции
1. Что изучает механика космического полета?
2. Задачи теории движения КА.
3. Описание относительного движения в задаче двух тел. Ограниченная
задача двух тел.
4. Постановка задачи нахождения траектории ИСЗ в рамках ограниченной
задачи двух тел.
5. Первые интегралы уравнений движения задачи двух тел.
6. Уравнение орбиты спутника.
7. Типы орбит.
8. Геометрия эллиптической орбиты.
9. Анализ изменения скорости спутника при его движении по орбите.
10. Скорость КА на круговой орбите.
11. Временные характеристики движения КА по орбите.
12. Геоцентрическая экваториальная система координат.
13. Элементы орбиты спутника.
14. Трасса искусственного спутника Земли.
2

3.

Основы теории движения космических аппаратов
План лекции
15. Геостационарная орбита
16. Прецессия орбиты ИСЗ, вызываемая нецентральностью гравитационного
поля Земли
17. «Молниевская» орбита
18. Солнечно-синхронная орбита
19. Межорбитальное маневрирование КА. Постановка задачи
межорбитального перелета
20.Понятие характеристической скорости, оценка затрат топлива для
маневра
21. Оценка характеристической скорости двухимпульсного перелета между
круговыми компланарными орбитами (перелет Гомана-Цандера)
3

4.

Основы теории движения космических аппаратов
Механика космического полета
(теория движения КА)
Механикой космического полета – называется раздел механики, изучающий
движение искусственных небесных тел (космических аппаратов)
Анализ движения космического аппарата
Анализ движения центра масс КА в
пространстве
dV
mMT
Fi ;
dt
i
mKA
dV
dV
Fi mKA отн 2mKA Vотн ; (1)
dt
dt
i
mKA
dV
Fi ; (1a )
dt
i
Анализ углового движения КА
(движения КА вокруг центра масс)
I
d
I M j ; (2)
dt
j
4

5.

Основы теории движения космических аппаратов
Задачи теории движения КА
1. Нахождение траектории КА по заданным его параметрам и
программе движения.
2. Проектирование траектории КА. Это задача выбора
программы движения, которая обеспечивает для заданного
КА выполнение заданной транспортной задачи.
3. Задача оценки влияния параметров КА на его траекторию.
4. Анализ влияния возмущающих факторов на траекторию КА.
Эта задача состоит в оценке погрешностей в конечных
характеристиках движения, к которым приводят различные
случайные факторы.
5

6.

Основы теории движения космических аппаратов
Описание относительного движения в задаче двух тел
Задачей двух тел называется задача, в которой рассматривается движение двух
материальных точек с массами M и m под действием их взаимного гравитационного
притяжения.
r r2 r1 ;
d 2 r d 2 r2 d 2 r1
2 2 ;
2
dt
dt
dt
d 2 r1
d 2 r2
M 2 G '; m 2 G;
dt
dt
d 2r G G '
;
dt 2 m M
mM
mM
G f 3 r ; G ' G f 3 r ;
r
r
d 2r
M m
f
r;
dt 2
r3
Гравитационный параметр
задачи двух тел:
f M m ;
Уравнение относительного
движения задачи двух тел:
d 2r
r;
2
3
dt
r
6

7.

Основы теории движения космических аппаратов
Ограниченная задача двух тел
Ограниченная задача двух тел – это задача двух тел при использовании допущения,
что масса одного тела пренебрежимо мала по сравнению с массой другого тела.
M
m
f M m - гравитационный параметр задачи двух тел
fM ; - гравитационный параметр в ограниченной задаче двух тел
d 2r
r ; - уравнение относительного движения в ограниченной задаче двух тел
2
3
dt
r
Движение КА в окрестности небесного тела с массой М может рассматриваться в
рамках ограниченной задачи двух тел при наличии следующих допущений:
1. Рассматривается пассивное движение КА.
2. Гравитационная сила, с которой небесное тело притягивает КА,
подсчитывается как ньютоновская.
3. Притяжением других небесных тел Вселенной пренебрегается.
4. Не учитывается аэродинамическое воздействие среды на КА, не учитывается
7
сила светового давления и т.д.

8.

Основы теории движения космических аппаратов
Постановка задачи нахождения траектории ИСЗ в рамках ограниченной задачи двух тел
Система уравнений движения ИСЗ:
x
dVx
;
dt
r3
y
dVy
;
dt
r3
dVz z ;
dt
r3
dx V ;
x
dt
dy
Vy ;
dt
dz
Vz ;
dt
км3
398600.44 2
c
Начальные условия движения ИСЗ:
x0 x(t0 ); y0 y (t0 ); z0 z (t0 );
Проекции
уравнения
относительного
движения
Кинематические
связи
Гравитационный
параметр Земли
Vx0 Vx(t0 ); Vy0 Vy (t0 ); Vz0 Vz (t0 );
Путем интегрирования системы
уравнений движения можно получить
траекторию движения КА, т.е получить
зависимости:
x x(t ); y y (t ); z z (t );
Vx Vx(t ); Vy Vy(t ); Vz Vz (t );
8

9.

Основы теории движения космических аппаратов
Первые интегралы уравнений движения задачи двух тел
Первый интеграл – это соотношение вида:
x, y, z,Vx ,Vy ,Vz , t const ;
Которое тождественно удовлетворяется каждым решением системы
дифференциальных уравнений движения при подходящем значении постоянной в
правой части.
Интеграл площадей:
r V const ;
Интеграл энергии:
2
V
h const ;
r
2
Интеграл Лапласа:
r
V
r const ;
9

10.

Основы теории движения космических аппаратов
Уравнение орбиты спутника
Уравнение орбиты спутника – это зависимость
модуля радиуса-вектора КА, как функция
полярного угла, подсчитанного в плоскости
движения спутника. Этот угол удобно отсчитывать
от вектора Лапласа. Он называется углом
истинной аномалии.
2
r
;
cos
Введем обозначения:
2
p
; Фокальный параметр
Эксцентриситет
e ;
p
r
;
1 e cos
10

11.

Основы теории движения космических аппаратов
Типы орбит
Первый закон Кеплера: траектория спутника в задаче двух тел – есть коническое
сечение в одном из фокусов которого расположен гравитационный центр.
3
2
1
1a
Типы орбит:
1. Эллиптическая орбита h<0; 0 e<1.
1a. Круговая орбита является
частным случаем эллиптической
орбиты (e=0).
2. Параболическая орбита h=0; e=1.
3. Гиперболическая орбита h>0; e>1.
Прямолинейное движение спутника частный случай движения по
вырожденному эллипсу, гиперболе или
параболе. При этом e=1. Тип орбиты в
этом случае можно определить
только по знаку h.
11

12.

Основы теории движения космических аппаратов
Геометрия эллиптической орбиты
Радиусы апоцентра
и перицентра:
r
p
p
; r
;
1 e
1 e
Связь эксцентрической и
истинной аномалии:
tg
E
1 e
tg
2
1 e
2
12

13.

Основы теории движения космических аппаратов
Анализ изменения скорости спутника при его движении по орбите
Зависимость полной скорости ИСЗ
от расстояния до гравитационного
центра:
2
V
h; h ;
r
a
2
Vr
Закон изменения
e sin ; радиальной скорости Vn
p
спутника
Закон изменения
1 e cos ; трансверсальной
p
скорости спутника
Минимальная скорость спутника достигается в апоцентре, максимальная –
в перицентре:
V
p
1 e ;
V
p
1 e ;
13

14.

Основы теории движения космических аппаратов
Скорость КА на круговой орбите
Vr
e sin 0;
p
e 0 Vn
1 e cos
p
p
p;
r
1 e cos
p
;
Vкр
Rорб
;
Первая космическая скорость - круговая
скорость на нулевой высоте относительно
гравитирующего тела.
14

15.

Основы теории движения космических аппаратов
Временные характеристики движения КА по орбите
E e sin E n t t ;
n
3
;
a
M n t t ;
T
2
3
2
a ;
Уравнение Кеплера для случая
движения по эллиптической орбите
Среднее движение
Средняя аномалия
Период обращения спутника по
эллиптической орбите
15

16.

Основы теории движения космических аппаратов
Геоцентрическая экваториальная система координат
P – северный полюс мира;
P’ – южный полюс мира;
- точка весеннего равноденствия;
- точка осеннего равноденствия;
OXYZ – геоцентрическая
экваториальная СК.
16

17.

Основы теории движения космических аппаратов
Элементы орбиты спутника
1. Большая полуось (a) или
фокальный параметр (p)
2. Эксцентриситет (e)
3. Наклонение (i)
4. Долгота восходящего узла ( )
5. Аргумент перицентра ( )
6. Время прохождения
перицентра (t ).
17

18.

Основы теории движения космических аппаратов
Трасса искусственного спутника Земли
e = 0, а=6771 км (Н=400 км ), i =51.6
18

19.

Основы теории движения космических аппаратов
Трасса искусственного спутника Земли
e = 0, а=6771 км (Н=400 км ), i =51.6
19

20.

Основы теории движения космических аппаратов
Геостационарная орбита (ГСО)
e = 0, а=42164 км (Н=35793 км ), i =0
T=23ч 56м 3,084 с
20

21.

Основы теории движения космических аппаратов
Прецессия орбиты ИСЗ, вызываемая нецентральностью гравитационного поля Земли
В рамках задачи двух тел
(центральное ньютновское
гравитационное поле):
Приращения элементов орбиты за виток (вековые
возмущения) в случае, если Земля
рассматривается как сжатый по полюсам сфероид:
p const ;
p 0;
e const ;
e 0;
i const ;
i 0;
const ;
const ;
2
cos i;
2
p
p2
4 5sin i ;
2
66.07 103 km 2 ;
21

22.

Основы теории движения космических аппаратов
Прецессия орбиты ИСЗ, вызываемая нецентральностью гравитационного поля Земли
22

23.

Основы теории движения космических аппаратов
Прецессия орбиты ИСЗ, вызываемая нецентральностью гравитационного поля Земли
23

24.

Основы теории движения космических аппаратов
«Молниевская» орбита
0;
p2
4 5sin i 0;
2
4 5sin 2 i 0;
i 63.435 ;
i 116.565 ;
«Молниевская» орбита - эллиптическая орбита
с периодом обращения кратным звездным
земным суткам и наклонением,
обеспечивающим неизменное положение
линии апсид.
Пример параметров такой орбиты:
высота перигея 500 - 1000 км,
высота апогея 40000 км,
наклонение 63.4 ,
аргумент перицентра 270 .
Период обращения КА: 0.5 Тзв
24

25.

Основы теории движения космических аппаратов
«Молниевская» орбита
25

26.

Основы теории движения космических аппаратов
«Молниевская» орбита
26

27.

Основы теории движения космических аппаратов
«Молниевская» орбита - трасса
27

28.

Основы теории движения космических аппаратов
Солнечно-синхронная орбита (ССО)
Наклонение ССО выбирается таким, чтобы угловая
скорость векового ухода долготы восходящего узла была
бы равна угловой скорости радиус-вектора Земли
относительно Солнца, т.е. была бы равна одному обороту
за год. Если это условие выполняется, то относительно
направления Солнце-Земля плоскость орбиты спутника
остается примерно в одном положении.
3.5
h h
i arccos 0.09852 1
;
2 R
R 6371km; - средний радиус Земли
h - высота апогея орбиты
h - высота перигея орбиты
Характеристики круговых солнечно-синхронных орбит
№
п/п
1
2
3
4
5
Наименование параметра
Высота орбиты, км
Радиус орбиты, км
Период обращения КА, с
Количество витков в сутки
Наклонение ССО, град
Значение
400
6771
5545
15,582
97,003
500
6871
5668
15,243
97,374
600
6971
5792
14,916
97,759
700
7071
5917
14,601
98,158
28

29.

Основы теории движения космических аппаратов
Солнечно-синхронная орбита (ССО)
29

30.

Основы теории движения космических аппаратов
Межорбитальное маневрирование КА
Маневр межорбитального перелета – управляемое движение в результате которого
КА переходит с начальной орбиты на конечную.
Импульсная аппроксимация активных участков – широко используемое в практике
проектных расчетов упрощение. Оно основано на том, что при использовании
термохимических двигателей (ЖРД и РДТТ) время их работы на активных участках
значительно меньше пассивных участков переходных орбит.
Таким образом, можно считать, что к КА прикладывается импульс, мгновенно
изменяющий величину и направление скорости КА и неизменяющий его
координаты.
30

31.

Основы теории движения космических аппаратов
Постановка задачи межорбитального перелета
Выбираемые параметры
Дано:
схемы перелета:
µ - гравитационный параметр небесного тела;
N – количество импульсов;
p0, e0, i0, 0, 0 – параметры начальной орбиты;
Vi – величины и
pк, e к, i к, к, к – параметры конечной орбиты;
направления импульсов;
Найти:
ti – моменты времени
схему и траекторию перелета.
приложения импульсов.
(i=1…N)
31

32.

Основы теории движения космических аппаратов
Понятие характеристической скорости, оценка затрат топлива для маневра
Характеристическая скорость маневра
N
V Vi ;
i 1
Характеристиеская скорость КА – скорость, которую КА может набрать в идеальных
условиях, истратив все топливо.
Vxap w ln
mk
;
m0
w м / с;
I уд с; w I уд g 0 ;
Чтобы КА мог выполнить маневр, необходимо:
Vxap V Vпотерь ;
Оценка затрат топлива, необходимого для осуществления маневра:
mk m0 m p ;
V
m p m0 1 e w
;
32

33.

Основы теории движения космических аппаратов
Оценка характеристической скорости двухимпульсного перелета между круговыми
компланарными орбитами (перелет Гомана-Цандера)
Дано: µ, R1, R2
Найти: V∑ - ?
Решение:
V V1 V2 ;
V1 V V0
2 R2
1 ;
R1 R1 R2
V2 Vk V
2
2
R1 R1 R2
R1
R2
2 R1
1
R2
R1 R2
;
2
2
R2 R1 R2
33

34.

Основы теории движения космических аппаратов
Список литературы
1. Константинов М.С., Каменков Е.Ф., Перелыгин Б.П., Безвербый В.К. Под. ред.
В.П. Мишина, Механика космического полета. М.: Машиностроение, 1989.
2. Охоцимский Д.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета.
М.: Наука. 448 с., 1990.
3. Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика летательных аппаратов. М.: Наука. 351 с., 1982.
4. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука,
1975.
34

35.

Основы теории движения космических аппаратов
Спасибо за внимание!
Кафедра СМ-1 «Космические аппараты и ракеты-носители»
107005, Москва, Госпитальный переулок, дом 10
E-mail: [email protected]
Телефон: +74992610107
Ельников Роман Викторович
E-mail: [email protected]
35