Решение заданий №10 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике

1.

МКОУ СОШ №10 села Ачикулак
Решение заданий
№10
по
материалам
открытого банка задач ЕГЭ
по математике 2015 года
Автор: учитель математики Гамзатова
Сайгат Мусаидовна

2.

1.Найдите значение выражения
f x 9
, если
f x 11
f x 8x
Решение.
Выполним преобразования
f x 9 8x 9 8x 8 9
x 11 x 11 82 64
f x 11 8
8 8
Ответ: 64
Использовано : a n m a n a m и
an
n m
a
am

3.

5
15
2.Найдите значение выражения
28
a 77
235 4 a
При a>0
Решение.
15 5
28
a 77
235 4 a
20
a
15140 a 7140 a
140
2 a
8140 a 8
4
140
2 a 2
Ответ: 4
Использовано
n m
a n m a
20
a

4.

a
2a 5b
,
если
1
3.Найдите
b
5a 2b
Решение.
Выполним преобразования
2a 5b
1 2a 5b 5a 2b
5a 2b
3a 3b
Ответ: 1
a
1
b

5.

4.Найдите
10сos 4sin 15
, если
2sin 5cos 3
tg 2,5
Решение.
sin
tg
2,5
cos
sin 2,5cos
10сos 4 2,5cos 15 15
5
2 2,5cos 5cos 3
3
Использовано :
tg
sin
cos

6.

3 sin t 5 cos t 1 1
.
2 sin t cos t 4 4
5. Найдите tg t, если
Решение.
3 sin t 5 cos t 1 1
2 sin t cos t 4 4
4 3 sin t 5 cos t 1 2 sin t cos t 4
12 sin t 20 cos t 4 2 sin t cos t 4
12 sin t 2 sin t cos t 20 cos t
10 sin t 19 cos t
10 sin t 19 cos t
cos t
cos t
10tgt 19
19
tgt
10
tgt 1,9.
: cos t
Использовано тождество: tg t =
sin t
.
cos t

7.

6. Найдите tg t, если
5 29
3π
cos t
, t
; 2π .
29
2
Решение.
5 29
cos t
29
5
29
2
25 29 25
4
5
2
2
sin t 1 cos t 1
1
29
29
29
29
29
4
2
3π
, где t
; 2π sin t 0
29
29
2
2
sin t
29 2 0,4.
tgt
5
cos t
5
29
sin t
Использованы тождества:
sin2
t+
cos2
sin t
t = 1 и tg t =
.
cos t

8.

7. Найдите значение выражения
Решение.
60
.
π
31
π
19
sin
cos
6
3
60
60
19
π
31
π
π
5
π
sin
cos
sin 3 2π cos 3 2π
3
3
6
6
60
60
60
60
60
80.
π
5π
3
3
π
3
π
3 3
sin cos
cos π
cos
3
6
4
2
6
2
6
2 2
Использованы:
а) свойство нечетности функции sin t: sin (−t) = − sin t
б) свойство периодичности функций sin t и cos t:
sin (2πn ± t) = ± sin t, cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) свойство четности функции cos t: cos (−t) = cos t
г) формула приведения: cos (π – t) = − cos t.
д) таблица значений тригонометрических функций.

9.

8. Найдите значение выражения
Решение.
33 cos 63
.
sin 27
33cos 63 33cos 90 27 33 sin 27
33.
sin 27
sin 27
sin 27
Использована формула приведения: cos (90º – t) = sin t
9. Найдите значение выражения
6 3tg
π
π
sin .
6
6
Решение.
6 3 tg
π
π
1 1 6 3
sin 6 3
3.
6
6
3 2 2 3
Использована таблица значений тригонометрических
функций.

10.

10. Найдите значение выражения
Решение.
2 sin 11 cos11
.
sin 22
2 sin 11 cos11 sin 22
1.
sin 22
sin 22
Использована формула: sin 2t = 2sin t · cos t
11. Найдите значение
Решение.
22 sin 2 9 cos2 9
выражения
.
cos18
22 sin 2 9 cos 2 9
22 cos 2 9 sin 2 9
22cos 2 9
cos18
cos18
cos18
22cos18
22.
cos18
Использована формула: сos 2t = cos2 t – sin2 t

11.

12. Найдите значение выражения 24 3 cos 750 .
Решение.
24 3 cos 750 24 3 cos 2 360 30 24 3 cos 30
24 3
3 24 3 3
12 3 36.
2
2
Использованы:
а) свойство четности функции cos t: cos (−t) = cos t
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) таблица значений тригонометрических функций.

12.

13. Найдите значение выражения 34 sin 100 .
sin 260
Решение.
34 sin 100 34 sin 90 10 34cos10
34.
sin 260
sin 270 10
cos10
Использованы формулы приведения:
sin (90º + t) = cos t и sin (270º − t) = − cos t
14. Найдите значение выражения 5 tg 154 tg 244 .
Решение.
5 tg 154 tg 244 5 tg 90 64 tg 180 64
5 ctg 64 tg 64 5.
Использованы:
а) формулы приведения: tg (90º + t) = − ctg t и tg (180º + t) = tg t
б) тождество: tg t · ctg t = 1.

13.

15. Найдите −20cos 2t, если sin t = −0,8
Решение.
20 cos 2t 20 1 2 sin 2 t 20 1 2 0,8
2
20 1 2 0,64 20 1 1,28 20 0,28 5,6.
Использована формула: сos 2t = 1 – 2sin2 t
16. Найдите
Решение.
2 sin 4t
5 cos 2t
, если sin 2t = −0,7.
2 sin 4t 4 sin 2t cos 2t 4 sin 2t 4 0,7 2,8
0,56.
5 cos 2t
5 cos 2t
5
5
5
Использована формула: sin 2t = 2sin t cos t

14.

3π
t , если sin t = 0,96, t ∈ (0; 0,5π).
2
17. Найдите 4 sin
Решение.
cos 2 t 1 sin 2 t 1 0,96
2
2
625 576
49
24
1
25
625 625 625
49
7
28
0,28, где t 0; 0,5π cos t 0
625 25 100
3π
4 sin
t 4 cos t 4 0,28 1,12.
2
cos t
Использованы:
а) формула приведения: sin (3π/2 − t) = − cos t
б) тождество: sin2 t + cos2 t = 1.

15.

18. Найдите значение выражения
Решение.
3π
cos 3π t sin
t
2
.
5 cos t π
3π
3π
cos 3π t sin
t cos t sin
t
2
2
5 cos t π
5 cos π t
cos t cos t 2cos t 2
0,4.
5 cos t
5 cos t 5
Использованы:
а) свойство нечетности функции sin t: sin (−t) = − sin t
б) свойство четности функции cos t: cos (−t) = cos t
в) формулы приведения:
cos (3π − t) = −cos t, sin (3π/2 − t) = − cos t, cos (π − t) = − cos t.

16.

19. Найдите значение выражения:
4tg(−3π – t) – 3tg t, если tg t = 1.
Решение.
4tg 3π t 3tgt 4tg 3π t 3tgt 4tgt 3tgt 7tgt
7 1 7.
Использованы:
а) свойство нечетности функции tg t: tg (−t) = − tg t
б) формула приведения: tg (3π + t) = tg t.

17.

20. Найдите значение выражения 27 cos 2
13π
13π
27 sin 2
.
12
12
Решение.
13π
13π
13π
13π
27 sin 2
27 cos 2
sin 2
12
12
12
12
π
π
13π
13π
27 cos 2
27 cos
27 cos 2π 27 cos
12
6
6
6
27 cos 2
3 3
3 9
4,5.
2
2
Использованы:
а) формула cos 2t = cos2 t – sin2 t.
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) таблица значений тригонометрических функций.

18.

21. Найдите значение выражения
Решение.
8 32 sin 2
11π
8 32 sin
.
8
2
11π
11π
11π
8 1 2 sin 2
8 cos 2
8
8
8
3π
3π
2
11π
2 .
8 cos
2 2
8 cos 2π
8 cos
4
4
4
2
Использованы:
а) формула cos 2t = 1 – 2sin2 t.
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t

19.

22. Найдите значение выражения
2
3
если cos t .
Решение.
π
2cos 2π t 5 sin t ,
2
π
π
2cos 2π t 5 sin t 2cos t 5 sin t 2cos t 5 cos t
2
2
2
3 cos t 3 2.
3
Использованы формулы приведения:
cos (2π + t) = cos t, sin (π/2 − t) = cos t.

20.

23. Найдите значение выражения x x 2 4x 4
при х 2.
Решение.
Т.к. при х 2
x x 2 4x 4 x
x 2 x 2.
x 2 2
x x 2 x x 2 2,

21.

24. Найдите значение выражения
11a b 3a b : 4a b
6
3
2
3
6 6
при b = 2.
Решение.
11a
6
b 3a b
3
2
: 4a b
3
6
6
Т.к. b = 2, то
11a 6b 3 27a 6b 3 16a 6b 3 4
3 ,
6 6
6 6
4a b
4a b
b
4
0,5.
3
2

22.

23,5 35,5
25. Найдите значение выражения 4,5
6
.
Решение.
23,5 35,5 23,5 35,5 23,5 35,5
3
3,5 4,5
5,5 4,5
1
1
2
3
2
3
1,5.
4,5
4,5
4,5
4,5
6
2 3
2
2 3
26. Найдите значение выражения 35 4,7 75,7 : 5 3,7
.
Решение.
35 4,7 75,7 : 5 3,7 5 7
4,7
5 4,7 3,7 7 4,7 5,7 5 1 71
75,7 53,7 5 4,7 7 4,7 75,7 53,7
7
1,4.
5

23.

Литература:
1. http://mathege.ru/or/ege/Main −
Материалы открытого банка заданий
по математике 2015 года
2.ЕГЭ 2015. Математика. Задача В10 /
Под ред. А.Л. Семенова и И.В.
Ященко.− М.: МЦНМО, 2015. −
30вариантов.