Электростатическое поле

1. Электростатическое поле

-- вызвано присутствием неподвижных зарядов

2. 1. Электростатическое поле в вакууме

1.1 Электрический заряд и его свойства
Существуют заряды двух типов – положительные и отрицательные.
Свойства зарядов:
1) Электрический заряд любого типа состоит из целого числа
элементарных зарядов
Под элементарным отрицательным зарядом понимают заряд электрона,
под элементарным положительным зарядом – заряд протона.
2) Закон сохранения заряда. В электрически изолированной системе,
независимо от природы происходящих в ней процессов, алгебраическая
сумма зарядов есть величина постоянная.
3) Величина заряда не зависит от того, покоится заряженное тело или
движется, она имеет одно и то же значение в различных инерциальных
системах отсчета.

3.

4) Заряженные тела взаимодействуют между собой
Закон взаимодействия точечных зарядов (Закон Кулона ) формулируется следующим
образом:
Между двумя неподвижными точечными зарядами, находящимися в
вакууме,
существует
сила
взаимодействия
,
пропорциональная
произведению этих зарядов
и обратно пропорциональная квадрату
расстояния между ними.
Векторная форма закона Кулона имеет вид:
q 1q 2 r
F k 2
,
r
r
где F – сила, действующая на данный заряд со
r
стороны другого,
– вектор, проведенный к рассматриваемому
заряду от другого заряда
(рис. 1.1).
Скалярная форма закона Кулона в СИ имеет вид
F
1 q 1q 2
2 .
4 o r
Рис.1.1

4.

.
Введем новые понятия.
Точечный заряд – заряженное тело, формой и размерами которого можно
пренебречь.
Пробный заряд – положительный заряд, достаточно малый по величине,
чтобы при внесении его во внешнее поле не изменять это поле.
( «пробный» заряд – фактически это «прибор», которым мы «пробуем»,
есть электрическое поле или нет).
1.2 Напряженность электрического поля.
Электрическое поле – область пространства, в каждой точке которого
существует сила, действующая на электрический заряд, помещенный в эту
точку. Поле, действие которого на помещенные в него заряды со временем
не меняется, называется статическим.
При помещении точечного пробного заряда в электрическое поле на него со
стороны
этого поля действует сила. Причем оказывается, что отношение этой
силы F
от свойств пробного заряда
к величине пробного заряда q пр
совершенно не зависит, а определяется только свойствами поля в данной
точке. Поэтому этим отношением описывают силовую характеристику
электрического поля и называют ее напряженностью.
F
E
(1.1)
q пр

5. Напряженностью электрического поля называется величина, численно равная силе, действующей со стороны поля на единичный,

положительный, точечный пробный заряд, помещенный в данную
точку поля.
Рассмотрим поле точечного заряда.
Найдем напряженность поля заряда +q в произвольной точке А . Для этого
поместим в точку А пробный заряд . На основании закона Кулона имеем:
qq п р r
F
q r
E
k 2
F k 2
.
q
r r
пр
r r
поле точечного заряда обладает сферической
симметрией (рис.1.2).
Электростатическое поле можно описать,
указав для каждой его точки величину и
направление вектора напряженности
.
Электростатическое поле можно
представить графически с помощью линий
напряженности, которые называют
линиями вектора
или силовыми
линиями.
Рис.1.3
Рис.1.2

6. Линией напряженности называется такая линия, касательная в каждой точке которой совпадает по направлению с   вектором

Линией напряженности называется такая линия, касательная в
каждой точке которой совпадает по направлению с
вектором напряженности в данной точке.
Свойства линий напряженности:
– начинаются у (+) q и оканчиваются у (-) q, или уходят на бесконечность;
-- в каждой точке поля вектор
имеет только одно направление,
поэтому силовые линии нигде не пересекаются.
– принято, чтобы количество линий напряженности,
пересекающих
единичную
площадку,
расположенную
перпендикулярно линиям в окрестности данной точки, было
пропорционально (или равно) E в данной точке (см. рис.1.4).
E ( )
N
S
Рис.1.4
В последнем выражении коэффициент пропорциональности равен единице,
так как речь идет о числовом равенстве, знак равенства заключен в скобки.

7.

Приведем карты некоторых полей
Поле положительного
точечного заряда
Поле отрицательного
точечного заряда
Поле двух
точечных
разноименных
зарядов

8. Важнейшие конфигурации полей – Центрально-симметричное поле – силовые линии направлены по радиальным линиям к центру или от

центра. Это поле
точечного заряда.
–Однородное поле – вектор напряженности одинаков во всех
точках поля по величине и направлению (рис.1.5 ). Такое поле
изображается семейством параллельных прямых одинаковой
густоты.
1.3 Принцип суперпозиции электрических
полей
Рис.1.5
Он следует из принципа суперпозиции кулоновских сил.
Опыт показывает: взаимодействие двух зарядов не зависит от присутствия
третьего:

9.

F2 F21 F23
С учетом того, что
Рис.1.6 (а)
Можно записать:
Рис.1.6 (б)
(1.2)

10.

В общем случае, если в пространстве расположена система зарядов
q1, q2 ,... qi ,... qn ,
то напряженность поля системы в произвольной точке: E
Ei (1.3)
n
(1.3) – математическое выражение принципа
i 1
суперпозиции.
Формулировка принципа суперпозиции:
«Напряженность электростатического поля , создаваемого системой
точечных зарядов в произвольной его точке равна векторной сумме
напряженностей полей, создаваемых в этой точке каждым зарядом в
отдельности».

11. Перейдем к расчету электростатических полей, создаваемых протяженными заряженными телами. Метод расчета дает основная теорема

Перейдем к расчету электростатических полей, создаваемых
протяженными заряженными телами. Метод расчета дает основная
,
теорема электростатики
– теорема Гаусса.
1.4 Поток вектора напряженности электростатического поля
Пусть в стационарном неоднородном
электрическом
поле, изображенном силовыми
.
линиями на рис. 1.7, задана трехмерная
поверхность S.
Выберем
произвольно
элементарную
площадку S
– достаточно малую, чтобы
ее можно было считать плоской, а поле в
пределах площадки – однородным E const
n
– единичный вектор нормали к
S :
n 1
n S
S S n – вектор элементарной площадки.
Рис.1.7
En E cos
- проекция
E
на направление
n
.

12. Поток через площадку :

Поток E через площадку S :
Ф E S E S cos En S
Поток вектора напряженности через элементарную площадку равен
скалярному произведению векторов напряженности и элементарной
площадки.
Поток – величина алгебраическая (рис.1.8)
Рис.1.8
Графически поток через элементарную площадку равен
числу силовых линий, пересекающих эту площадку (рис
1.9):
S S cos
Ф E S cos E S ( ) N
Ф ( ) N
Рис.1.9

13. Условились: Все нормали к элементарным площадкам направлены по одну сторону от поверхности S. Нормали к замкнутой поверхности

всегда
направлены
наружу.
Полный поток Ф вектора E через поверхность S
Ф EdS EdS cos En dS
S
S
(1.4)
S
Поток вектора напряженности поля через поверхность равен
интегралу по
этой поверхности от нормальной составляющей вектора E к этой
поверхности.
Графически поток вектора через поверхность равен алгебраическому числу
силовых линий, пересекающих поверхность Ф( ) N . Вклад линий в поток
положителен N+, если они направлены в ту же сторону от поверхности, что и
нормаль, в противном случае их вклад в поток отрицателен N- .
В случае замкнутой поверхности S число линий N+ вытекает, а N- втекает в
нее (рис 1.10)
Пример:
N N N 3 4 1
рис 1.10

14. 1.5 Теорема Гаусса для вектора напряженности электростатического поля в вакууме

Это основная теорема электростатики, позволяющая рассчитать E полей,
созданных любыми протяженными заряженными телами.
Формулировка интегральной формы теоремы:
поток вектора напряженности
электростатического поля через произвольную
замкнутую поверхность равен алгебраической
сумме зарядов, заключенных внутри этой
поверхности, деленной на электрическую
постоянную o .
(1.5)
Рассмотрим несколько соображений.
1. Проверим справедливость теоремы в поле точечного заряда (рис 1.11).
В силу симметрии поля на поверхности сферы S
En E const
2
E
dS
E
S
E
4
r
n
S
E
q
4 0 r
2
q
0
– совпадает с E точечного заряда,
, полученной из закона Кулона.
Число силовых линий поля N Ф
рис 1.11
q
0

15. Поток не изменится, если:

– сферу
сместить так,
чтобы заряд
оставался в
любой точке
внутри ее
(рис.1.12));
– сферу смять так,
чтобы на
поверхности
появились
глубокие складки
(рис.1.13)).
рис.1.12
рис.1.13
Если q 0, то силовые линии «втекают» в поверхность и Ф<0 .
2. Внешние по отношению к
поверхности заряды вклад в поток
через поверхность не дают (рис.1.14)).
N N N 0
рис.1.14

16. 3. Если внутри поверхности находятся несколько зарядов (рис 1.10)

3. Если внутри поверхности находятся несколько зарядов q1 ,..., qn (рис 1.10)
Ф( ) N N
q
0
q
0
q
i
0
Физический смысл теоремы Гаусса:
Электростатическое поле имеет источники – ( )q , где начинаются
силовые линии, и стоки – (-)q, где силовые линии заканчиваются.
Поток вектора E через поверхность S характеризует мощность
источников и стоков поля , находящихся внутри этой поверхности.
Теорема Гаусса является обобщением опытного закона Кулона и принципа
суперпозиции напряженностей полей. Она позволяет рассчитать E поля ,
созданного протяженными заряженными телами.
1.6 Применение теоремы Гаусса к расчету полей высокой
симметрии.
Порядок применения теоремы: 0. Установить геометрию поля.
1.Через точку наблюдения провести замкнутую поверхность S так, чтобы по
возможности E была перпендикулярна или параллельна S.
2. Рассчитать поток вектора E через поверхность и заряд q внутри
поверхности.
3. Полученные
выражения подставить в теорему Гаусса и вывести формулу
для E в точке наблюдения.

17.

Справка:

18.

1.6.1 Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
.
q
Поверхностная плотность заряда
(будем
считать его положительным). S
.
Из соображений симметрии следует, что:
– напряженность поля в любой его точке
перпендикулярна плоскости и направлена в
противоположные стороны слева и справа от
плоскости;
– во всех точках, находящихся на равных
расстояниях от плоскости
E const
В качестве замкнутой поверхности S для
применения выражения (1.5) выберем
цилиндрическую поверхность с образующей,
перпендикулярной плоскости и основаниями ,
находящимися на равных расстояниях от
рис.1.15 а),б)
плоскости и параллельными ей (рис 1.15а)).
S
(1.6)
E
dS
2
E
dS
2
E
S
E
n
n
S
S
0
2 0

19. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости однородно, но его напряженность при переходе через эту плоскость терпит разрыв

В проекции на ось OX напряженность
поля можно записать так:
Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости
однородно, но его напряженность при переходе через
эту плоскость терпит разрыв (рис 1.15б)).
1.6.2 Поле двух бесконечных
параллельных равномерно
заряженных плоскостей
E I E E 0
EII E E 2 E ; EII
EIII E E 0
0
Поле между плоскостями однородно,
а слева и справа от плоскостей отсутствует
(рис 1.16а),б))
(1.7)
рис 1.16

20. 1.6.3 Поле равномерно заряженной по поверхности сферы

:
;
Пусть сфера радиуса R равномерно заряжена с
поверхностной плотностью
:
, где q – заряд на поверхности сферы.
;
Из-за сферической
симметрии распределения
заряда напряженность поля в любой точке может
иметь только радиальное направление.
Поэтому в качестве замкнутой поверхности в
выражении (1.5) выбирается сфера, концентрическая
данной.
E 0
0 r R qi 0
1
R r2
рис 1.17
E 4 r 2
2
q
0
E
q
4 0 r2
2
(1.8)
Напряженность поля внутри сферы равна нулю, скачком меняется на ее
поверхности; вне сферы ее поле полностью совпадает с полем точечного
заряда, если его расположить в центре сферы, а сферу убрать, при условии
q qсферы
(рис 1.17б)).

21. 1.6.4 Поле равномерно заряженной бесконечной нити

Заряд единицы длины нити
(линейная плотность заряда)
q
l
Вектор E имеет радиальное
направление (рис 1.18а),б)).
В качестве замкнутой
поверхности в (1.5) выбирается
цилиндр, ось которого совпадает
с нитью. Площадь боковой
поверхности цилиндра Sб 2 rl ,
заряд внутри цилиндра q l .
E 2 rl
рис 1.18
l
0
E
2 0 r
(1.9)

22. 1.7 Дифференциальная форма теоремы Гаусса.

Интегральной формой записи теоремы Гаусса (1.5) удобно пользоваться для
расчета полей высокой симметрии. В случае произвольного
электростатического поля, не обладающего симметрией, используют
дифференциальную форму теоремы Гаусса.
Пусть заряд распределен в пространстве непрерывно и объемная плотность
заряда является функцией координат:
.
Выберем достаточно малый объем
, в пределах которого
.
Заряд, заключенный внутри этого объема
Поток вектора E через замкнутую поверхность S,
охватывающую
:
Поделим обе части этого выражения на
к нулю:
Ф E x E y E z
lim
div E E ;
x
y
z
V 0 V
и устремим
.

23. Формула (1.10) представляет собой дифференциальную форму записи теоремы Гаусса для напряженности электростатического поля.

(1.10)
Формула (1.10) представляет собой дифференциальную форму записи
теоремы Гаусса для напряженности электростатического поля.
Выражение
имеет смысл «удельной мощности» источников поля в в
окрестности точки наблюдения.
Т.о. из (1.10) следует, что«удельная мощность» источников
пропорциональна объемной плотности зарядов в окрестности
данной точки поля.
Можно сказать иначе: Число силовых линий, которые обрываются в
некотором малом объеме в окрестности данной точки,
пропорционально объемной плотности зарядов в этом объеме.