Решение заданий В9. Тригонометрия. Задания открытого банка задач

1. Решение заданий В9 Тригонометрия http://mathege.ru/or/ege/Main.html

2.

Задания открытого банка задач
1. Найдите значение выражения
Решение.
2 sin 11 cos11
.
sin 22
2 sin 11 cos11 sin 22
1.
sin 22
sin 22
Использована формула: sin 2t = 2sin t · cos t
2. Найдите значение выражения
Решение.
22 sin 2 9 cos 2 9
.
cos18
22 sin 2 9 cos 2 9
22 cos 2 9 sin 2 9
22cos 2 9
cos18
cos18
cos18
22cos18
22.
cos18
Использована формула: сos 2t = cos2 t – sin2 t

3.

Задания открытого банка задач
3. Найдите значение выражения
Решение.
33 cos 63
.
sin 27
33 cos 63 33 cos 90 27 33 sin 27
33.
sin 27
sin 27
sin 27
Использована формула приведения: cos (90º – t) = sin t
π
6
π
6
4. Найдите значение выражения 6 3tg sin .
Решение.
6 3 tg
π
π
1 1 6 3
sin 6 3
3.
6
6
3 2 2 3
Использована таблица значений тригонометрических
функций.

4.

5. Найдите значение выражения
Решение.
60
.
π
31
π
19
sin
cos
6
3
60
60
π
5π
19π
31π
sin
cos
sin 3 2π cos 3 2π
3
6
3
6
60
60
60
60
60
80.
π
5π
3
3
π
3
π
3 3
sin cos
cos π
cos
3
6
4
2
6
2
6
2
2
Использованы:
а) свойство нечетности функции sin t: sin (−t) = − sin t
б) свойство периодичности функций sin t и cos t:
sin (2πn ± t) = ± sin t, cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) свойство четности функции cos t: cos (−t) = cos t
г) формула приведения: cos (π – t) = − cos t.
д) таблица значений тригонометрических функций.

5.

Задания открытого банка задач
6. Найдите значение выражения 24 3 cos 750 .
Решение.
24 3 cos 750 24 3 cos 2 360 30 24 3 cos 30
24 3
3 24 3 3
12 3 36.
2
2
Использованы:
а) свойство четности функции cos t: cos (−t) = cos t
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) таблица значений тригонометрических функций.

6.

Задания открытого банка задач
7. Найдите значение выражения 34 sin 100 .
sin 260
Решение.
34 sin 100 34 sin 90 10 34cos10
34.
sin 260
sin 270 10
cos10
Использованы формулы приведения:
sin (90º + t) = cos t и sin (270º − t) = − cos t
8. Найдите значение выражения 5 tg 154 tg 244 .
Решение.
5 tg 154 tg 244 5 tg 90 64 tg 180 64
5 ctg 64 tg 64 5.
Использованы:
а) формулы приведения: tg (90º + t) = − ctg t и tg (180º + t) = tg t
б) тождество: tg t · ctg t = 1.

7.

Задания открытого банка задач
9. Найдите значение выражения
37
.
2
2
sin 173 sin 263
Решение.
37
37
2
2
2
2
sin 173 sin 263 sin 90 83 sin 180 83
37
37
37.
2
2
cos 83 sin 83
1
Использованы:
а) формулы приведения:
sin (90º + t) = cost и sin (180º + t) = − sin t
sin2 (180º + t) = (− sin t) 2 = sin2 t
б) тождество: sin2 t + cos2 t = 1.

8.

Задания открытого банка задач
10. Найдите tg t, если
5 29
3π
cos t
, t
; 2π .
29
2
Решение.
5 29
cos t
29
5
29
2
25 29 25
4
5
2
2
sin t 1 cos t 1
1
29 29 29 29
29
4
2
3π
, где t
; 2π sin t 0
29
29
2
2
sin t
29 2 0,4.
tgt
5
cos t
5
29
sin t
Использованы тождества:
sin2
t+
cos2
sin t
t = 1 и tg t =
.
cos t

9.

Задания открытого банка задач
11. Найдите −20cos 2t, если sin t = −0,8
Решение.
20 cos 2t 20 1 2 sin 2 t 20 1 2 0,8
2
20 1 2 0,64 20 1 1,28 20 0,28 5,6.
Использована формула: сos 2t = 1 – 2sin2 t
12. Найдите
Решение.
2 sin 4t
5 cos 2t
, если sin 2t = −0,7.
2 sin 4t 4 sin 2t cos 2t 4 sin 2t 4 0,7 2,8
0,56.
5 cos 2t
5 cos 2t
5
5
5
Использована формула: sin 2t = 2sin t cos t

10.

Задания открытого банка задач
13. Найдите значение выражения
3π
cos 3π t sin
t
2
.
5 cos t π
Решение.
3π
3π
cos 3π t sin
t cos t sin
t
2
2
5 cos t π
5 cos π t
cos t cos t 2cos t 2
0,4.
5 cos t
5 cos t 5
Использованы:
а) свойство нечетности функции sin t: sin (−t) = − sin t
б) свойство четности функции cos t: cos (−t) = cos t
в) формулы приведения:
cos (3π − t) = −cos t, sin (3π/2 − t) = − cos t, cos (π − t) = − cos t.

11.

Задания открытого банка задач
14. Найдите значение выражения:
4tg(−3π – t) – 3tg t, если tg t = 1.
Решение.
4tg 3π t 3tgt 4tg 3π t 3tgt 4tgt 3tgt 7tgt
7 1 7.
Использованы:
а) свойство нечетности функции tg t: tg (−t) = − tg t
б) формула приведения: tg (3π + t) = tg t.

12.

Задания открытого банка задач
3π
t , если sin t = 0,96, t ∈ (0; 0,5π).
2
15. Найдите 4 sin
Решение.
cos 2 t 1 sin 2 t 1 0,96
2
2
625 576
49
24
1
25
625 625 625
49
7
28
0,28, где t 0; 0,5π cos t 0
625 25 100
3π
4 sin
t 4 cos t 4 0,28 1,12.
2
cos t
Использованы:
а) формула приведения: sin (3π/2 − t) = − cos t
б) тождество: sin2 t + cos2 t = 1.

13.

Задания открытого банка задач
16. Найдите tg t
5π
, если tg t = 0,1.
2
Решение.
5π
π
1
1
π
tg t
10.
tg 2π t tg t ctgt
2
2
tgt
0,1
2
Использованы:
а) формула приведения: tg (5π/2 + t) = − ctg t
б) тождество: tg t · ctg t = 1.

14.

Задания открытого банка задач
17. Найдите tg2 t, если 5sin2 t + 12cos2 t = 6.
Решение.
5 sin 2 t 12cos 2 t 6
: cos 2 t
5 sin 2 t 12cos 2 t
6
cos 2 t
cos 2 t
cos 2 t
1
5tg 2t 12 6
cos 2 t
5tg 2t 12 6 tg 2t 1
5tg 2t 6tg 2t 6 12
tg 2t 6
tg 2t 6.
Использовано тождество:
tg2
1
t+1=
.
2
cos t

15.

Задания открытого банка задач
7 cos t 6 sin t
18. Найдите
,
3 sin t 5 cos t
если tg t = 1.
Решение.
Поделим числитель и знаменатель дроби на cos t ,
где cos t 0 :
7 cos t 6 sin t
7 cos t 6 sin t
cos t 7 6tgt 7 6 1 1 0,5.
cos t
3 sin t 5 cos t 3 sin t 5 cos t 3tgt 5 3 1 5 2
cos t
cos t
Использовано тождество: tg t =
sin t
.
cos t

16.

Задания открытого банка задач
10 cos t 2 sin t 10
19. Найдите
, если tg t = 5.
sin t 5 cos t 5
Решение.
Поделим числитель и знаменатель дроби на cos t ,
где cos t 0 :
10 cos t 2 sin t
10
10
10 2tgt
10 cos t 2 sin t 10
cos t
cos t
cos t
cos t
sin t 5 cos t
5
5
sin t 5 cos t 5
tgt 5
cos t
cos t
cos t
cos t
10
10
10 2 5
cos t cos t 2.
5
5
5 5
cos t
cos t
Использовано тождество: tg t =
sin t
.
cos t

17.

Задания открытого банка задач
20. Найдите tg t, если
7 sin t 2cos t
2.
4 sin t 9 cos t
Решение.
7 sin t 2cos t 2
4 sin t 9 cos t 1
7 sin t 2cos t 2 4 sin t 9 cos t
16 cos t 10 sin t
: cos t
16 cos t 10 sin t
cos t
cos t
16 10tgt
16
10
tgt 1,6.
tgt
Использовано тождество: tg t =
sin t
.
cos t

18.

Задания открытого банка задач
21. Найдите tg t, если
3 sin t 5 cos t 1 1
.
2 sin t cos t 4 4
Решение.
3 sin t 5 cos t 1 1
2 sin t cos t 4 4
4 3 sin t 5 cos t 1 2 sin t cos t 4
12 sin t 20 cos t 4 2 sin t cos t 4
12 sin t 2 sin t cos t 20 cos t
10 sin t 19 cos t
: cos t
10 sin t 19 cos t
cos t
cos t
10tgt 19
19
tgt
10
tgt 1,9.
Использовано тождество: tg t =
sin t
.
cos t

19.

Задания открытого банка задач
22. Найдите значение выражения
2
3
если cos t .
Решение.
π
2cos 2π t 5 sin t ,
2
π
π
2cos 2π t 5 sin t 2cos t 5 sin t 2cos t 5 cos t
2
2
2
3 cos t 3 2.
3
Использованы формулы приведения:
cos (2π + t) = cos t, sin (π/2 − t) = cos t.

20.

Задания открытого банка задач
23. Найдите значение выражения
6 sin 142
.
sin 71 sin 19
Решение.
6 sin 142
6 2 sin 71 cos 71 12cos 71
12.
sin 71 sin 19 sin 71 sin 90 71
cos 71
Использованы:
а) формула sin 2t = 2sin t · cos t
б) формула приведения sin (90º – t) = cos t.

21.

Задания открытого банка задач
13π
13π
cos
.
24. Найдите значение выражения 2 2 sin
8
8
Решение.
2 2 sin
13π
13π
13π
13π
cos
2 sin 2
2
sin
8
8
8
4
3π
3π
2
3π
2 sin 4π
2
1.
2 sin
2 sin
4
4
2
4
Использованы:
а) формула sin 2t = 2sin t · cos t
б) свойство периодичности функции sin t:
sin (2πn ± t) = ± sin t, где n ∈ Z
в) свойство нечетности функции sin t: sin (−t) = − sin t
г) таблица значений тригонометрических функций.

22.

Задания открытого банка задач
25. Найдите значение выражения 27 cos 2
13π
13π
27 sin 2
.
12
12
Решение.
13π
13π
13π
13π
27 sin 2
27 cos 2
sin 2
12
12
12
12
π
π
13π
13π
27 cos 2
27 cos
27 cos 2π 27 cos
12
6
6
6
27 cos 2
3 3
3 9
4,5.
2
2
Использованы:
а) формула cos 2t = cos2 t – sin2 t.
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) таблица значений тригонометрических функций.

23.

Задания открытого банка задач
26. Найдите значение выражения
Решение.
72 cos 2
15π
72 cos
18.
8
2
15π
15π
15π
18 18 2cos 2
1 18 cos 2
8
8
8
π
π
2
15π
18 cos
3.
18 cos 4π 18 cos 3 2
4
4
2
4
Использованы:
а) формула cos 2t = 2cos2 t – 1.
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) таблица значений тригонометрических функций.

24.

Задания открытого банка задач
27. Найдите значение выражения
Решение.
8 32 sin 2
11π
8 32 sin
.
8
2
11π
11π
11π
8 1 2 sin 2
8 cos 2
8
8
8
3π
3π
2
11π
2.
8 cos
2 2
8 cos 2π
8 cos
4
4
4
2
Использованы:
а) формула cos 2t = 1 – 2sin2 t.
б) свойство периодичности функции cos t:
cos (2πn ± t) = cos t, где n ∈ Z
в) таблица значений тригонометрических функций.

25.

Использованы материалы:
• http://mathege.ru/or/ege/Main.html