Тригонометрия (по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике (профильный уровень)

1.

Практикум по решению задания №9 ЕГЭ по математике
«ТРИГОНОМЕТРИЯ»
(по материалам открытого
банка задач ЕГЭ
по математике
(профильный уровень)
http://mathege.ru/or/ege/Main.html

2. Задание №9 «Вычисления и преобразования»

Задание содержит:
• преобразования числовых рациональных выражений;
• преобразования алгебраических выражений и дробей;
• преобразования числовых иррациональных выражений;
• преобразования буквенных иррациональных выражений;
• вычисление значений степенных выражений;
• действия со степенями;
•преобразования числовых логарифмических выражений;
•преобразования буквенных логарифмических выражений;
• вычисление значений тригонометрических выражений;
• преобразования числовых тригонометрических выражений;
• преобразования буквенных тригонометрических выражений

3.

ВСПОМНИМ ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ
sin 2t = 2sin t · cos t
tg t · ctg t = 1
сos 2t = cos2 t – sin2 t
sin2 t + cos2 t = 1
sin (−t) = − sin t
cos (−t) = cos t
tg2
.
1
t+1=
cos2 t
tg t =
.
sin t
cos t
cos 2t = 1 – 2sin2 t
cos 2t = 2cos2 t – 1
tg (−t) = − tg t
Формулы приведения

4.

Найдите значение выражения:
Задание:
2 sin 11 cos11
.
sin 22
Задание:
33 cos 63
.
sin 27
Решение:
2 sin 11 cos11 sin 22
1.
sin 22
sin 22
Решение:
33 cos 63 33 cos 90 27 33 sin 27
33.
sin 27
sin 27
sin 27
Формулы:
cos (90º – t) = sin t

5.

Найдите значение выражения:
Задание:
60
.
19π
31π
sin
cos
3
6
Решение:
60
60
19
π
31
π
π
5
π
sin
cos
sin 3 2π cos 3 2π
3
3
6
6
60
60
60
60
60
80.
π
5π
3
3
π
3
π
3
3
sin cos
cos π
cos
3
6
4
2
6
2
6
2
2

6.

Найдите значение выражения:
Задание:
34 sin 100
.
sin 260
Решение:
34 sin 100 34 sin 90 10 34cos10
34.
sin 260
sin 270 10
cos10
Задание:
5 tg 154 tg 244 .
Решение:
5 tg 154 tg 244 5 tg 90 64 tg 180 64
5 ctg 64 tg 64 5.

7.

Найдите
Задание:
Найдите tg t, если
cos t
5 29
3π
, t
; 2π .
29
2
Решение:
cos t
5 29
29
5
29
2
25 29 25
4
5
sin 2 t 1 cos 2 t 1
1
29 29 29 29
29
4
2
3π
, где t
; 2π sin t 0
29
29
2
2
sin t
29 2 0,4.
tgt
5
cos t
5
29
sin t

8.

Найдите значение выражения:
Задание:
−20cos 2t, если sin t = −0,8
Решение:
20 cos 2t 20 1 2 sin 2 t 20 1 2 0,8
2
20 1 2 0,64 20 1 1,28 20 0,28 5,6.
Задание:
Найдите
2 sin 4t
5 cos 2t
, если sin 2t = −0,7.
Решение:
2 sin 4t 4 sin 2t cos 2t 4 sin 2t 4 0,7 2,8
0,56.
5 cos 2t
5 cos 2t
5
5
5

9.

Найдите значение выражения:
Задание:
4tg(−3π – t) – 3tg t, если tg t = 1.
Решение:
4tg 3π t 3tgt 4tg 3π t 3tgt 4tgt 3tgt 7tgt
7 1 7.
Задание:
3π
4 sin
t , если sin t = 0,96, t ∈ (0; 0,5π).
2
Решение:
cos 2 t 1 sin 2 t 1 0,96
2
2
625 576
49
24
1
25
625 625 625
49
7
28
0,28, где t 0; 0,5π cos t 0
625 25 100
3π
4 sin
t 4 cos t 4 0,28 1,12.
2
cos t

10.

Найдите значение выражения:
Задание:
tg2 t, если 5sin2 t + 12cos2 t = 6.
Решение:
5 sin 2 t 12cos 2 t 6
: cos 2 t
5 sin 2 t 12cos 2 t
6
cos 2 t
cos 2 t
cos 2 t
1
5tg 2t 12 6
cos 2 t
5tg 2t 12 6 tg 2t 1
5tg 2t 6tg 2t 6 12
tg 2t 6
tg 2t 6.

11.

Найдите значение выражения:
Задание:
10 cos t 2 sin t 10
, если tg t = 5.
sin t 5 cos t 5
Решение:
Поделим числитель и знаменатель дроби на cos t ,
где cos t 0 :
10 cos t 2 sin t
10
10
10 2tgt
10 cos t 2 sin t 10
cos t
cos t
cos t
cos t
sin t 5 cos t
5
5
sin t 5 cos t 5
tgt 5
cos t
cos t
cos t
cos t
10
10
10 2 5
cos t cos t 2.
5
5
5 5
cos t
cos t

12.

Найдите значение выражения:
Задание:
tg t, если
7 sin t 2cos t
2.
4 sin t 9 cos t
Решение:
7 sin t 2cos t 2
4 sin t 9 cos t 1
7 sin t 2cos t 2 4 sin t 9 cos t
16 cos t 10 sin t
16 cos t 10 sin t
cos t
cos t
16 10tgt
16
10
tgt 1,6.
tgt
: cos t

13.

Найдите значение выражения:
Задание:
π
2cos 2π t 5 sin t ,
2
если
2
cos t .
3
Решение:
π
π
2cos 2π t 5 sin t 2cos t 5 sin t 2cos t 5 cos t
2
2
2
3 cos t 3 2.
3

14.

Найдите значение выражения:
Задание:
13π
13π
2 2 sin
cos
.
8
8
Решение:
13π
13π
13π
13π
2 2 sin
cos
2 sin 2
2 sin
8
8
8
4
3π
3π
2
3π
2 sin 4π
2
sin
2
sin
2
1.
4
4
2
4

15.

Найдите значение выражения:
Задание:
27 cos 2
13
13
27 sin 2
.
12
12
Решение:
13π
13π
13π
13π
27 sin 2
27 cos 2
sin 2
12
12
12
12
π
π
13π
13π
27 cos 2
27
cos
27
cos
2
π
27
cos
12
6
6
6
27 cos 2
3 3
3 9
4,5.
2
2
Задание:
72 cos 2
72 cos 2
15π
18.
8
Решение:
15π
15π
15π
18 18 2cos 2
1 18 cos 2
8
8
8
π
π
2
15π
18 cos
3.
18 cos 4π 18 cos 3 2
4
4
2
4

16.

ТЕСТ (проверь свои знания по теме…)
2
2
22
sin
9
cos
9
1
.
cos18
2
6 3tg
π
π
sin .
6
6
1) -22
2) 7
1) 5
2) 25
3) 3
3) 36
3
24 3 cos 750 .
1) -9
2) 9
4
37
.
2
2
sin 173 sin 263
1) 4
2) 37
5
6
3π
cos 3π t sin
t
2
.
5 cos t π
3) 49
1) -
2) 0,4
3) 2
3) 0,5
5π
, если tg t = 0,1.
16. Найдите tg t
2
1) -10
2) 10
3) 49

17.

7
Найдите 7 cos t 6 sin t ,
3 sin t 5 cos t
8
Найдите tg t, если
9
10
6 sin 142
.
sin 71 sin 19
8 32 sin 2
11π
.
8
если tg t = 1.
1) -0,5 2) 0,5
3)5
3 sin t 5 cos t 1 1
.
2 sin t cos t 4 4
1) 1,4
1) 11 2)12
3)-12
1) 8 2) -2 3) 4
2) -1,9
3) 1

18.

Проверь себя:
Номер задания
Номер правильного
ответа
1
1
2
3
3
3
4
2
5
2
6
1
7
1
8
2
9
3
10
2