Решение уравнений, неравенств и их систем. Задание №21

1. Решение уравнений, неравенств и их систем Задание №21

2.

1 2
1. Решите уравнение 2 3 0.
x
x
Решение. Приведем к общему знаменателю:
2
1 2 x 3x
0
2
x
1 2 x 3 x 2 0 ,
3 x 2 2 x 1 0 ,
x 0;
x 0;
x 1,
x 1,
1
x ;
1
x .
3
3
x 0;
1
Ответ : ; 1.
3

3.

2. Решите уравнение x x 2 x 1 2 x 1 .
2
Решение.
x x 2 2 x 1 2 x 1
2
x x 1 2 x 1 0
x 1 x x 1 2 0
x 1 x 2 x 2 0
x 1,
x 1 0,
x 1,
2
x x 2 0;
x 2.
Ответ : 2; 1; 1.

4.

3. Решите уравнение x 2 4 x 2 5 0.
Решение.
4
2
x 2 4 x 2 5 0
2
Пусть x 2 t , где t 0 , тогда
t 2 4t 5 0
t 1, не удовлетворяет условию t 0
t 5;
Вернемся к исходной переменной :
x 2 2 5
x 5 2,
x 2 5 ,
x 5 2.
x 2 5 ;
4
Ответ : 2 5 .
2

5.

.
12
4. Решите неравенство 2
0.
x 7x 8
Решение.
12
Т .к . 12 0 , x 7 x 8 0 , то 2
0
x
7
x
8
при условии , что x 2 7 x 8 0
x2 7x 8 0
x 1 x 8 0
x 1,
x 8;
x
8
1
x 1; 8
2
Ответ : 1 x 8.

6.

12
5. Решите неравенство 2
0.
x 7x 8
Решение.
12
Т .к . 12 0 , x 7 x 8 0 , то 2
0
x 7x 8
2
при условии , что x 7 x 8 0
x2 7x 8 0
x 1 x 8 0
x 1,
x 8;
x
8
2
1
x ; 1 8;
Ответ :
; 1 8; .

7.

12
0.
6. Решите неравенство
2
x 1 2
Решение.
12
Т .к . 12 0 , x 1 2 0 , то
0
2
x
1
2
2
при условии , что x 1 2 0
2
x2 2x 1 0
D 2 2 4 1 8
x2 2x 1 0
1 2
1 2
x 1 2;1 2
x
2 8
1 2 ,
x
2
2 8
1 2;
x
2
Ответ : 1 2 x 1 2 .

8.

7. Решите неравенство
Решение.
x 4 3 x 4
2
x 4 3 x 4 0
x 4 x 4 3 0
x 4 2
3 x 4 .
2
4 3
4
x 4 x 4
x 4; 4 3
x
x 4 0,
x 4 3 0;
x 4,
x 4 3;
Ответ : 4 x 4 3 .
3 0

9.

8. Решите систему неравенств
Решение.
2 x
1
0
2
2 3 x
2 x
0,
2
2 3 x
6 9 x 31 4 x.
Т .к . 3 x 0 , то 3 x 2 2 0 при любых х;
2
2
2 x
тогда
0 при условии , что 2 x 0.
2
2 3 x
x 2,
x 2 х 2.
3
х 5;
2 6 9 x 31 4 x
5
2
9 x 4 х 31 6
5 x 25
x 5; 2
x 5.
Ответ : 5 х 2.
x

10.

9. Решите неравенство 3 x 7 2 7 x 3 2 .
Решение. 1 способ
3x 7 7 x 3
2
2
3x 7 7 x 3 0 (Используем формулу разности квадратов)
3x 7 7 x 3 3x 7 7 x 3 0
4 х 4 10 х 10 0
40 х 1 х 1 0
x 1 x 1 0
х 1 х 1 0
2
2
1
x 1; 1
1
x
x 1,
x 1;
Ответ : 1 x 1.

11.

9. Решите неравенство 3 x 7 2 7 x 3 2 .
Решение. 2 способ
3x 7
2
7 x 3
2
9 х 2 42 x 49 49 x 2 42 x 9
40 40 x 2 : 40
х2 1
х 1
1 x 1
Ответ : 1 x 1.

12.

10. Решите неравенство x 2 x 2 9 9 x 2 9 .
Решение. 1 способ
x 2 x 2 9 9 x 2 9
x 2 x 2 9 9 x 2 9 0
x 2 9 x 2 9 0 1
2
2
2
2
Т
.
к
.
x
0
,
то
x
9 9 0 при любых х;
x 9 x 9 0
Значит , х 2 9 х 2 9 0 выполняется при условии
х2 9 0
х 3 х 3 0
x 3 x 3 0
x
3
3
x ; 3 3;
x 3,
x 3;
Ответ : х 3; х 3.

13.

10. Решите неравенство x 2 x 2 9 9 x 2 9 .
Решение. 2 способ
x 2 x 2 9 9 x 2 9
Т .к . x 2 0 , то x 2 0 х 2 9 9 0 при любых х;
x2 x2 9 9 x2 9
х2 9
х 3
: x
2
9 0
x 3,
x 3;
Ответ : х 3; х 3.

14.

11. Решите систему неравенств 7 3 x 2 3 7 x 2 2 x ,
x 4 x 8 0.
Решение.
1 7 3 x 2 3 7 x 2 2 x
21x 14 21x 6 2 x
8 2 x x 4.
2 x 4 x 8 0
x 4 x 8 0
4
8
x 8; 4
x
x 4,
x 8;
x 4,
3
8 х 4.
8 х 4;
Ответ : 8 х 4.

15.

1
1
12. Найдите значение выражения a 3 16a
a 4 a 4
при a 45.
Решение.
1
a 4 a 4
1
2
1 a 16a
a a 16
a 4 a 4
a 4 a 4
3
a a 2 16
8
2
8a ;
1
a 16
2 Если a 45, то 8 45 360.
Ответ : 360.

16.

4x 9 y
13. Найдите значение выражения
y
2 x 3 y
если x y 7.
Решение.
2
2
2 x 3 y
4x 9 y
1
y
y
2 x 3 y
2 x 3 y
2
x 3 y 2 x 3 y
2 x 3 y
2 x 2 y 2 x y
2 Если
y 2 x 3 y y
x y 7 , то 2 x y 2 7 14.
Ответ : 14.

17.

14. Сократите дробь
3x
x 9
x 10 2 x 4
3
Решение.
3x
x 9 27 x 3 x 9 27 x 6 27
13,5.
10
4
6
6
x 2x
2x
2x
2
3
Ответ : 13,5.

18.

15. Найдите значение выражения
b 6 b
.
если p b
b 3
Решение.
p a
p 6 a
a 6 a
1 p a
;
a 3
6 a 6 6 a 6 a a
2 p 6 a
;
6 a 3
3 a
p a
a 6 a 6 a a a 6 a 3 a
3
:
1.
p 6 a
a 3
3 a
a 3 a 6 a
Ответ : 1.

19.

p a
1
p
a
16. Найдите значение выражения
3
1
если p b b 3b .
b
b
Решение.
2
2
2
2
3
1
a
3
3
a
1
a
3
3
a
1
1 p a a 3a
;
2
a
a
a
a
a
2
2
1 1 3 1 1 1
3
1 3a 3 a
2 p
3
3a a
;
2
a
a a 1 a 1 a
a
a
a
p a
a 2 3 3a 2 1 1 3a 2 3 a 2
3
:
1.
2
2
a
a
1
p
a
Ответ : 1.

20.

17. Найдите значение выражения 61a 11b 50
2 a 7b 5
9.
если
7 a 2b 5
Решение.
2 a 7b 5 9
7 a 2b 5 1
2a 7b 5 63a 18b 45
0 63a 2a 18b 7b 45 5
61a 11b 40 0 10
61a 11b 50 10
Ответ : 10.

21.

18. Найдите
f 3 , если f x 1 7 6 x .
Решение.
f 3 f 4 1 7 6 4 7 2 49.
Ответ : 49.

22.

19. Решите уравнение
Решение.
x 7 3 49 x 7
3
x 7 49 x 7 0
2
x 7 x 7 49 0
x 7 x 2 14 x 0
x 7 x x 14 0
x 7 0,
x 14 0 ,
x 0;
x 7
3
49 x 7 .
x 7 ,
x 14 ,
x 0.
Ответ : 14; 7; 0.

23.

20. Решите уравнение x 3 x 2 9 x 9.
Решение.
x3 x 2 9 x 9
2
x x 1 9 x 1
x 2 x 1 9 x 1 0
x 1 x 2 9 0
x 1 x 3 x 3 0
x 1 0,
x 3 0,
x 3 0;
x 1,
x 3,
x 3.
Ответ : 3; 1; 3.

24.

21. Решите уравнение x 3 4 x 2 5 x.
Решение.
x3 4 x 2 5x
x3 4 x 2 5x 0
x x2 4x 5 0
x 0,
2
x 4 x 5 0;
x 0,
x 1,
x 5.
Ответ : 1; 0; 5.

25.

22. Решите уравнение x 3 3 x 2 x 3 0.
Решение.
x 3 3x 2 x 3 0
2
x x 3 x 3 0
x 3 x 2 1 0
x 3 x 1 x 1 0
x 3 0,
x 3,
x 1 0 , x 1,
x 1 0;
x 1.
Ответ : 3; 1; 1.

26.

23. Решите уравнение x 2 2 x 3 12 x 2 .
Решение.
2
x 2 x 3 12 x 2
x 2 2 x 3 12 x 2 0
x 2 x 2 x 3 12 0
x 2 x 2 5 x 6 0
x 2 0,
x 2,
2
x 1,
x 5 x 6 0;
x 6.
Ответ : 1; 2; 6.

27.

24. Решите уравнение
x 2 x 3 x 4 x 2 x 3 x 5 .
Решение.
x 2 x 3 x 4 x 2 x 3 x 5
x 2 x 3 x 4 x 2 x 3 x 5 0
x 2 x 3 x 4 x 5 0
x 2 x 3 1 0
x 2 0,
x 2,
x 3 0;
x 3.
Ответ : 2; 3.

28.

25. Решите уравнение
2 x 3 x 3 2 x 3 x 3 .
2
Решение.
2 x 3 2 x 3 2 x 3 x 3 2
2
2
2 x 3 x 3 2 x 3 x 3 0
2 x 3 x 3 2 x 3 x 3 0
2 x 3 x 3 x 0
x 1,5,
2 x 3 0 ,
x 3 0 , x 3,
x 0;
x 0.
Ответ : 0; 1,5; 3.
2

29.

26. Решите уравнение x x 20 .
4
2
Решение.
2
x 4 x 20
x x 20
2 2
2
x 2 x 20 ,
2
x x 20;
x , т.к . D 0
x x 20 0 ,
x 5,
x 5,
2
x 4.
x x 20 0;
x 4.
2
Ответ : 5; 4.

30.

27. Решите уравнение x x 5 .
6
3
Решение.
3
x 6 x 5
x x 5
2 3
3
x x 5
x2 x 5 0
Нет действительных корней , т.к . D 0
2
Ответ : x .

31.

28. Решите уравнение 2 x 7 x 3 1.
x2 9
Решение.
2x2 7x 3
1
2
x 9
2 x 2 7 x 3 x 2 9 ,
2
x 9 0;
x 3,
2
x 7 x 12 0 ,
x 4; x 4.
2
x 9;
x 3;
2
Ответ : 4.

32.

29. Решите уравнение x 2 6 x 6 x 6 x 7.
Решение.
x 6x 6 x 6 x 7
x 2 6 x 7,
6 x 0;
x 2 6 x 7 0,
x 1,
x 7;
x 6;
x 6;
2
Ответ : 1.
x 1.

33.

30. Решите уравнение
x
2
2
Решение. 1 способ
x 25 x 3x 10 0
x 25 0 ,
x 3 x 10 0;
x 5,
2
2
2
2
2
2
25 x 3 x 10 0.
2
2
2
2
x 25 0 ,
x 5;
2
x 3 x 10 0;
x 5,
x 2;
Ответ : 5.
2
x 5.

34.

30. Решите уравнение
x
2
2
2
25 x 3 x 10 0.
2
Решение. 2 способ
x
2
2
25 x 3 x 10 0
x 5 x 5 2 x 5 x 2 2 0
2
2
x 5 x 5 x 2 0
2
x 5 x 2 10 x 25 x 2 4 x 4 0
2
x 5 2 x 2 14 x 29 0
2
2
2
x 5 0,
x 5,
2
x , т.к . D 0.
2 x 14 x 29 0;
Ответ : 5.
x 5.

35.

31. Решите систему уравнений
Решение.
3 x 2 y 4 ,
2
2 x y 1;
x 1,
у 1;
2
3 x 2 y 4 ,
2
2 x y 1.
5 x 2 5,
x 2 1,
2
2 x 1 y ;
2 1 1 y ;
x 1,
х 1;
у 1;
Ответ :
x 1,
у 1;
x 1,
у 1.
1; 1 ; 1; 1 .

36.

2 x 2 3 y 2 11,
32. Решите систему уравнений
4 x 2 6 y 2 11x.
Решение.
2 x 2 3 y 2 11,
2
4 x 2 6 y 2 22 ,
2
2
4 x 6 y 2 11x;
4 x 6 y 2 11x;
2 x 2 3 y 2 11,
2 2 2 3 y 2 11,
0 11x 22;
x 2;
y1 1,
y 1,
y2 1;
x 2;
x 2;
2
Ответ :
x1 2 ,
у1 1;
x 2 ,
2
у2 1.
2; 1 ; 2; 1 .

37.

33. Решите систему уравнений
x 6 y 2 7 y ,
x 6 y 2 7 x.
Решение.
x 6 y 2 7 y ,
0 7 y 7 x ,
2
2
x 6 y 7 x;
x 6 y 7 x;
x y ,
x y ,
x y ,
2
2
7 x 7 x 1 0;
49 x 7 x;
x 6 x 7 x;
x y
x1 0 ,
x 1 ;
2 7
1
x2 ,
x1 0 ,
7
или
у1 0;
у 1 .
2 7
1 1
Ответ : 0; 0 ; ; .
7 7

38.

34. Решите систему уравнений
Решение.
2 x 3 2 5 y ,
3 x 2 2 5 y .
2 x 3 2 5 y ,
2 x 3 2 3 x 2 2 ,
2
2
3 x 2 5 y ;
3 x 2 5 y ;
x1 1,
2 x 3 3 x 2 ,
2 x 3 3 x 2; x2 1;
2
2
3
x
2
5 y;
3x 2 5 y;
x2 1,
x1 1,
или
1
у1 5;
у2 5 .
Ответ :
1; 5 ; 1; 0,2 .

39.

35. Решите систему уравнений
Решение.
x 2 y 2 37 ,
2
xy 6;
x 2 y 2 37 ,
xy 6.
x 2 y 2 37 ,
2 xy 12;
x y 7 ,
x 2 xy y 49 ,
x y 49 ,
x y 7;
xy 6;
xy 6;
xy 6;
x 7 y ,
x 7 y ,
2
y 7 y 6 0;
7 y y 6;
x 7 y ,
x 7 y ,
2
y 7 y 6 0;
7 y y 6;
2
2
2

40.

35. Решите систему уравнений
Решение. (продолжение)
x 2 y 2 37 ,
xy 6.
x 7 y ,
x 7 y ,
y1 1,
2
y 6;
2
y 7 y 6 0;
x 7 y ,
x 7 y ,
2
y 7 y 6 0;
y 1,
y 6;
Ответ :
x1 6 ,
y1 1;
x 1,
2
y 2 6;
x3 6 ,
y 1;
3
x4 1,
y4 6.
6; 1 ; 1; 6 ; 6; 1 ; 1; 6 .

41.

36. Решите систему уравнений
x 2 4 y 1,
2
x 3 4 y y 2 .
Решение.
x 2 4 y 1,
x 2 4 y 1,
2
2
x 3 4 y y ;
4 y 1 3 4 y y 2 ;
2
2
x 4 y 1,
x 4 y 1,
2
x 4 y 1,
2
y1 2 ,
y1 2 ,
y 4;
y 2;
y 2;
2
2
x 2 9 ,
x1 3,
y1 2;
y1 2;
x 3,
2
не
имеет
смысла
x 7 ,
2
y 2 2;
y2 2;
Ответ : 3; 2 ; 3; 2 .

42.

37. Решите систему уравнений
Решение.
x 6 y 7 0 ,
y 4
x y 10 3.
x 6 ,
x 6 0 ,
y 4
3;
x 6 y 7 0 ,
6 y 10
y 7 0;
y 4
x y 10 3;
y 4 3;
y 7 ,
x y 10
7 4
3;
x 7 10

43.

37. Решите систему уравнений
Решение. (продолжение)
x 6 ,
y 4 3;
6 y 10
y 7 ,
7 4
3;
x 7 10
x 6 y 7 0 ,
y 4
x y 10 3.
x 6 ,
x 6 ,
y 4 3 у 4 ,
y 4 ,
y 4;
y 4;
y 7 ,
y 7 ,
3 3 х 3 ,
х 4 ,
x 3;
x 3;
x 4;
y 7.
Ответ :
4; 7 .